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| Aufgabe | sei G eine gruppe, zeige:
ist a=a^-1 für alle a [mm] \in [/mm] G, so ist G abelsch |
ich muss doch jetzt zeigen, dass in der gruppe G kommutativitätgilt, inverses und neutrales existieren!?
inverses:
a=a^-1 besagt ja das jedes element zu sich selbst invers ist. daraus folgt ja, dass das inverse existiert!?
neutrales element:
x [mm] \in [/mm] G mit x+e=x => e=1 mit [mm] 1\in [/mm] G
reicht das oder muss ich mehr machen um zu zeigen, dass 1 das neutrale element ist?
kommutativität:
muss ich hier zeigen, dass
x,y,z [mm] \in [/mm] G : (x*y)*z=x*(y*z) und das gleiche nochmal mit ()^-1 ?
wäre nett wenn wir einer helfen könnte
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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Hallo Grafzahl,
> sei G eine gruppe, zeige:
> ist a=a^-1 für alle a [mm]\in[/mm] G, so ist G abelsch
Für $\ G $ gilt:
$\ ( G, [mm] \*, [/mm] e ) $ und jedes Element $\ a [mm] \in [/mm] G $ ist invertierbar.
Es gilt ausserdem $\ a = [mm] a^{-1} [/mm] $ für alle $\ a [mm] \in [/mm] G $.
> ich muss doch jetzt zeigen, dass in der gruppe G
> kommutativitätgilt, inverses und neutrales existieren!?
> inverses:
> a=a^-1 besagt ja das jedes element zu sich selbst invers
> ist. daraus folgt ja, dass das inverse existiert!?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Da $\ G $ eine Gruppe ist, gilt ohnehin, dass jedes Element aus $\ G $ invertierbar ist.
> neutrales element:
> x [mm]\in[/mm] G mit x+e=x => e=1 mit [mm]1\in[/mm] G
> reicht das oder muss ich mehr machen um zu zeigen, dass 1
> das neutrale element ist?
> kommutativität:
> muss ich hier zeigen, dass
> x,y,z [mm]\in[/mm] G : (x*y)*z=x*(y*z) und das gleiche nochmal mit
> ()^-1 ?
>
> wäre nett wenn wir einer helfen könnte
Ich würde das folgendermaßen machen:
$\ G $ ist eine Gruppe. Es gilt also die Assoziativität der binären Verknüpfung $\ [mm] \* [/mm] $.
D.h. für $\ a, b, c [mm] \in [/mm] G $ gilt: $\ [mm] a\* (b\* [/mm] c) = [mm] (a\* b)\* [/mm] c $
Dann gilt für ein beliebiges $\ a [mm] \in [/mm] G $
$\ [mm] a\* (a\* [/mm] a) = [mm] (a\* a)\* [/mm] a $
Und wegen $\ a = [mm] a^{-1} [/mm] $
$\ [mm] a\* (a\* a^{-1}) [/mm] = [mm] (a\* a^{-1})\* [/mm] a $
$\ [mm] a\* [/mm] (e) = [mm] (e)\* [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] $ kommutativ!
Somit ist $\ G $ eine abelsche Gruppe.
>
> ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
Viele Grüße
ChopSuey
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danke erstmal für die hilfe, aber eine frage hab ich noch:
kann ich auch einfach die existenz eines neutralen elements e=1 vorraussetzen. da G eine gruppe ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Sa 14.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Grafzahl,
> danke erstmal für die hilfe, aber eine frage hab ich
> noch:
> kann ich auch einfach die existenz eines neutralen
> elements e=1 vorraussetzen. da G eine gruppe ist?
Du darfst die Existenz eines neutralen Elements $\ e [mm] \in [/mm] G $ voraussetzen, ja. Aber was ist, wenn deine Gruppe $\ (G, +, e) $ ist?
Grüße
ChopSuey
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heißt das ich muss auch noch die kommutativität für die addition nachweisen? wie sieht das dann aus?
das müsste ja dann sowas wie:
(a+a)+a=a+(a+a) mit a=a^-1.....
nur wie gehts weiter, oder geht das mit addition garnixht?
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Hallo,
> heißt das ich muss auch noch die kommutativität für die
> addition nachweisen? wie sieht das dann aus?
Warum? Wir haben die Kommutativität für die binäre Verknüpfung $\ [mm] \* [/mm] $ auf $\ G $ doch gezeigt.
Wir wissen nicht mehr und nicht weniger, als das auf $\ G $ eine assoziative binäre Verknüpfung existiert.
Grüße
ChopSuey
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Hallo nochmal,
was mir eben noch einfiel.
Teste das Ganze, so wie wir es mit dem neutralen Operator notiert haben doch einmal für $\ + $ und einmal für $\ * $.
Es gilt analog.
Grüße
ChopSuey
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