a_n kov. <=> a_n hat genau 1HW < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mi 06.06.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | [mm] a_n [/mm] kovergiert [mm] \gdw a_n [/mm] ist beschränkt und hat genau einen HW (Häufungswert) |
hallo liebe Gemeinde!
Ich habe:
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
[mm] a_n [/mm] kovergiert [mm] \Rightarrow a_n [/mm] ist beschränkt und hat genau einen HW
konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] beschränkt
Sei a=lim [mm] a_n \Rightarrow [/mm] Es gibt ein N aus IN : [mm] |a_n-a| [/mm] < 1 Für alle n>=N
[mm] \Rightarrow |a_n|=|a_n-a+a|\le |a_n-a|+|a|\le [/mm] 1+|a| für alle n aus IN
nun setze [mm] K=max\{|a_0|,|a_1|,...,|a_{N-1}|,|a|+1\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a_n| \le [/mm] K für alle n aus [mm] \IN
[/mm]
konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt HP
Sei a = lim an [mm] \Rightarrow [/mm] a ist HP von [mm] a_n
[/mm]
Eindeutigkeit des HP
Definition Grenzwert:
für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein N aus [mm] \IN [/mm] mit [mm] |a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N
Definition Häufungswert
b heißt Häufungswert von an falls [mm] a_{n_k}->b
[/mm]
Angenommen es gebe eine Teilfolge [mm] a_{n_k} [/mm] mit [mm] a_{n_k}->b
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] b ist Häufungswert von an
für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein N aus IN mit [mm] |a_{n_k}-b| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] => [mm] \varepsilon/2>0 [/mm]
es gibt ein N1 mit [mm] |a_n-a|< \varepsilon/2 [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N1
es gibt ein N2 mit [mm] |a_{n_k}-b|< \varepsilon/2 [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N2
[mm] \Rightarrow [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] max{N1,N2}
[mm] |(a_n+a_{n_k})-(a+b)|\le|a_n-a|+|a_{n_k}-b|< \varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
und jetzt hänge ich... ich müsste aus der letzte aussage folgern dass sich für a [mm] \not= [/mm] b ein widerspruch ergibt..
kann mir wer auf die sprünge helfen ?
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Hiho,
dein Ansatz ist gut.
Nimm an [mm] $a\not= [/mm] b$ und bedenke, dass es dann einen echten Abstand zwischen a und b gibt, sei der mal [mm] $3*\varepsilon$.
[/mm]
Sei N nun so gewählt, dass [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$. [/mm] Wieviele Elemente liegen dann in [mm] $B_\varepsilon(b)$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mi 06.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner letzten Ung. nimm ausserdem
[mm] a_n-b [/mm] und [mm] a_{nb}-a
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo elmanuel,
führe den Beweis wie von Gono angedeutet auf jeden Fall zu Ende.
Was Du aber auch hättest machen können:
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiere etwa gegen [mm] $a\,,$ [/mm] und es sei [mm] $b\,$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $(a_n)\,,$ [/mm] also gelte etwa [mm] $a_{n_k} \to b\,.$ [/mm]
Für gegebenes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ schätze mal
[mm] $$|a-b|\,$$
[/mm]
ab. Da musst Du dann natürlich irgendwo die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] bzw. deren Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] und die Dreiecksungleichung ins Spiel bringen.
Kennst Du den Beweis, dass eine (in einem metrischen Raum) konvergente Folge einen und nur einen Grenzwert haben kann?
P.S.
Als Hilfsmittel kann man eine einfache Aussage beweisen:
Sind [mm] $a,b\,$ [/mm] reelle Zahlen und wenn gilt:
Für jedes [mm] $\tilde{\epsilon} [/mm] > 0$ gilt $|a-b| < [mm] \tilde{\epsilon}\,,$ [/mm] dann folgt [mm] $a=b\,.$
[/mm]
Beweis:
Unter der Annahme $a [mm] \not=b$ [/mm] setze man (etwa) [mm] $\tilde{\epsilon}:=|a-b|/2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]a_n[/mm] kovergiert [mm]\gdw a_n[/mm] ist beschränkt und hat genau einen
> HW (Häufungswert)
> hallo liebe Gemeinde!
>
> Ich habe:
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
>
> [mm]a_n[/mm] kovergiert [mm]\Rightarrow a_n[/mm] ist beschränkt und hat
> genau einen HW
>
> konvergent [mm]\Rightarrow[/mm] beschränkt
> Sei a=lim [mm]a_n \Rightarrow[/mm] Es gibt ein N aus IN : [mm]|a_n-a|[/mm] <
> 1 Für alle n>=N
> [mm]\Rightarrow |a_n|=|a_n-a+a|\le |a_n-a|+|a|\le[/mm] 1+|a| für
> alle n aus IN
> nun setze [mm]K=max\{|a_0|,|a_1|,...,|a_{N-1}|,|a|+1\}[/mm]
> [mm]\Rightarrow |a_n| \le[/mm] K für alle n aus [mm]\IN[/mm]
>
> konvergent [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt HP
> Sei a = lim an [mm]\Rightarrow[/mm] a ist HP von [mm]a_n[/mm]
>
>
> Eindeutigkeit des HP
>
> Definition Grenzwert:
> für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein N aus [mm]\IN[/mm] mit [mm]|a_n-a|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] N
>
> Definition Häufungswert
> b heißt Häufungswert von an falls [mm]a_{n_k}->b[/mm]
>
> Angenommen es gebe eine Teilfolge [mm]a_{n_k}[/mm] mit [mm]a_{n_k}->b[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] b ist Häufungswert von an
>
> für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein N aus IN mit
> [mm]|a_{n_k}-b|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] N
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] => [mm]\varepsilon/2>0[/mm]
>
> es gibt ein N1 mit [mm]|a_n-a|< \varepsilon/2[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm]
> N1
> es gibt ein N2 mit [mm]|a_{n_k}-b|< \varepsilon/2[/mm] für alle
> [mm]n\ge[/mm] N2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] max{N1,N2}
> [mm]\red{\mathbf{|(a_n+a_{n_k})-(a+b)|}\le|a_n-a|+|a_{n_k}-b|< \varepsilon/2+\varepsilon/2= \varepsilon}[/mm]
>
> und jetzt hänge ich... ich müsste aus der letzte aussage
> folgern dass sich für a [mm]\not=[/mm] b ein widerspruch ergibt..
>
> kann mir wer auf die sprünge helfen ?
Du kannst mit [mm] $|a-b|\,$ [/mm] arbeiten, oder:
Du versuchst mal, [mm] $|a_n-b|$ [/mm] abzuschätzen, und danach benutzt Du die Eindeutigkeit des Grenzwertes. (Das rotmarkierte führt sicher nicht zu einem Widerspruch - denn im Wesentlichen kann es das gar nicht, weil die Summenfolge zweier konvergenter Folgen gegen die Summe der Grenzwerte konvergiert. Und die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] kann man auch als Teilfolge von sich selbst auffassen mittels [mm] $\tilde{n}_k:=k\,.$)
[/mm]
P.S.
Hast Du Dir das ganze mal versucht, zu veranschaulischen? Denn das kann helfen, um erstmal eine Beweisstrategie/Beweisidee zu entwickeln!
P.P.S.
Bei der Teilfolge [mm] $(a_{n_k})$ [/mm] gilt [mm] $|a_{n_k}-b| [/mm] < [mm] \varepsilon/2$ [/mm] für alle $k [mm] \ge K_1\,.$ [/mm] Natürlich ist auch [mm] $n_k \ge n_{K_1}\,,$ [/mm] wenn $k [mm] \ge K_1$ [/mm] ist, und für jedes $k [mm] \ge K_1$ [/mm] ist dann [mm] $n_k \ge n_{K_1}=:N_2$ [/mm] - sowas in der Art meinst Du sicher - aber formal arbeitest Du ein wenig unsauber!
Am besten machst Du Dir das so klar:
Die Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_{k}$ [/mm] kann man notieren als Folge [mm] $(a_{\phi(n)})_n\,,$ [/mm] wobei [mm] $\phi: \IN \to \IN$ [/mm] eine monoton wachsende Funktion ist. Betrachtet man eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] als Abbildung $a: [mm] \IN \to \IR$ [/mm] (diese Notation ist HIER schlecht, da [mm] $a\,$ [/mm] im Falle der Konvergenz auch schon als Notation für den Grenzwert benutzt wird), so ist die Notation einer Teilfolge [mm] $(a_{n_k})$ [/mm] dann nichts anderes als eine Abbildung $a [mm] \circ \phi: \IN \to \IR\,,$ [/mm] wobei [mm] $\phi$ [/mm] wie oben, insbesondere also monoton wachsend, ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
darf ich Dir noch einen Kurzbeweis der Folgerung
[mm] $$(a_n) \text{ konvergent }\Rightarrow (a_n) \text{ beschränkt und hat genau einen Häufungswert}$$
[/mm]
anbieten?
Die Beschränktheit hast Du ja schon. Nun ist [mm] $a=\lim a_n$ [/mm] sicher als Grenzwert auch Häufungswert von [mm] $(a_n)\,.$
[/mm]
Sei nun [mm] $b\,$ [/mm] irgendein Häufungswert von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und sei [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_{n_k} \to [/mm] b$ bei $k [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so existiert ein [mm] $N=N_{\epsilon}$ [/mm] so, dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Für jedes $k [mm] \ge [/mm] N$ ist aber [mm] $n_k \ge [/mm] N$ (denn [mm] $(n_k)_{k \in \IN}$ [/mm] ist eine wachsende Folge natürlicher Zahlen!), so dass wir auch
[mm] $$|a_{n_k}-a| [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
für alle $k [mm] \ge [/mm] N$ haben. Wegen der Beliebigkeit des [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ erkennen wir somit, dass auch [mm] $a_{n_k} \to [/mm] a$ bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] gilt. Die Folge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] kann aber nur einen Grenzwert haben, so dass [mm] $a=b\,$ [/mm] folgt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 07.06.2012 | | Autor: | elmanuel |
Danke erstmal an alle Beteiligten!
Ich werde mir das nochmals in Ruhe durch den Kopf gehen lassen und veranschaulichen wie Marcel gesagt hat...
Mit euren Tipps sollte ich zu mindestens :) einer lösung kommen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo elmanuel,
> Danke erstmal an alle Beteiligten!
>
> Ich werde mir das nochmals in Ruhe durch den Kopf gehen
> lassen und veranschaulichen wie Marcel gesagt hat...
>
> Mit euren Tipps sollte ich zu mindestens :) einer lösung
> kommen
ich denke auch, , dass Dir das gelingen wird. Wenn Dir vielleicht noch etwas unklar ist, dann eventuell so eine Kleinigkeit, warum der Grenzwert einer Folge in einem metrischen Raum eindeutig ist. Aber dazu hatte ich ja ein einfaches Hilfsmittel genannt - das ist übrigens eine Aussage, der in jeder Analysis- und auch in vielen anderen Vorlesungen standardmäßig benutzt wird. Manchen Professoren ist das so ins Mark übergegangen, dass sie sich gar nicht bewußt sind, dass diese kleine Aussage in Ihrer Vorlesung noch nie bewiesen wurde. Dabei ist es wirklich ein Einzeiler, aber wenn man ihn einmal hingeschrieben hat, hat man ihn auch verstanden und traut sich auch, ihn im Rest des Lebens standardmäßig weiter zu benutzen. 
Wichtig ist allerdings wirklich, dass Du Dir die Bedeutung der Indizes in einer Teilfolge klar machst. Eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})$ [/mm] schreibt man nämlich nicht [mm] $(a_{n_k})_{n \in \IN}\,,$ [/mm] sondern [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}\,,$ [/mm] wobei [mm] $(n_k)_{k \in \IN}$ [/mm] eine monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen ist. Mach's Dir meinetwegen mal an einem konkreten Beispiel klar! (Dafür mußt Du nicht [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konkretisieren, sondern es reicht, mal [mm] $(n_k)_{k \in \IN}$ [/mm] zu konkretisieren.)
Gruß,
Marcel
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