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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 13.11.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Seien $G,H$ zyklische Gruppen mit $|G|=m ~, |H|=n$. Zeige:
$G [mm] \otimes [/mm] H $ ist zyklisch [mm] $\gdw [/mm] ggT(m,n)=1 $. |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht ganz sicher, was gemeint ist. Ich glaube $G [mm] \otimes [/mm] H := [mm] \lbrace [/mm] (g,h) | g [mm] \in [/mm] G, h [mm] \in [/mm] H [mm] \rbrace [/mm] $, also alle Kombinationen der Elemente aus G mit denen aus H. Allerdings bin ich mir dann nicht sicher, wie auf der Gruppe operiert wird, komponentenweise mit den jeweiligen Operationen von G und H ?
Was ist dann ein erzeugendes Element, dass ich ja brauche, um zu zeigen, dass eine Gruppe zyklisch ist ? Oder geht das auch anders?
Für Anregungen wäre ich dankbar!!
Danke,
Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Di 13.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
kann es sein, dass da [mm] $\oplus$ [/mm] und nicht [mm] $\otimes$ [/mm] steht? dann wäre vermutlich die direkte summe der beiden gruppen gemeint und die verknüpfung ist komponentenweise, das heißt [mm] $(g_1, h_1)(g_2, h_2) [/mm] := [mm] (g_1g_2, h_1h_2)$. [/mm] für [mm] "$\Longleftarrow$" [/mm] kannst du ja mal probieren, ob du aus den erzeugern von $G$ und $H$ einen für $G [mm] \oplus [/mm] H$ erzeugen kannst. für [mm] "$\Longrightarrow$" [/mm] nimm an, dass [mm] $\mathrm{ggt}(m, [/mm] n) > 1$ und setze $k := [mm] \frac{mn}{\mathrm{ggT}(m, n)}$. [/mm] was gilt dann für [mm] $a^k$, [/mm] wenn $a [mm] \in [/mm] G [mm] \oplus [/mm] H$? kann die gruppe dann zyklisch sein?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
Vielen Dank für die schnelle Anwort!
Ein paar Sachen sind mir aber immer noch nicht so ganz klar:
Also wenn ich nun ein $a=(g,h) [mm] \in [/mm] G [mm] \oplus [/mm] H$ habe, dann ist [mm] $(g,h)^k=(g^k [/mm] , [mm] h^k) [/mm] = [mm] \left ( g^{\frac {mn}{(m,n)}} , h^{\frac{mn}{(m,n)}} \right [/mm] ) = [mm] \left ( (g^m)^{\frac{n}{(m,n)}} , (h^n)^{\frac{m}{(m,n)}} \right [/mm] ) = [mm] (1_G [/mm] , [mm] 1_H) [/mm] $ , wobei 1 immer das neutrale Element der Gruppe sein soll.
Wo aber ist da der Widerspruch? Bzw., was könnte denn überhaupt der Vorraussetzung widersprechen? Dass ein beliebiges Element der Gruppe, wenn man es k-mal auf sich selbst anwendet wieder das neutrale Element ist?
Heißt das dann auch das die Mächtigkeit von $ G [mm] \otimes [/mm] H$ m mal n ist?
Viele Fragen, aber ich hoffe auf Antworten 
DANKE
Ole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Mi 14.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ein paar Sachen sind mir aber immer noch nicht so ganz
> klar:
>
> Also wenn ich nun ein [mm]a=(g,h) \in G \oplus H[/mm] habe, dann ist
> [mm](g,h)^k=(g^k , h^k) = \left ( g^{\frac {mn}{(m,n)}} , h^{\frac{mn}{(m,n)}} \right ) = \left ( (g^m)^{\frac{n}{(m,n)}} , (h^n)^{\frac{m}{(m,n)}} \right ) = (1_G , 1_H)[/mm]
> , wobei 1 immer das neutrale Element der Gruppe sein soll.
>
> Wo aber ist da der Widerspruch? Bzw., was könnte denn
> überhaupt der Vorraussetzung widersprechen? Dass ein
> beliebiges Element der Gruppe, wenn man es k-mal auf sich
> selbst anwendet wieder das neutrale Element ist?
>
> Heißt das dann auch das die Mächtigkeit von [mm]G \otimes H[/mm] m
> mal n ist?
mach dir klar, dass $|G [mm] \oplus [/mm] H|= |G| [mm] \cdot [/mm] |H|$ - das ist eine rein mengentheoretische überlegung, wenn du dir die definition der direkten summe zweier gruppen in erinnerung rufst. wenn aber nun [mm] $a^k [/mm] = 1$ mit $k < |G| [mm] \cdot [/mm] |H|$, dann kann ja offensichtlich kein $a$ die gesamte gruppe erzeugen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Do 15.11.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
Klar, war wohl etwas vorschnell mit meinem Einspruch. Danke vielmals,
ole
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