abgeschlossene Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mi 29.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich habe gelesen, dass die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen, auch wieder abgeschlossen ist. Dies aber nur für ENDLICH viele gilt.
Als Beispiel, dass dies für unendlich viele abgeschlossenen Mengen nich gilt, wurde gezeigt:
[-1+1/n, 1-1/n] ist abgeschlossen.
Aber: [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] [-1+1/n, 1-1/n] = ]-1,1[ ????? also offen
Also ich verstehe nicht, wieso die Vereinigung offen sein soll. Meiner Meinung ist
[mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] [-1+1/n, 1-1/n] = [-1,1] , oder?? Der limes von 1/n geht doch gegen Null also wird doch -1 bzw. +1 angenommen.
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Mi 29.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
habe das mal in Topologie verschoben, aber um auf deine Frage zu antworten:
Man sollte es vielleicht so schreiben:
$ [mm] \bigcup_{n\in \IN} [/mm] $ [-1+1/n, 1-1/n] = ]-1,1[
denn es gibt kein $ [mm] n\in \IN [/mm] $ so dass 1/n = 0 ist, wobei $ [mm] \infty\notin \IN [/mm] $ gilt !
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mi 29.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Aber wenn man doch n aus [mm] \IN [/mm] nimmt, dann ist dies doch gerade die Behauptung, aber kein Gegenbeispiel, oder?
Es soll doch wiederlegt werden, dass die Vereinigung von n abgeschlossenen Mengen mit n einer beliegigen Indexmenge, also auch unendlich zulässig, wieder eine abgeschlossene Menge ist. Was aufgrund meines Beispiels angeblich so ist.
Vielleicht hab ich mich auch nur falsch ausgedrückt.
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mi 29.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Aber wenn man doch n aus [mm]\IN[/mm] nimmt, dann ist dies doch
> gerade die Behauptung, aber kein Gegenbeispiel, oder?
Welche Behauptung ist es?
$ [mm] \bigcup_{n\in \IN} [/mm] $ bedeutet in Worten : Die Vereinigung über alle n aus $ [mm] \IN [/mm] $ - also unendlich viele.
Dann berechnen wir doch mal $ [mm] \bigcup_{n\in \IN} [/mm] $ [-1+1/n, 1-1/n] für steigende n:
n=1 hast du : [0,0]
n=2 hast du : [-0.5 , 0.5]
n=3 hast du : [-0.66 , 0.66]
n=4 hast du : [-0.75 , 0.75 ]
usw...
1) Für jedes $ [mm] \varepsilon [/mm] >0 $ gibt es ein N, so dass
[mm] [-1+$\varepsilon [/mm] $, [mm] 1-$\varepsilon [/mm] $] $ [mm] \subset\bigcup_{n \le N} [/mm] $[-1+1/n, 1-1/n]
2) es gibt aber kein $ [mm] n\in\IN [/mm] $, so dass 1/n = 0, also kann nicht gelten:
[-1,1] $ [mm] \subseteq \bigcup_{n\in \IN} [/mm] $ [-1+1/n, 1-1/n]
also gilt tatsächlich:
$ [mm] \bigcup_{n\in \IN} [/mm] $[-1+1/n, 1-1/n] = ]-1,1[
also ist die Vereinigung unendlich vieler abgeschlossener Intervalle nicht notwendig abgeschlossen.
ich hoffe, dass ich dich jetzt verstanden habe.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 29.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Also ich versuche es mal ganz genau zu erklärern, was ich meine.
Sei X ein metrischer Raum. Dann gilt:
a) Die leere Menge und X sind abgeschlossen
b) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
c) Die Vereinigung ENDLICH vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Zur der Behauptung c) hatte ich das Beispiel, welche zeigen sollte, dass c) wirklich nur für ENDLICH viele abgeschlossene Mengen gilt.
Meine Behauptung war aber, dass: [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} [/mm] [-1+1/n, 1-1/n] aber DOCH abgeschlossen ist. Aber angeblich ist dies nicht der Fall!!
Viele Grüße
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Hallo!
Ich versuche es auch mal:
Was ist denn
[mm] $\bigcup_{n = 1}^\infty \left[ -1 + \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n} \right] [/mm] $ ?
Per Definition ist ein Element $x$ genau dann in einer Vereinigung von Mengen [mm] $A_i$ [/mm] enthalten (also $x [mm] \in \bigcup_{i \in I} A_i$), [/mm] falls gilt: es gibt ein $i [mm] \in [/mm] I$ mit $x [mm] \in A_i$.
[/mm]
Also dann mal los: Sei $x [mm] \in \IR$. [/mm] Falls $x [mm] \in [/mm] ] -1, 1[$, dann gilt: $-1 < x < 1$.
Damit aber gibt es ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] so dass $-1 + [mm] \frac{1}{n} [/mm] < x < 1 - [mm] \frac{1}{n}$. [/mm] Das sollte klar sein - man muss das $n$ nur so groß wählen, dass es bei beiden Ungleichungen klappt.
Also ist das offene Intervall in der Vereinigung enthalten.
Wir sind uns auch einig, dass für $x < -1$ oder für $x > 1$ gilt, dass $x$ nicht in der Vereinigung liegt, da es in keinem der Intervalle liegt.
Strittig sind also die Werte $-1$ und $1$. Schauen wir uns den Wert $1$ mal an:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt: $1 > 1 - [mm] \frac{1}{n}$. [/mm] Also ist $1 [mm] \notin \left[ -1 + \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n} \right]$ [/mm] für alle $n$! Also auch nicht in der Vereinigung, denn sonst gäbe es ja nach Definition der Vereinigung eine Menge, in der die 1 läge!
Analog für -1. Also ist die Vereinigung wirklich gleich dem offenen Intervall.
Du kannst übrigens mit einem ähnlichen Beispiel auch sehen, dass der Schnitt unendlich vieler offener Mengen nicht offen sein muss: was ist denn
[mm] $\bigcap_{n \in \IN} \left] - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right[$ [/mm] ?
Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 29.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmals,
> c) Die Vereinigung ENDLICH vieler abgeschlossener Mengen
> ist abgeschlossen.
>
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> Zur der Behauptung c) hatte ich das Beispiel, welche zeigen
> sollte, dass c) wirklich nur für ENDLICH viele
> abgeschlossene Mengen gilt.
Vorsicht : Der Satz sagt nicht, dass jede unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen offen ist ! Also es gibt durchaus unendliche Vereinigungen, die auch abgeschlossen sind (vereinige unendlich oft [0,1] mit sich selbst), aber man kann das eben nicht für alle folgern.
> Meine Behauptung war aber, dass: [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}[/mm]
> [-1+1/n, 1-1/n] aber DOCH abgeschlossen ist. Aber angeblich
> ist dies nicht der Fall!!
Es ist NICHT abgeschlossen.
Hier musst du eben aufpassen : dein i ist eine natürliche Zahl, deshalb kann "unendlich" nicht eingesetzt werden, deshalb gibt es auch kein i bzw. n, so dass 1/n=0 wird und nur dann wäre ja -1 und 1 in der Vereinigung enthalten.
Der Rest hat ja auch schon Lars gesagt, bzw. ich schon vorher.
viele Grüße
DaMenge
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