Zykloiden Tangenten berechnen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Di 12.01.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Punkte (x, y) mit waagerechter und senkrechter Tangente zu:
a) x(t)=R(t-sin(t))
y(t)=R(1-cos(t))
b) [mm] r(\varphi)=1+cos(\varphi)
[/mm]
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Bei der Aufgabe a hätte ich jetzt eigentlich einfach die erste Ableitung gebildet und die Extremwerte ausgerechnet. Aber irgendwie sind ja zwei Funktionen gegeben? Wenn ich ehrlich bin kann ich nichts damit anfangen.
Aufgabe b ist eine Funktion in Polarkoordinaten, soweit bin ich schon gekommen. Aber wie man das löst weiß ich auch nicht.
Ich würde mich über jeden Tipp freuen!
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> Berechnen Sie die Punkte (x, y) mit waagerechter und
> senkrechter Tangente zu:
>
> a) x(t)=R(t-sin(t))
> y(t)=R(1-cos(t))
> b) [mm]r(\varphi)=1+cos(\varphi)[/mm]
>
> Bei der Aufgabe a hätte ich jetzt eigentlich einfach die
> erste Ableitung gebildet und die Extremwerte ausgerechnet.
> Aber irgendwie sind ja zwei Funktionen gegeben? Wenn ich
> ehrlich bin kann ich nichts damit anfangen.
>
> Aufgabe b ist eine Funktion in Polarkoordinaten, soweit bin
> ich schon gekommen. Aber wie man das löst weiß ich auch
> nicht.
>
> Ich würde mich über jeden Tipp freuen!
Hallo bOernY,
bei einer Kurve in Polardarstellung der Form
$\ t\ [mm] \to [/mm] \ [mm] \begin{cases}\ x(t)\\ \ y(t)\end{cases} [/mm] $
liegt an der Stelle [mm] t=t_0 [/mm] eine waagrechte Tangente
vor, falls [mm] $\frac{d y(t)}{d t}\,(t_0)=0$ [/mm] und [mm] $\frac{d x(t)}{d t}\,(t_0)\not=0$ [/mm] .
Ist [mm] $\frac{d x(t)}{d t}\,(t_0)=0$ [/mm] und [mm] $\frac{d y(t)}{d t}\,(t_0)\not=0$ [/mm] , so liegt eine senk-
rechte Tangente vor.
Sind bei [mm] t=t_0 [/mm] allenfalls sogar beide Ableitungen
gleich Null, so ist eine weitergehende Untersuchung
angezeigt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mi 13.01.2010 | | Autor: | bOernY |
Wenn ich ganz ehrlich bin kann ich damit nicht wirklich etwas anfangen. Tut mir leid.
Wofür genau steht [mm] t_0? [/mm] Für die Nullstellen? Und wie genau bilde ich ein Differential? Ich habe bis jetzt einfach nur die Ableitungen via Ableitungsregeln gebildet. Oder ist das so gemeint:
[mm] \bruch{y'(t)}{x'(t)}=0
[/mm]
Also einen Quotienten aus den Ableitungen bilden und diesen dann gleich 0 setzen und folglich nach t auflösen?
Und was genau muss ich bei b machen?
Da ist ja nur eine Funktion gegeben. Einfach nach [mm] \varphi [/mm] ableiten und dann die Extremwerte ausrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Gegeben hast Du eine Kurve durch die Zuordnung
$t [mm] \to [/mm] (x(t),y(t))$ ,
wobei der Parameter t meist aus einem Interval I [mm] \subseteq \IR [/mm] stammt.
Was Al Dir schon gesagt hat, drücke ich mal etwas anders aus:
Ist [mm] t_0 \in [/mm] I und gilt
[mm] $y'(t_0)=0, x'(t_0) \not= [/mm] 0$,
so hat die Kurve im Punkt [mm] (x(t_0),y(t_0)) [/mm] eine waagrechte Tangente.
Ist
[mm] $y'(t_0)\not=0, x'(t_0)= [/mm] 0$,
so hat die Kurve im Punkt [mm] (x(t_0),y(t_0)) [/mm] eine senkrechte Tangente.
FRED
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> Wofür genau steht [mm] t_0?
[/mm]
für einen bestimmten t-Wert (bei dem dann eine
waagrechte bzw. eine senkrechte Tangente heraus-
kommen soll)
> Für die Nullstellen?
nein
> Und wie genau bilde ich ein Differential? Ich habe bis jetzt
> einfach nur die Ableitungen via Ableitungsregeln gebildet.
> Oder ist das so gemeint:
>
> [mm]\bruch{y'(t)}{x'(t)}=0[/mm]
So kannst du's auch sagen (für waagrechte Tangente)
> Also einen Quotienten aus den Ableitungen bilden und diesen
> dann gleich 0 setzen und folglich nach t auflösen? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und was genau muss ich bei b machen?
> Da ist ja nur eine Funktion gegeben. Einfach nach [mm]\varphi[/mm]
> ableiten und dann die Extremwerte ausrechnen?
Diese Polardarstellung kann man in ein Paar von
Gleichungen für [mm] x(\varphi) [/mm] und [mm] y(\varphi) [/mm] zerlegen, und damit
hast du die gleiche Art Aufgabe wie im ersten
Beispiel:
$\ [mm] x(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] r(\varphi)*cos(\varphi)$
[/mm]
$\ [mm] y(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] r(\varphi)*sin(\varphi)$ [/mm]
LG Al-Chw.
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