abg. Hülle + Vereinigung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
bin mir nicht sicher, ob meine Frage hier im richtigen Forum ist. Das Kapitel heißt in meinem Buch "Topologie metrischer Räume" - aber ein solches Forum habe ich nicht gefunden... da dieses Thema aber wohl zur Vorbereitung auf das Arbeiten mit mehreren Veränderlichen dient habe ich es hier in diesem Forum gepostet.
Folgende Aufgabe:
Es sei X ein normierter Vektorraum und A, B [mm] \subseteq [/mm] X. Man zeige die folgende Identität:
[mm] \overline{A \cup B} [/mm] = [mm] \overline{A} \cup \overline{B}
[/mm]
Okay - meine Lösung ist ganz einfach - vielleicht zu einfach?
Habe einfach mal [mm] \overline{A \cup B} [/mm] sowie [mm] \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] anhand der Definition für die abgeschlossene Hülle (so heißt das Ding ja) äquivalent umgeformt:
[mm] \overline{A \cup B} [/mm] = (A [mm] \cup \partial [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cup \partial [/mm] B)
Und:
[mm] \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] = (A [mm] \cup \partial [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cup \partial [/mm] B)
Da sieht man ja schon die Äuqivalenz - alleine durch Umformen. Ist das wirkich so einfach?
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> Folgende Aufgabe:
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> Es sei X ein normierter Vektorraum und A, B [mm]\subseteq[/mm] X.
> Man zeige die folgende Identität:
>
> [mm]\overline{A \cup B}[/mm] = [mm]\overline{A} \cup \overline{B}[/mm]
>
> Okay - meine Lösung ist ganz einfach - vielleicht zu
> einfach?
>
> Habe einfach mal [mm]\overline{A \cup B}[/mm] sowie [mm]\overline{A} \cup \overline{B}[/mm]
> anhand der Definition für die abgeschlossene Hülle
Hallo,
ich nehme mal an, Du verwendest [mm] \overline{C}=C[/mm] [mm]\cup \partial[/mm] C.
(so
> heißt das Ding ja) äquivalent umgeformt:
>
> [mm]\overline{A \cup B}[/mm] = (A [mm]\cup \partial[/mm] A) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cup \partial[/mm]
> B)
Nein, das wäre dann doch erstmal
[mm] (A\cup B)\cup \partial (A\cup [/mm] B),
und der Schritt von [mm] \partial (A\cup [/mm] B) zu [mm] \partial [/mm] A [mm] \cup \partial [/mm] B wäre erst noch zu vollziehen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
upps. Danke für den Hinweis.
Hier mein neuer Versuch:
Also: [mm] \overline{A \cup B} [/mm] = (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup\ (\partial\,(A\ \cup [/mm] B))
Und: [mm] \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] = (A [mm] \cup\ \partial\,A) \cup [/mm] (B [mm] \cup\ \partial\,B) [/mm] = (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup (\partial\,A \cup \partial\,B)
[/mm]
Nun kann ich die Gleichheit mit zwei Schritten zeigen:
(1): [mm] "\subset": [/mm] Also aus x [mm] \in \overline{A \cup B} [/mm] folgt x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup\ (\partial\,(A\ \cup [/mm] B))
(2): [mm] "\supset": [/mm] Aus x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup\ (\partial\,(A\ \cup [/mm] B)) folgt x [mm] \in \overline{A \cup B}
[/mm]
Nun zu (1):
Sei x [mm] \in \overline{A \cup B} [/mm] = (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup\ (\partial\,(A\ \cup [/mm] B)). Dann:
1. Fall: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) dann ist x aber auch ganz sicher [mm] \in \overline{A} \cup \overline{B}, [/mm] da x sicher [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) und somit auch [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup (\partial\,A \cup \partial\,B)
[/mm]
2. Fall: x [mm] \in (\partial\,(A\ \cup [/mm] B)), dann ist x ein Randpunkt von A [mm] \cup [/mm] B. Also ist x entweder ein Randpunkt von A - dann ist x [mm] \in \partial\,A [/mm] oder x ist ein Randpunkt von B - dann ist x [mm] \in \partial\,B [/mm] - aber x ist in jedem Falle [mm] \in (\partial\,(A\ \cup [/mm] B)) und somit auch ganz sicher [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup\ (\partial\,(A\ \cup [/mm] B))
(2) würde ich analog machen.
Ist das soweit okay?
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> Hallo,
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> upps. Danke für den Hinweis.
>
> Hier mein neuer Versuch:
>
> Also: [mm]\overline{A \cup B}[/mm] = (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cup\ (\partial\,(A\ \cup[/mm]
> B))
> Und: [mm]\overline{A} \cup \overline{B}[/mm] = (A [mm]\cup\ \partial\,A) \cup[/mm]
> (B [mm]\cup\ \partial\,B)[/mm] = (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cup (\partial\,A \cup \partial\,B)[/mm]
>
> Nun kann ich die Gleichheit mit zwei Schritten zeigen:
>
> (1): [mm]"\subset":[/mm] Also aus x [mm]\in \overline{A \cup B}[/mm] folgt x
> [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cup\ (\partial\,(A\ \cup[/mm] B))
> (2): [mm]"\supset":[/mm] Aus x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cup\ (\partial\,(A\ \cup[/mm]
> B)) folgt x [mm]\in \overline{A \cup B}[/mm]
Hallo,
ich glaube, daß Du etwas anderes zeigen willst, als das, was Du oben schreibst...
>
> Nun zu (1):
>
> Sei x [mm]\in \overline{A \cup B}[/mm] = (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cup\ (\partial\,(A\ \cup[/mm]
> B)). Dann:
>
> 1. Fall: x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) dann ist x aber auch ganz sicher
> [mm]\in \overline{A} \cup \overline{B},[/mm] da x sicher [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm]
> B) und somit auch [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cup (\partial\,A \cup \partial\,B)[/mm]
Dem konnte ich gut folgen.
>
> 2. Fall: x [mm]\in (\partial\,(A\ \cup[/mm] B)), dann ist x ein
> Randpunkt von A [mm]\cup[/mm] B. Also ist x entweder ein Randpunkt
> von A - dann ist x [mm]\in \partial\,A[/mm] oder x ist ein Randpunkt
> von B - dann ist x [mm]\in \partial\,B[/mm]
Das ist meinem Hausfrauenverstand sehr einsichtig.
Nur fürchte ich, daß Du diese Aussage unter Rückgriff auf die Definition des Randes beweisen mußt.
Wenn Dir das gelingt, bist Du mit (1) fertig.
> - aber x ist in jedem
> Falle [mm]\in (\partial\,(A\ \cup[/mm] B)) und somit auch ganz
> sicher [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cup\ (\partial\,(A\ \cup[/mm] B))
??? Das [mm] x\in [/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cup\ (\partial\,(A\ \cup[/mm] B)) ist doch keine neue Erkenntnis, sondern war vorausgesetzt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Fr 09.05.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Hallo,
da ist mir ein Übertragungsfehler passiert.
Zeigen wollte ich:
(1): [mm] "\subset": [/mm] Also aus x [mm] \in \overline{A \cup B} [/mm] folgt x [mm] \in \overline{A} \cup \overline{B}
[/mm]
(2): [mm] "\supset": [/mm] Aus x [mm] \in [/mm] x [mm] \in \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] folgt x [mm] \in \overline{A \cup B} [/mm]
Mein letzter Schluss, der die Voraussetzung war ist dann durch Kopieren und Einfügen entstanden.
Ich schreib das Ganze nochmal sauber auf - mit Rückgang auf die Definition des Randes und melde mich dann wieder.
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Hallo,
zeigen wollte ich:
(1): [mm] "\subset": [/mm] Also aus x [mm] \in \overline{A \cup B} [/mm] folgt x [mm] \in \overline{A} \cup \overline{B}
[/mm]
(2): [mm] "\supset": [/mm] Aus x [mm] \in [/mm] x [mm] \in \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] folgt x [mm] \in \overline{A \cup B} [/mm]
Mein letzter Schluss, der die Voraussetzung war ist dann durch Kopieren und Einfügen entstanden.
Ich schreib das Ganze nochmal sauber auf - mit Rückgang auf die Definition des Randes und melde mich dann wieder.
Zu (1):
1. Fall: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] - das habe ich ja schon gezeigt.
2. Fall: x [mm] \in \partial(A \cup [/mm] B)
Das scheint ja nicht so trivial zu sein. Daher ein kleines Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Klar ist, dass der Rand von A [mm] \cup [/mm] B "weniger" Punkte enthält als der Rand von A vereinigt mit dem Rand von B. Aus dem Bild ist auch recht einfach zu erkennen, dass:
[mm] \partial [/mm] A [mm] \cup \partial [/mm] B = [mm] (\partial [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)) [mm] \cup (\partial [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B))
Aber das bringt mich ja nicht wirklich weiter.
Naiv könnte ich sowas probieren:
x [mm] \in \partial(A \cup [/mm] B) - dann gibts drei Fälle:
1. Fall: x [mm] \in \partial [/mm] A
2. Fall x [mm] \in \partial [/mm] B
3. Fall x [mm] \in \partial [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) (Also genau im Rand des Durchschnitts.)
Bei allen drei Fällen folgt sofort die Behauptung. Jedenfalls in Kombination mit der Grafik. Aber ich soll ja die Definition des Randes nutzen.
Ich schreibe diese mal hin:
x ist Randpunkt von (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] x [mm] \in \partial(A \cup [/mm] B) [mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 : (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap U_{\varepsilon}(x) \not= \emptyset [/mm] und (X [mm] \backslash [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)) [mm] \cap U_{\varepsilon}(x) \not= \emptyset
[/mm]
Okay - und nun? Sehe jetzt nicht, wie mich das weiterbringen könnte... Ich übersehe bestimmt wieder etwas...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> die Definition des Randes nutzen.
>
> Ich schreibe diese mal hin:
>
> x ist Randpunkt von (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] x [mm]\in \partial(A \cup[/mm]
> B) [mm]\gdw \forall \varepsilon[/mm] > 0 : (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap U_{\varepsilon}(x) \not= \emptyset[/mm]
> und (X [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)) [mm]\cap U_{\varepsilon}(x) \not= \emptyset[/mm]
>
> Okay - und nun? Sehe jetzt nicht, wie mich das
> weiterbringen könnte... Ich übersehe bestimmt wieder
> etwas...
Hallo,
Du mußt Dir nun klarmachen, was diese Def bedeutet:
in jeder [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] gibt es einen Punkt [mm] y\in A\cup [/mm] B und einen Punkt [mm] z\in [/mm] X \ [mm] (A\cup [/mm] B).
Bei X \ [mm] (A\cup [/mm] B) solltest Du nun Deine Kenntnisser der Mengenlehre mobilisieren.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> bin mir nicht sicher, ob meine Frage hier im richtigen
> Forum ist. Das Kapitel heißt in meinem Buch "Topologie
> metrischer Räume" - aber ein solches Forum habe ich nicht
> gefunden... da dieses Thema aber wohl zur Vorbereitung auf
> das Arbeiten mit mehreren Veränderlichen dient habe ich es
> hier in diesem Forum gepostet.
>
> Folgende Aufgabe:
>
> Es sei X ein normierter Vektorraum und A, B [mm]\subseteq[/mm] X.
> Man zeige die folgende Identität:
>
> [mm]\overline{A \cup B}[/mm] = [mm]\overline{A} \cup \overline{B}[/mm]
>
> Okay - meine Lösung ist ganz einfach - vielleicht zu
> einfach?
>
> Habe einfach mal [mm]\overline{A \cup B}[/mm] sowie [mm]\overline{A} \cup \overline{B}[/mm]
usw. Ich finde: diese Argumentation über den Rand ist einfach ganz unnötig kompliziert.
Du weisst doch: [mm] $A\subseteq \overline{A}$ [/mm] und [mm] $B\subseteq \overline{B}$ [/mm] woraus [mm] $A\cup B\subseteq \overline{A}\cup\overline{B}$ [/mm] folgt. Weil aber [mm] $\overline{A}\cup\overline{B}$ [/mm] abgeschlossen ist (die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen), folgt somit [mm] $\overline{A\cup B}\subseteq \overline{A}\cup \overline{B}$.
[/mm]
Damit haben wir die Richtung [mm] $\subseteq$ [/mm] der behaupteten Äquivalenz bewiesen.
Die Richtung [mm] $\supseteq$ [/mm] ist eher einfacher. Denn es ist ja [mm] $\overline{A\cup B}\supseteq \overline{A},\overline{B}$ [/mm] (wegen der Monotonie des Hüllenoperators [mm] $X\mapsto \overline{X}$) [/mm] und daher auch [mm] $\overline{A\cup B}\supseteq \overline{A}\cup \overline{B}$, [/mm] was zu zeigen war.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Sa 10.05.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Danke. Den Hüllenoperator hatten wir noch nicht. Denke mal nicht, dass wir das dann nutzen dürfen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 So 11.05.2008 | | Autor: | Somebody |
> Danke. Den Hüllenoperator hatten wir noch nicht.
Dass die Mengenabbildung, die einer Menge $X$ ihre abgeschlossene Hülle [mm] $\overline{X}$ [/mm] zuordnet, ein "Hüllenoperator" ist, habt ihr vielleicht noch nicht besprochen, aber Du weisst doch sicher, dass die behauptete Monotonie gilt: [mm] $X\subseteq \overline{X}$.
[/mm]
Die einzige weitere Eigenschaft, dieses "Hüllenoperators", die ich verwendet hatte, ist die, dass aus [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und $B$ abgeschlossen folgt, dass [mm] $\overline{A}\subseteq [/mm] B$ gilt. Dies besagt ja nichts anderes, als dass [mm] $\overline{A}$ [/mm] die [mm] $\subseteq$-kleinste [/mm] Menge ist, die $A$ enthält und abgeschlossen ist.
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