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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 So 15.11.2015 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen [mm] \mu(Z) [/mm] des folgenden in x-Richtung verlaufenden Zylinders Z [mm] \in \IR^3:
[/mm]
- die Zylinderachse stimmt mit der x-Achse überein
- die Mantelfläche ist durch [mm] \bruch{y^2}{a^2}+\bruch{z^2}{b^2} [/mm] = 1 festgelegt
- die eine Seite wird durch die Ebene x=0 begrenzt, die andere durch die schiefe Ebene x=3y+2z+1
Dabei sind a>0 und b>0 so gewählt, dass die angegebene zweite seitliche Begrenzung des Zylinders auf der poistiven x-Seite liegt. |
Hey,
muss diese Aufgabe irgendwie lösen, aber ich weiß nicht so recht wie.
Ich weiß das [mm] \mu(Z) [/mm] einem Dreifachintegral entsprechen dürfte. Bin mir aber über die Wahl der Grenzen ziemlich unsicher wie ich diese aufstelle, bzw was ich aus den gegebenen Werten in Zylinderkoordinaten transformiere...
Wäre nett wenn mir jemand mal etwas auf die Sprünge helfen würde...
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Integriere die Funktion
[mm]f(y,z) = 3y+2z+1[/mm]
über den Bereich [mm]E[/mm] aller Punkte [mm](y,z)[/mm] der [mm]yz[/mm]-Ebene mit [mm]\frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} \leq 1[/mm] (es handelt sich um eine Ellipse mit den Halbachsen [mm]a,b[/mm]):
[mm]V = \int_E f(y,z) ~ \mathrm{d}(y,z)[/mm]
Eine Skizze hilft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 15.11.2015 | | Autor: | Teryosas |
> Integriere die Funktion
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> [mm]f(y,z) = 3y+2z+1[/mm]
>
> über den Bereich [mm]E[/mm] aller Punkte [mm](y,z)[/mm] der [mm]yz[/mm]-Ebene mit
> [mm]\frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} \leq 1[/mm] (es handelt sich
> um eine Ellipse mit den Halbachsen [mm]a,b[/mm]):
>
> [mm]V = \int_E f(y,z) ~ \mathrm{d}(y,z)[/mm]
>
> Eine Skizze hilft.
Könnte es hinhauen wenn ich sage:
V = [mm] \integral_{-a}^{a}{\integral_{-b*\wurzel{1-\bruch{y^2}{a^2}}}^{b*\wurzel{1-\bruch{y^2}{a^2}}}}{1dzdy} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{3y+2z+1}{1dx}
[/mm]
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Das hinterste Integral steht an der falschen Stelle.
Falls du die Substitutionsregel kennst, wäre die Einführung neuer Variablen [mm](u,v)[/mm] empfehlenswert:
[mm]y = au \, , \ z = bv[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 So 15.11.2015 | | Autor: | Teryosas |
> Das hinterste Integral steht an der falschen Stelle.
Ist es so besser?
[mm] \integral_{-a}^{a}{\integral_{-b*\wurzel{1-\bruch{y^2}{a^2}}}^{b*\wurzel{1-\bruch{y^2}{a^2}}}}{3y+2z+1dzdy}
[/mm]
> Falls du die Substitutionsregel kennst, wäre die
> Einführung neuer Variablen [mm](u,v)[/mm] empfehlenswert:
>
> [mm]y = au \, , \ z = bv[/mm]
ok ja könnte mir das Leben wohl einfacher machen
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Jetzt ist es nicht nur besser, sondern überhaupt erst richtig. Fast richtig. Denn um den Integranden fehlt eine Klammer.
Wenn man die Integration noch nicht nach [mm]y,z[/mm] aufsplittet, kann man wegen der Linearität des Integrals auch
[mm]\int_E (3y+2z+1) ~ \mathrm{d}(y,z) = 3 \int_E y ~ \mathrm{d}(y,z) + 2 \int_E z ~ \mathrm{d}(y,z) + \int_E \mathrm{d}(y,z)[/mm]
rechnen. Und wenn man jetzt scharf nachdenkt, erkennt man sofort den Wert der ersten beiden Integrale. Die Ellipse [mm]E[/mm] hat ja sowohl die [mm]y[/mm]- als auch die [mm]z[/mm]-Achse als Symmetrieachse. Die Integranden ändern jedoch ihr Vorzeichen, wenn man von der einen Ellipsenhälfte auf die andere wechselt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Mo 16.11.2015 | | Autor: | Teryosas |
> Jetzt ist es nicht nur besser, sondern überhaupt erst
> richtig. Fast richtig. Denn um den Integranden fehlt eine
> Klammer.
>
> Wenn man die Integration noch nicht nach [mm]y,z[/mm] aufsplittet,
> kann man wegen der Linearität des Integrals auch
>
> [mm]\int_E (3y+2z+1) ~ \mathrm{d}(y,z) = 3 \int_E y ~ \mathrm{d}(y,z) + 2 \int_E z ~ \mathrm{d}(y,z) + \int_E \mathrm{d}(y,z)[/mm]
>
> rechnen. Und wenn man jetzt scharf nachdenkt, erkennt man
> sofort den Wert der ersten beiden Integrale. Die Ellipse [mm]E[/mm]
> hat ja sowohl die [mm]y[/mm]- als auch die [mm]z[/mm]-Achse als
> Symmetrieachse. Die Integranden ändern jedoch ihr
> Vorzeichen, wenn man von der einen Ellipsenhälfte auf die
> andere wechselt.
Also bei den ersten Integralen komme ich jeweils auf den Wert 0.
Beim 3. Komme ich auf:
= [mm] \integral_{-a}^{a}{2b\wurzel{1-\bruch{y^2}{a^2}}dy} [/mm] = [mm] 2b*(\bruch{a*arcsin(\bruch{y}{a})}{2}+\bruch{y\wurzel{1-\bruch{y^2}{a^2}}}{2}) |_{-a}^{a} [/mm] = [mm] ab\pi
[/mm]
haut das hin fürs Volumen? Also für mich siehts eigentlich ganz gut aus.
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Das stimmt.
Es kommt so heraus, wenn man rechnet. Aber auch, wenn man denkt. Du solltest beide Varianten verstehen.
Zusätzlich bestätigt sich letztlich die Formel
[mm]V = Gh[/mm]
für das Volumen eines Zylinders mit der Grundfläche [mm]G[/mm] und der Höhe [mm]h[/mm]. Hier ist
[mm]G = \pi ab[/mm] (Flächeninhalt der Ellipse)
und
[mm]h = 1[/mm]
[img=1]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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