abgeschlossene Kugel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] K_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{ y \in M | d(x,y) \le \epsilon \} [/mm] ist aus Vo. bekannt in jedem metrischen Raum (M,d) für ein beliebiges x [mm] \in [/mm] M und [mm] \epsilon>0 [/mm] abgeschlosssen und stets [mm] \overline{U_{\epsilon} (x)} \subseteq K_\epsilon [/mm] (x).
Zeige dass im Allgemein nicht Gleichheit [mm] \overline{U_{\epsilon} (x)} [/mm] = [mm] K_\epsilon [/mm] (x) gilt.
Betrachte M:= [mm] S^1 \cup \{(x_1 , 0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \le 1 \} [/mm] mit Einschränkung der euklidiscen Metrik und darin die entsprechenden Kugeln vom Radius 1. |
Hallo
Warum sieht man sich überhaupt so ein konstruirtes bsp an wenn man enfach die diskrete Metrik als gegenbeispiel nehmen könnte?
Was bedeutet EINSCHRÄNKUNG der euklidischen Metrik?
M ist "bildlich" gesprochen der rand der einheitskugel um s und die strecke vom 0-punkt bis zu (1,0).
[mm] S^1 [/mm] = [mm] \{ s \in\IR^2 : s_1^2 + s_2^2 =1\}
[/mm]
[mm] K_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{ y \in M | \sqrt{(x_1 - y_1)^2 +(x_2-y_2)^2} \le 1 \} [/mm] für bel x [mm] \in [/mm] M
[mm] U_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{ y \in M | \sqrt{(x_1 - y_1)^2 +(x_2-y_2)^2} < 1 \} [/mm] für bel x [mm] \in [/mm] M
Ich weiß nun nicht wirklich weiter. Da ja x beliebig [mm] \in [/mm] M ist..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:50 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]K_\epsilon[/mm] (x) = [mm]\{ y \in M | d(x,y) \le \epsilon \}[/mm] ist
> aus Vo. bekannt in jedem metrischen Raum (M,d) für ein
> beliebiges x [mm]\in[/mm] M und [mm]\epsilon>0[/mm] abgeschlosssen und stets
> [mm]\overline{U_{\epsilon} (x)} \subseteq K_\epsilon[/mm] (x).
> Zeige dass im Allgemein nicht Gleichheit
> [mm]\overline{U_{\epsilon} (x)}[/mm] = [mm]K_\epsilon[/mm] (x) gilt.
> Betrachte M:= [mm]S^1 \cup \{(x_1 , 0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \le 1 \}[/mm]
> mit Einschränkung der euklidiscen Metrik und darin die
> entsprechenden Kugeln vom Radius 1.
> Hallo
> Warum sieht man sich überhaupt so ein konstruirtes bsp an
> wenn man enfach die diskrete Metrik als gegenbeispiel
> nehmen könnte?
weiß ich nicht: Vielleicht, um weniger etwas abstraktes ("akademisches")
zu haben, sondern etwas anschauliches!
> Was bedeutet EINSCHRÄNKUNG der euklidischen Metrik?
Naja, die euklidische Metrik ist hier
$$d [mm] \colon \IR^2 \times \IR^2 \to \IR$$
[/mm]
mit [mm] $d(\,(x,y),(r,s)\,)=\sqrt{{(x-r)}^2+{(y-s)}^2}$ [/mm] (für alle [mm] $(x,y),\,(r,s) \in \IR^2$) [/mm] gegeben!
Und die "Einschränkung der euklidischen Metrik", die gemeint ist, ist halt
[mm] $d_{|M \times M}\,.$
[/mm]
(D.h. [mm] $d_{|M \times M} \colon [/mm] M [mm] \times [/mm] M [mm] \to \IR$ [/mm] ist gegeben durch [mm] $d_{|M \times M}((x,y),\,(r,s))=d((x,y),(r,s))=\sqrt{{(x-r)}^2+{(y-s)}^2}$ [/mm]
für alle $(x,y), (r,s) [mm] \red{\;\in M\;}\;\; (\subseteq \IR^2)\,.$)
[/mm]
(Habt ihr denn eigentlich nicht sowas gelernt: Ist [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ein metrischer
Raum, so gilt für $M [mm] \subseteq X\,,$ [/mm] dass [mm] $(M,d_M)$ [/mm] ein metrischer Raum ist, wobei
[mm] $$d_M \colon [/mm] M [mm] \times [/mm] M [mm] \to \IR$$
[/mm]
definiert ist durch [mm] $d_M:=d_{|M \times M}\,.$ [/mm] [|Das heißt, es gilt [mm] $d_M(\,(m_1,\,m_2)\,)=d(\,(m_1,\,m_2)\,)$ [/mm]
für alle [mm] $(m_1,\,m_2) \in [/mm] M [mm] \times M\,.$|]
[/mm]
Man sagt dann zwar "oft" auch, dass [mm] "$(M,d)\,$" [/mm] ein metrischer Raum ist,
aber das liegt nur an der obigen Definition von [mm] $d_M\,.$ [/mm] Die Aussage
[mm] "$(M,d)\,$ [/mm] ist ein metrischer Raum" kann 'wortwörtlich' so nämlich erstmal
nicht stimmen, denn sie würde beinhalten, dass der Definitionsbereich von
[mm] $d\,$ [/mm] halt $M [mm] \times [/mm] M$ wäre - aber das gilt, weil $d [mm] \colon [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] ist [mm] ($(X,d)\,$ [/mm] war metrischer
Raum!), dann für $M [mm] \subseteq [/mm] X$ nur im Falle [mm] $X=M\,.$ [/mm] Insofern ist das eine
"Sprechweise, die sich aus reiner Faulheit/Gewohnheit" etabliert hat, die
man strenggenommen aber nicht nutzen dürfte. Man nutzt sie aber
dennoch, weil man halt davon ausgeht, dass eh jeder weiß, wie das
gemeint ist!)
> M ist "bildlich" gesprochen der rand der einheitskugel um s
> und die strecke vom 0-punkt bis zu (1,0).
>
> [mm]S^1[/mm] = [mm]\{ s \in\IR^2 : s_1^2 + s_2^2 =1\}[/mm]
> [mm]K_\epsilon[/mm] (x) =
> [mm]\{ y \in M | \sqrt{(x_1 - y_1)^2 +(x_2-y_2)^2} \le \red{1} \}[/mm]
> für bel x [mm]\in[/mm] M
> [mm]U_\epsilon[/mm] (x) = [mm]\{ y \in M | \sqrt{(x_1 - y_1)^2 +(x_2-y_2)^2} < \red{1} \}[/mm]
> für bel x [mm]\in[/mm] M
Anstatt der roten [mm] $1\,$-en [/mm] sollten da [mm] $\epsilon$ [/mm] stehen!
> Ich weiß nun nicht wirklich weiter. Da ja x beliebig [mm]\in[/mm] M
> ist..
Naja: Zeige mal, dass [mm] $K_1((0,0))=M\,.$ [/mm] (Du könntest sogar [mm] $K_r((0,0))=M$ [/mm]
für alle $r [mm] \ge [/mm] 1$ zeigen!) Und dann: Was ist denn [mm] $U_1((0,0))$ [/mm] ? Und was ist
[mm] $\overline{U_1((0,0))}$ [/mm] ?
P.S. Ich frage mich hier eigentlich eher, wieso man nicht einfach
[mm] $$M:=S^1 \cup \{(0,0)\}$$
[/mm]
hergenommen hat. (Vielleicht einfach auch nur, um nicht "die Wahl der
Kugel" zu offensichtlich zu machen?)
P.P.S. Du sollst bzgl. [mm] $M\,$ [/mm] auch nur EIN Gegenbeispiel finden. Nicht für
jedes $x [mm] \in [/mm] M$ ein Gegenbeispiel - so viel verlangt die Aufgabe doch nicht.
Lies' einfach nochmal genau die Aufgabenstellung. Aus dieser folgt: Mit
der vorgegebenen Menge [mm] $M\,$ [/mm] ist ein [mm] $x_0 \in [/mm] M$ und ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ so zu finden, dass
[mm] $\overline{U_{\epsilon_0}(x_0)} \subsetneqq K_{\epsilon_0}(x_0)\,.$
[/mm]
(Bzw. so, dass
$ [mm] K_{\epsilon_0}(x_0) \not\subseteq \overline{U_{\epsilon_0}(x_0)}\,.$)
[/mm]
Edit, Ergänzung: Du kannst auch mal den Punkt $(0,1) [mm] \in [/mm] M$ hernehmen. Dann gehört
[mm] $(0,0)\,$ [/mm] zu [mm] $B_1(\,(0,1)\,)\,.$ [/mm] Aber [mm] $(0,0)\,$ [/mm] gehört weder zu [mm] $U_1(\,(0,1)\,)$ [/mm] noch zu [mm] $\overline{U_1(\,(0,1)\,)}\,.$ [/mm]
(Letzteres wäre aber zu beweisen - etwa so: Angenommen, $(0,0) [mm] \in \overline{U_1(\,(0,1)\,)}\,.$ [/mm] Dann gibt
es eine Folge [mm] ${(m_n)}_n\equiv {((m_n^x,m_n^y))}_n \in U_1(\,(0,1)\,)^{\IN}$ [/mm] (beachte, dass hier ja [mm] $U_1(\,(0,1)\subseteq [/mm] M$ ist!) mit
[mm] $d((0,0),\,(m_n^x,m_n^y)) \longrightarrow [/mm] 0$... Anschaulich ist das ziemlich offensichtlich, dass das nicht
funktioniert. Formal hat man da schon was hinzuschreiben. Reicht Dir die
Anschauung? Oder willst Du es lieber auch aufgeschrieben sehen? Falls ja:
Du kannst das selbst auch relativ schnell folgern, wenn Du beweist, dass [mm] $U_1(\,(0,1)\,) \subseteq S^1$ [/mm]
gilt - denn wieso kann es keine Folge in [mm] $S^1$ [/mm] geben, die gegen den Nullpunkt $(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm]
konvergiert?)
Alternativ kannst Du anstatt $(0,1) [mm] \in [/mm] M$ auch $(-1,0) [mm] \in [/mm] M$ oder $(0,-1) [mm] \in [/mm] M$
betrachten...
Gruß,
Marcel
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Mich verwirren deine Bezeichnungen etwas! [mm] (B_\epsilon [/mm] wird bei uns auch für die offene nicht geschlossene kugel bezeichnet)
> Zeige mal, dass $ [mm] K_1((0,0))=M\,. [/mm] $ (Du könntest sogar $ [mm] K_r((0,0))=M [/mm] $
für alle $ r [mm] \ge [/mm] 1 $ zeigen!)
Dass verstehe ich nicht!
[mm] K_1((0,0)) [/mm] = [mm] \{ y \in M | \sqrt{y_1^2 + y_2^2} \le 1 \} [/mm]
Dass [mm] S_1 \subseteq K_1((0,0)) [/mm] und [mm] \{(x_1 , 0 ) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \le 1 \}\subseteq K_1((0,0)) [/mm] ist offensichtlich.
Aber die umgekehrte Gleichheit ist mir nicht klar.
> Du kannst auch mal den Punkt $ (0,1) [mm] \in [/mm] M $ hernehmen. Dann gehört
> $ [mm] (0,0)\, [/mm] $ zu $ [mm] B_1(\,(0,1)\,)\,. [/mm] $ Aber $ [mm] (0,0)\, [/mm] $ gehört weder zu $ [mm] U_1(\,(0,1)\,) [/mm] $ noch zu $ [mm] \overline{U_1(\,(0,1)\,)}\,. [/mm] $
> (Letzteres wäre aber zu beweisen - etwa so: Angenommen, $ (0,0) [mm] \in [/mm] > [mm] \overline{U_1(\,(0,1)\,)}\,. [/mm] $ Dann gibt
> es eine Folge $ [mm] {(m_n)}_n\equiv {((m_n^x,m_n^y))}_n \in U_1(\,(0,1)\,)^{\IN} [/mm] $ (beachte, dass hier ja $ [mm] U_1(\,(0,1)\subseteq [/mm] M $ ist!) mit
> $ [mm] d((0,0),\,(m_n^x,m_n^y)) \longrightarrow [/mm] 0 $... Anschaulich ist das ziemlich offensichtlich, dass das nicht
> funktioniert. Formal hat man da schon was hinzuschreiben. Reicht Dir die
> Anschauung? Oder willst Du es lieber auch aufgeschrieben sehen? Falls ja:
> Du kannst das selbst auch relativ schnell folgern, wenn Du beweist, dass $ [mm] U_1(\,(0,1)\,) \subseteq S^1 [/mm] $
> gilt - denn wieso kann es keine Folge in $ [mm] S^1 [/mm] $ geben, die gegen den > Nullpunkt $ (0,0) [mm] \in \IR^2 [/mm] $
> konvergiert?)
Was bedeutet die bezeichnung: [mm] U_1(\,(0,1)\,)^{\IN} [/mm] $ ??
Wie sehe ich das: $ [mm] U_1(\,(0,1)\,) \subseteq S^1 [/mm] $ ?
$ [mm] U_1((0,1)) [/mm] $ = $ [mm] \{ y \in M | \sqrt{y_1^2 +(1- y_2)^2} < 1 \} [/mm] $ = [mm] \{ y \in M | \sqrt{y_1^2 +1- 2y_2 + y_2^2} < 1 \} [/mm] = [mm] \{ y \in M | \sqrt{y_1^2 - 2y_2 + y_2^2} < 0 \}
[/mm]
> denn wieso kann es keine Folge in $ [mm] S^1 [/mm] $ geben, die gegen den Nullpunkt $ (0,0) [mm] \in \IR^2 [/mm] $
> konvergiert?)
Weil man immer abstand 1 zum nullpunkt hat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mich verwirren deine Bezeichnungen etwas! [mm](B_\epsilon[/mm] wird
> bei uns auch für die offene nicht geschlossene kugel
> bezeichnet)
>
> > Zeige mal, dass [mm]K_1((0,0))=M\,.[/mm] (Du könntest sogar
> [mm]K_r((0,0))=M[/mm]
> für alle [mm]r \ge 1[/mm] zeigen!)
> Dass verstehe ich nicht!
> [mm]K_1((0,0))[/mm] = [mm]\{ y \in M | \sqrt{y_1^2 + y_2^2} \le 1 \}[/mm]
> Dass [mm]S_1 \subseteq K_1((0,0))[/mm] und [mm]\{(x_1 , 0 ) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \le 1 \}\subseteq K_1((0,0))[/mm]
> ist offensichtlich.
> Aber die umgekehrte Gleichheit
Du meinst TEILMENGENBEZIEHUNG!
> ist mir nicht klar.
Warum nicht? Sei $m [mm] \in M\,,$ [/mm] dann ist [mm] $m=(m_1,m_2) \in \IR^2$ [/mm] mit
[mm] ($m_2=0$ [/mm] und $0 [mm] \le m_1 \le [/mm] 1$) oder $m [mm] \in S^1$ [/mm] (d.h. [mm] $\sqrt{{m_1}^2+{m_2}^2} \red{\;=\;} [/mm] 1$). (Edit: Korrigiert! Danke für den Hinweis!)
Und nun bedenke mal: Welche [mm] $m=(m_1,m_2) \in [/mm] M$ erfüllen denn [mm] $\sqrt{{m_1}^2+{m_2}^2} \le r^2$ [/mm] für $r [mm] \ge [/mm] 1$?
(Dann bekommst Du auch die $r [mm] \ge [/mm] 1$-Aussage hin!)
>
> > Du kannst auch mal den Punkt [mm](0,1) \in M[/mm] hernehmen. Dann
> gehört
> > [mm](0,0)\,[/mm] zu [mm]B_1(\,(0,1)\,)\,.[/mm] Aber [mm](0,0)\,[/mm] gehört weder
> zu [mm]U_1(\,(0,1)\,)[/mm] noch zu [mm]\overline{U_1(\,(0,1)\,)}\,.[/mm]
>
> > (Letzteres wäre aber zu beweisen - etwa so: Angenommen,
> [mm](0,0) \in > \overline{U_1(\,(0,1)\,)}\,.[/mm] Dann gibt
> > es eine Folge [mm]{(m_n)}_n\equiv {((m_n^x,m_n^y))}_n \in U_1(\,(0,1)\,)^{\IN}[/mm]
> (beachte, dass hier ja [mm]U_1(\,(0,1)\subseteq M[/mm] ist!) mit
> > [mm]d((0,0),\,(m_n^x,m_n^y)) \longrightarrow 0 [/mm]...
> Anschaulich ist das ziemlich offensichtlich, dass das
> nicht
> > funktioniert. Formal hat man da schon was
> hinzuschreiben. Reicht Dir die
> > Anschauung? Oder willst Du es lieber auch aufgeschrieben
> sehen? Falls ja:
> > Du kannst das selbst auch relativ schnell folgern, wenn
> Du beweist, dass [mm]U_1(\,(0,1)\,) \subseteq S^1[/mm]
> > gilt -
> denn wieso kann es keine Folge in [mm]S^1[/mm] geben, die gegen den
> > Nullpunkt [mm](0,0) \in \IR^2[/mm]
> > konvergiert?)
> Was bedeutet die bezeichnung: [mm]U_1(\,(0,1)\,)^{\IN}[/mm] $ ??
Für Mengen [mm] $X,Y\,$ [/mm] bedeutet [mm] $X^Y:=\{f \colon Y \to X:\;\; f \text{ ist eine Abbildung}\}\,.$ [/mm] Mit [mm] $U_1(\,(0,1)\,)^{\IN}$ [/mm] meine ich die Menge
aller Abbilungen mit Definitionsbereich [mm] $\IN$ [/mm] und Zielmenge [mm] $U_1(\,(0,1)\,)\,,$ [/mm] also "die Menge aller
Folgen mit Werten in [mm] $U_1(\,(0,1)\,)\,.$" [/mm]
> Wie sehe ich das: [mm]U_1(\,(0,1)\,) \subseteq S^1[/mm] ?
> [mm]U_1((0,1))[/mm] = [mm]\{ y \in M | \sqrt{y_1^2 +(1- y_2)^2} < 1 \}[/mm]
> = [mm]\{ y \in M | \sqrt{y_1^2 +1- 2y_2 + y_2^2} < 1 \}[/mm] = [mm]\{ y \in M | \sqrt{y_1^2 - 2y_2 + y_2^2} < 0 \}[/mm]
Das ist mir jetzt zu viel aufgeschrieben. Überlege doch mal: Du betrachtest als Grundmenge [mm] $M\,$ [/mm] eben die
Kreislinie um den Nullpunkt vereinigt mit "der Strecke [mm] $\overline{(0,0),\,(1,0)}$ [/mm] der $x$-Achse". [mm] $U_1(\,(0,1)\,)$ [/mm] ist halt eine
Teilmenge dieser Menge [mm] $M\,,$ [/mm] rein per Definitionem! Wenn $y [mm] \in U_1(\,(0,1)\,)$ [/mm] ist (nochmals: wir meinen nicht den offenen
[mm] "$\IR^2$-Ball", [/mm] sondern diese offene Umgebung bzgl. [mm] $M\,$!), [/mm] dann ist $y [mm] \in S^1$ [/mm] oder es ist [mm] $y=(y_1,0)$ [/mm] mit einem $0 [mm] \le y_1 \le 1\,.$
[/mm]
Angenommen, letzteres wäre der Fall: [mm] $y=(y_1,0)$ [/mm] wie oben. Dann ergibt sich
[mm] $$\|(y_1,0)-(0,1)\|_2=\|(y_1,-1)\|_2=\sqrt{{y_1}^2+{(-1)}^2} \ge ...\red{\text{ ?}}$$ [/mm]
(Was musst/solltest Du für das Fragezeichen einsetzen, und was zeigt diese Rechnung?)
Also folgt, dass nur $y [mm] \in S^1$ [/mm] sein kann...
(Und nur, damit das nochmal klarer wird: [mm] $U_1(\,(0,1)\,)$ [/mm] ist die MENGE ALLER PUNKTE AUS [mm] $M\,$ [/mm] deren Abstand
zu $(0,1) [mm] \in \IR^2$ [/mm] echt kleiner als [mm] $1\,$ [/mm] ist. Sagen wir mal, es ist [mm] $B_1(\,(0,1)\,):=\{y \in \red{\IR^2}:\;\|y-(0,1)\|_^2 < 1\}\,,$
[/mm]
also der [mm] $\IR^2$-offene [/mm] Ball, den ich oben ansprach! Dann ist [mm] $U_1(\,(0,1)\,)=M \cap B_1(\,(0,1)\,)\,.$ [/mm] Beachte diesen
Unterschied!! ("Schlimmstenfalls" schreibe sowas wie [mm] $U_1^M(\,(0,1)\,)$ [/mm] anstatt [mm] $U_1(\,(0,1)\,)$!)
[/mm]
Vielleicht wäre es gut: Kannst Du eventuell eine Skizze mal anfertigen, anhand derer man [mm] $U_1(\,(0,1)\,) \;\;(\subseteq [/mm] M)$
erkennt? Denn dann sehe ich, ob Dir das wirklich klar ist!)
> > denn wieso kann es keine Folge in [mm]S^1[/mm] geben, die gegen den
> Nullpunkt [mm](0,0) \in \IR^2[/mm]
> > konvergiert?)
> Weil man immer abstand 1 zum nullpunkt hat
Genau: Gäbe es eine solche Folge, so müßte die zugehörige Folge der Abstände zum Nullpunkt in [mm] $\IR$ [/mm] gegen [mm] $0\,$
[/mm]
konvergieren - bei einer Folge in [mm] $S^1$ [/mm] ist die angesprochene zugehörige Abstandsfolge zum Nullpunkt aber
konstant 1 und damit sicher keine Nullfolge!
Gruß,
Marcel
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Hallo nochmal
> Warum nicht? Sei $ m [mm] \in M\,, [/mm] $ dann ist $ [mm] m=(m_1,m_2) \in \IR^2 [/mm] $ mit
> ($ [mm] m_2=0 [/mm] $ und $ 0 [mm] \le m_1 \le [/mm] 1 $) oder $ m [mm] \in S^1 [/mm] $ (d.h. $ [mm] \sqrt{{m_1}^2+{m_2}^2} \le [/mm] 1 $).
> Und nun bedenke mal: Welche $ [mm] m=(m_1,m_2) \in [/mm] M $ erfüllen denn $ [mm] \sqrt{{m_1}^2+{m_2}^2} \le r^2 [/mm] $ für $ r [mm] \ge [/mm] 1 $?
> (Dann bekommst Du auch die $ r [mm] \ge [/mm] 1 $-Aussage hin!)
Ich dachte [mm] S^1 [/mm] = [mm] \{ x \in \IR^2 : x_1^2 + x_2^2=1 \}
[/mm]
Also die x am Rand der Einheitskugel.
Bei dir steht aber: [mm] \sqrt{{m_1}^2+{m_2}^2} \le [/mm] 1
Ich verstehe hier eben nicht:
[mm] x\in [/mm] $ [mm] K_1((0,0)) [/mm] $ = $ [mm] \{ y \in M | \sqrt{y_1^2 + y_2^2} \le 1 \} [/mm] $ impliziert doch nicht x [mm] \in [/mm] M.
In [mm] K_1((0,0)) [/mm] sind doch noch andere Punkt drinnen wie (-1/2, 0) die nicht in M vorkommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nochmal
>
>
> > Warum nicht? Sei [mm]m \in M\,,[/mm] dann ist [mm]m=(m_1,m_2) \in \IR^2[/mm]
> mit
>
> > ([mm] m_2=0[/mm] und [mm]0 \le m_1 \le 1 [/mm]) oder [mm]m \in S^1[/mm] (d.h.
> [mm]\sqrt{{m_1}^2+{m_2}^2} \le 1 [/mm]).
>
> > Und nun bedenke mal: Welche [mm]m=(m_1,m_2) \in M[/mm] erfüllen
> denn [mm]\sqrt{{m_1}^2+{m_2}^2} \le r^2[/mm] für [mm]r \ge 1 [/mm]?
> > (Dann
> bekommst Du auch die [mm]r \ge 1 [/mm]-Aussage hin!)
> Ich dachte [mm]S^1[/mm] = [mm]\{ x \in \IR^2 : x_1^2 + x_2^2=1 \}[/mm]
> Also
> die x am Rand der Einheitskugel.
> Bei dir steht aber: [mm]\sqrt{{m_1}^2+{m_2}^2} \le[/mm] 1
Du hast recht, das war ein Fehler von mir. Habe ich korrigiert!
> Ich verstehe hier eben nicht:
> [mm]x\in[/mm] [mm]K_1((0,0))[/mm] = [mm]\{ y \in M | \sqrt{y_1^2 + y_2^2} \le 1 \}[/mm]
> impliziert doch nicht x [mm]\in[/mm] M.
Doch. Wenn Du eine Menge [mm] $X\,$ [/mm] hast und dann [mm] $A:=\{y \in \red{\;X\;}:\;\; y \text{ hat Eigenschaft }E\}$ [/mm]
hast, dann ist rein per Definitionem $A [mm] \subseteq X\,.$
[/mm]
Vielleicht wird es klarer, wenn Du [mm] $A=\{y \in X \text{ und }y \text{ hat Eigenschaft }E\}$
[/mm]
schreibst!
> In [mm]K_1((0,0))[/mm] sind doch noch andere Punkt drinnen wie
> (-1/2, 0) die nicht in M vorkommen?
Das ist halt genau das, was ich dachte, dass Du es nicht beachtest. Ist [mm] $(X,d)\,$
[/mm]
ein metrischer Raum, so bedeutet dass ja, dass $d [mm] \colon [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] eine Metrik ist.
Die Abbildung [mm] $d\,$ [/mm] erfüllt halt gewisse Eigenschaften. Du denkst jetzt hier
immer im metrischen Raum [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der durch die euklidische Norm induzierten
Metrik, d.h. in Deiner Gedankenwelt bist Du momentan verankert in
[mm] $$(\IR^2,d_{\IR^2}) \text{ mit }d_{\IR^2}\colon \IR^2 \times \IR^2 \to \IR$$
[/mm]
definiert durch
[mm] $$d_{\IR^2}(x,y)=d_{\IR^2}(\,(x_1,x_2),(y_1,y_2)\,):=\sqrt{{(x_1-y_1)}^2+{(x_2-y_2)}^2}\,.$$ [/mm]
Wir definieren zur Abkürzung jetzt einfach [mm] $d:=d_{\IR^2}\,,$ [/mm] d.h. der obige "Anschauungsraum"
heißt nun metrischer Raum [mm] $(\IR^2,d)\,$ [/mm] anstatt [mm] $(\IR^2,d_{\IR^2})\,.$ [/mm]
Nun hast Du - und da ist es eigentlich egal, welche; sie sollte halt nicht leer
sein - irgendeine Teilmenge $M [mm] \subseteq \IR^2\,.$ [/mm] (Wie gesagt $M [mm] \not=\emptyset$!)
[/mm]
Dann ist [mm] $(M,d_M)$ [/mm] mit [mm] $d_M:=d_{\red{\;|\;M \times M}}$ [/mm] ein metrischer Raum. Jetzt kann das passieren, was Du
anscheinend machst: Du verwechselst die Kugeln des metrischen Raums
[mm] $(\IR^2,d)\,$ [/mm] mit denen des metrischen Raumes [mm] $(M,d_M)\,,$ [/mm] einfach, weil Du in [mm] $M\,$ [/mm] glaubst, auch alle
anderen Elemente des [mm] $\IR^2$ [/mm] "zu sehen" (die Elemente des [mm] $\IR^2 \setminus [/mm] M$ sind aber aus Sicht des metrischen Raums
[mm] $(M,d_M)$ [/mm] quasi nicht zu sehen). Das ist aber nur die Anschauung, die Dir hier einen Streich spielt.
Denn schau' mal genau in die Definition, was da steht:
Allgemein: Ist [mm] $(X,d_X)$ [/mm] ein metrischer Raum, so heißt für [mm] $x_0 \in [/mm] X$ und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$
[mm] $$U_\epsilon(x_0):=\{y \red{\;\in X\;}:\;\;d_X(x_0,y) < \epsilon\}$$
[/mm]
OFFENE Umgebung/Kugel (offener Kreis) mit Radius [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und Mittelpunkt [mm] $x_0\,.$
[/mm]
Der Deutlichkeit halber kannst Du auch [mm] $U_\epsilon^X(x_0)$ [/mm] schreiben, denn dann
weißt Du, wenn Du diese Menge nicht komplett aufschreibst, auf welchen
metrischen Raum sie sich bezieht.
Bei Dir ist der Ausgangsraum [mm] $(\IR^2,d)\,,$ [/mm] so wie oben definiert. Entsprechend ist
[mm] $K_1^{\red{\IR^2}}(\,(0,0)\,)=\{y \in \IR^2:\;\;\sqrt{{y_1}^2+{y_2}^2}\le1\}$
[/mm]
die anschauliche abgeschlossene Einheitskreisscheibe mit Radius [mm] $1\,$ [/mm] und
Mittelpunkt $(0,0) [mm] \in \IR^2\,.$
[/mm]
Nun hattest Du [mm] $M:=S^1 \cup \overline{(0,0),\,(1,0)}\,,$ [/mm] wobei
[mm] $$\overline{(0,0),\,(1,0)}:=\{y \in \IR^2:\;\;0 \le y_1 \le 1 \text{ und }y_2=0\}\,.$$
[/mm]
Was ist nun [mm] $K_1^M((0,0))$? [/mm] (Hier liegt DER METRISCHE RAUM [mm] $(M,d_M)$ [/mm] zugrunde!!) Das ist - rein
per Definitionem:
[mm] $$K_1^M((0,0))=\{y \in \red{\;M\;}:\;\;\sqrt{{y_1}^2+{y_2}^2}=1\}\,.$$
[/mm]
Anders gesagt:
[mm] $K_1^M((0,0))$ [/mm] ist die MENGE ALLER ELEMENTE AUS [mm] $M\,,$ [/mm] deren Abstand
zum Punkt [mm] $(0,0)\,$ [/mm] (beachte auch: $(0,0) [mm] \in [/mm] M$) kleiner oder gleich 1 ist!
Und das ist leicht zu zeigen, dass dann [mm] $K_1^M((0,0))=M$ [/mm] bei Dir ist , aber es ist
etwa [mm] $(-1/2,\,0) \in K_1^{\IR^2}((0,0))$ [/mm] (beachte hier auch $(0,0) [mm] \in \IR^2$), [/mm] es kann jedoch nicht [mm] $(-1/2,\,0) \in K_1^M((0,0))$ [/mm] gelten:
Wäre nämlich [mm] $(-1/2,\,0) \in K_1^M((0,0))\,,$ [/mm] so wäre [mm] $(-1/2,\,0)\,$ [/mm] EIN PUNKT AUS [mm] $M\,,$ [/mm] dessen Abstand
zu [mm] $(0,\,0)\,$ [/mm] kleiner oder gleich [mm] $1\,$ [/mm] wäre. Aber es ist ja [mm] $(-1/2,\,0) \notin S^1$ [/mm] und auch [mm] $(-1/2,\,0) \notin \overline{(0,0),\,(1,0)}$...
[/mm]
Und dennoch ist die [mm] $\IR^2$-Anschauung [/mm] sehr hilfreich. Willst Du nämlich etwa mal [mm] $K_{0,5}^M((1,0))$
[/mm]
skizzieren, so machst Du das wie folgt:
Mit etwa einer roten Farbe malst Du Dir [mm] $S^1$ [/mm] (die Kreislinie um [mm] $(0,0)\,$ [/mm] mit
Radius [mm] $1\,$) [/mm] und [mm] $\overline{(0,0),\,(1,0)}\,$ [/mm] auf, und alles rotmarkierte ist
Deine Menge [mm] $M\,,$ [/mm] denn es ist ja [mm] $M=S^1 \cup \overline{(0,0),\,(1,0)}$ [/mm] gewesen!
Wenn ich [mm] $K_{0,5}^M((1,0))$ [/mm] zeichnen will, sollte schonmal der Punkt $(1,0) [mm] \in [/mm] M$ gelegen,
also rotmarkiert sein. Das wirst Du schon sehen, dass das der Fall ist - Du
kannst es aber auch nachrechnen, wobei das trivial ist!
Stelle Deinen Zirkel auf Radius [mm] $0,5\,$ [/mm] ein und setze ihn an [mm] $(1,0)\,$ [/mm] an und zeichne
die entsprechende Kreislinie.
Dann markierst Du Dir die abgeschlossene Kreisscheibe des [mm] $\IR^2$ [/mm] mit Mittelpunkt
[mm] $(1,0)\,$ [/mm] und Radius [mm] $0,5\,,$ [/mm] meinetwegen "als schraffierte Fläche".
So siehst Du zunächst (schraffierte FLÄCHE)
[mm] $$K_{0,5}^{\IR^2}((1,0)) \;\;(\not= K_{0,5}^M((1,0)))\,.$$
[/mm]
Wie "sieht" man nun [mm] $K_{0,5}^M((1,0))$? [/mm] Naja, das sind genau die Punkte
aus [mm] $K_{0,5}^{\IR^2}((1,0))\,,$ [/mm] die ROTMARKIERT sind.
Und dann wirst Du sofort "sehen", dass [mm] $K_{0,5}((1,0))$ [/mm] nur Punkte aus [mm] $S^1$ [/mm] enthält (das
"sieht" zwar nicht wie eine abgeschlossene Kreisscheibe mehr aus,
sondern "wie eine abgeschlossene gebogene Strecke", aber das liegt rein
an der Definition von [mm] $M\,$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo
Supa, das verstehe ich.
Wir haben nun ja 2 Beweise:
1) [mm] x_0 [/mm] =(0,1) [mm] \in [/mm] M;
(0,0) [mm] \in K_1 [/mm] ((0,1))
Aber (0,0) [mm] \not\in U_1 [/mm] ((0,1)) und (0,0) [mm] \not\in \overline{U_1(0,1)}
[/mm]
Wobei wir letzteres mit hilfe eines Widerspruchsbeweises argumentiert haben.
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2) $ [mm] K_1 [/mm] $ (0,0)= M (laut unseren Gespräch geklärt)
[mm] U_1 [/mm] (0,0) = {x [mm] \in [/mm] M | [mm] \sqrt{y_1^2 + y_2^2} [/mm] < 1} [mm] ={(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 < 1 \} [/mm]
Begründung:
Da $ [mm] U_1 [/mm] $ (0,0) $ [mm] \subseteq [/mm] $ M , $ [mm] U_1 [/mm] $ (0,0) $ [mm] \not\in S^1 [/mm] $ -> $ [mm] U_1 [/mm] $ (0,0) $ [mm] \subseteq \{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \le 1 \} [/mm] $
(1,0) $ [mm] \not\in U_1(0,0) [/mm] $ aber sonst $ [mm] (x_1, [/mm] $ 0) $ [mm] \in U_1 [/mm] $ (0,0) für 0 $ [mm] \le x_1 [/mm] $ < 1
$ [mm] \overline{U_1 (0,0)} [/mm] $ = $ [mm] {(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \le 1 \} [/mm] $
(ituitiv in der zeichung angeschaut)
Mir fehlt bei diesem aber eine mathematische begründung. Abschluss ist die kleinste Menge, die $ [mm] U_1 [/mm] $ (0,0) enthält und abgeschlossen ist.
offensichtlich $ [mm] U_1 [/mm] $ (0,0) $ [mm] \subseteq \overline{U_1 (0,0)} [/mm] $
kleinere abgeschlossene Menge kann es ja nicht geben, weil $ [mm] U_1(0,0) [/mm] $ ja offen wäre.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 2) [mm]K_1[/mm] (0,0)= M (laut unseren Gespräch geklärt)
gut. 
> [mm]U_1 (0,0) = \{\red{x} \inM | \sqrt{y_1^2 + y_2^2} < 1\}=\{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 < 1 \}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Wobei Du vielleicht besser [mm] $\red{x}$ [/mm] durch [mm] $y=(y_1,y_2)$ [/mm] ersetzen solltest!)
> Begründung:
> Da [mm]U_1[/mm] (0,0) [mm]\subseteq[/mm] M ,
Das ist ja - wie gesagt - per Definitionem so, da wir [mm] $M\,$ [/mm] als "Grundmenge" betrachten!
> [mm]U_1[/mm] (0,0) [mm]\not\in S^1[/mm]
Vorsicht: Du willst hier eher sowas sagen wie [mm] $U_1(0,0) \cap S^1=\emptyset\,,$ [/mm] oder
[mm] $$\forall [/mm] y [mm] \in U_1(0,0) \Longrightarrow [/mm] y [mm] \notin S^1\,.$$
[/mm]
Denn die Aussage, dass diese Umgebung kein Element von [mm] $S^1$ [/mm] ist, wirst
Du sicher nicht meinen! Ich gehe also mal davon aus, dass Du das richtig
gemeint hattest, Du hast aber Falsches geschrieben!
> -> [mm]U_1[/mm](0,0) [mm]\subseteq \{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \le 1 \}[/mm]
Das würde dann zu der obigen Korrektur passen: Wenn [mm] $U_1(0,0) \cap S^1=\emptyset$ [/mm] gilt, so folgt
[mm] $U_1(0,0) \subseteq \overline{(0,0),\,(1,0)}$ [/mm] nach Definition von [mm] $M\,.$
[/mm]
> (1,0) [mm]\not\in U_1(0,0)[/mm] aber sonst [mm](x_1,[/mm] 0) [mm]\in U_1[/mm] (0,0)
> für 0 [mm]\le x_1[/mm] < 1
Ja - was Du hier eigentlich machst, ist: Du willst ja [mm] $U_1(0,0)=\{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \red{\;<\;} 1 \}$ [/mm] beweisen.
Dann hast Du erstmal begründet, dass [mm] $U_1(0,0) \subseteq \{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \blue{\;\le\;} 1 \}$ [/mm] gelten muss.
Danach hast Du [mm] $\{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \blue{\;\le\;} 1 \}=\{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \red{\;<\;} 1 \} \cup \{(1,0)\}$ [/mm] benutzt und dann
gezeigt, dass [mm] $U_1(0,0) \subseteq \{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \red{\;<\;} 1 \}$ [/mm] gelten muss. Dann wäre eigentlich noch zu begründen,
dass auch [mm] $U_1(0,0) \red{\;\supseteq\;} \{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \red{\;<\;} 1 \}$ [/mm] gilt!
> [mm]\overline{U_1 (0,0)}[/mm] = [mm]{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \le 1 \}[/mm]
> (ituitiv in der zeichung angeschaut)
> Mir fehlt bei diesem aber eine mathematische begründung.
Wir wollen also [mm] $\overline{U_1(0,0)}=\{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \red{\;\le\;} 1 \}\,$ [/mm] beweisen (für mitlesende, die nicht den ganzen
Thread kennen: Hier ist NICHT die [mm] $\IR^2$-Umgebung [/mm] gemeint, sondern die bzgl. einer
Teilmenge $M [mm] \subsetneqq \IR^2$):
[/mm]
Es gilt
[mm] $$(I)\;\;\;\;\;\;\overline{U_1(0,0)}=\{x \in M:\exists m_n \in U_1^M(0,0) \;\;(\subseteq M) \text{ mit }m_n \to x \text{ bei }n \to \infty\}\,.$$ [/mm]
(Dabei ist die Konvergenz bzgl. [mm] $\|.\|_2$ [/mm] gemeint!)
(Der Abschluss einer Menge ist nichts anderes als die Menge aller
Berührpunkte der betrachteten Menge: ![[]](/images/popup.gif) siehe Wiki! (klick!))
Und [mm] $(I)\,$ [/mm] nutzt Du dann aus, um
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;\overline{U_1(0,0)}=\{(x_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le x_1 \red{\;\le\;} 1 \}\,$$
[/mm]
zu beweisen:
Zu [mm] "$\subseteq$" [/mm] bei [mm] $(\*)$: [/mm] Ist $x [mm] \in \overline{U_1(0,0)}\,,$ [/mm] so gibt es eine Folge [mm] ${(m_n)}_n$ [/mm] in [mm] $U_1(0,0)$ [/mm] mit [mm] $m_n \to x\,.$ [/mm]
Wegen [mm] $S^1 \cap U_1(0,0)=\emptyset$ [/mm] folgt [mm] $m_n \in \{(r_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le r_1 \red{\;<\;} 1 \}$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Folgere mal,
dass hier nur $x [mm] \in \{(r_1 ,0) \in \IR^2 | 0 \le r_1 \red{\;\le\;} 1 \}$ [/mm] möglich ist!
> Abschluss ist die kleinste Menge, die [mm]U_1[/mm] (0,0) enthält
> und abgeschlossen ist.
> offensichtlich [mm]U_1[/mm] (0,0) [mm]\subseteq \overline{U_1 (0,0)}[/mm]
Ja, das stimmt alles. (Und es gilt auch: Ist $A [mm] \subseteq B\,,$ [/mm] so folgt [mm] $\overline{A} \subseteq \overline{B}\,$!)
[/mm]
Aber zurück zu obigem: Um [mm] "$\supseteq$" [/mm] bei [mm] $(\*)$ [/mm] einzusehen:
Klar ist, dass [mm] $U_1^M(0,0)=\{(r_1,0) \in M: 0 \le r_1 < 1\} \subseteq \overline{U_1^M(0,0)}\,.$ [/mm] Es bleibt also zu zeigen, dass noch
[mm] $\{(1,0)\} \subseteq \overline{U_1^M(0,0)}$ [/mm] gilt. Weil aber $(1-1/n,0) [mm] \in [/mm] M$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt und weil $(1-1/n,0) [mm] \to [/mm] (1,0)$
bzgl. [mm] $\|.\|_2$ [/mm] gilt, ist das klar.
> kleinere abgeschlossene Menge kann es ja nicht geben, weil
> [mm]U_1(0,0)[/mm] ja offen wäre.
Na okay, es geht auch komplett so, wie Du das machen willst, aber das
musst Du schon sauber und ausführlich aufschreiben - vor allem der letzte
Satz macht so keinen Sinn.
Du kannst es so machen:
Schreiben wir mal $B:= [mm] \{(r_1,0) \in M: 0 \le r_1 \le 1\}\,.$ [/mm] Klar ist, dass [mm] $U_1^M \subseteq B\,.$ [/mm] Zeige nun erstmal, dass [mm] $B\,$ [/mm]
abgeschlossen (in [mm] $M=S^1 \cup \overline{(0,0),\,(1,0)}\,$ [/mm] - aber das würde auch in [mm] $\IR^2$ [/mm] gelten) ist. Denn dann folgt
[mm] $\overline{U_1^M(0,0)} \subseteq B=\overline{B}\,.$ [/mm] Nun beweise:
Ist $A [mm] \subseteq [/mm] M$ abgeschlossen UND gilt [mm] $U_1^M(0,0) \subseteq B\,,$ [/mm] so folgt schon $B [mm] \subseteq A\,.$ [/mm] (Daraus folgt, dass [mm] $B\,$ [/mm] "die
kleinste [mm] ($M\,$-)abgeschlossene [/mm] Teilmenge von [mm] $M\,$ [/mm] ist, die [mm] $U_1^M(0,0)$ [/mm] enthält!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> Supa, das verstehe ich.
gut.
> Wir haben nun ja 2 Beweise:
Ich hatte jedenfalls ein paar Vorschläge gemacht!
> 1) [mm]x_0[/mm] =(0,1) [mm]\in[/mm] M;
Genau, etwa wegen $(0,1) [mm] \in S^1 \subseteq M\,.$
[/mm]
> (0,0) [mm]\in K_1[/mm] ((0,1))
Richtig, denn es ist $(0,0) [mm] \in \overline{(0,0),\,(1,0)} \subseteq M\,.$
[/mm]
> Aber (0,0) [mm]\not\in U_1[/mm] ((0,1))
> und (0,0) [mm]\not\in \overline{U_1(0,1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wobei wir letzteres mit hilfe eines Widerspruchsbeweises
> argumentiert haben.
So ist's! (Wäre $(0,0) \in \overline{U_1((0,1))\,,$ so gäbe es eine Folge in $U_1((0,1))\,,$ die gegen $(0,0)\,$ konvergiert.
Wegen $U_1((0,1)) \subseteq S^1$ (das muss/sollte halt bewiesen werden) folgt dann aber... )
Gruß,
Marcel
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