ableitung berechnen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (i) Beweisen Sie (sinh x)′ = cosh x, (cosh x)′ = sinh x.
Benutzen Sie, dass die Ableitung von f(x) = eax durch f′(x) = aeax gegeben ist.
(ii) Bestimmen Sie die Ableitungen von tanh x =
sinh x
cosh x
und coth x =
1
tanh x
.
(iii) Bestimmen Sie die Ableitung des Area Sinus hyperbolicus mit der Regel der Ableitung der Umkehrfunktion. |
Hallo erstmal...!
mein erster thread .. =)
Joa ich hab eig. nur ne frage zu (iii)... und ich habe bereits das hier :
https://matheraum.de/read?t=211693 gelesen... aber das hilft mir irgendwie nicht weiter.
Wie kann ich $ [mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1 [/mm] $ zum berechnen der ableitung benutzen?
Und ist die umkehrfunktion von area sinus hyperbolicus nicht einfach der sinus hyperbolicus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
grüsse fusa
|
|
| |
|
Hallo Tobias und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wenn $y=f(x)$ stetig diffbar ist und [mm] $f'(x)\neq [/mm] 0$, so ist $f$ lokal in einer Umgebung von $x$ umkehrbar, und es gilt:
[mm] $\left(f^{-1}\right)'(y)=f'(x)^{-1}=\frac{1}{f'(x)}$
[/mm]
Das setze mal ein und benutze die Ergebnisse aus (i), (ii):
[mm] $areasinh'(\sinh(x))=\frac{1}{\sinh'(x)}=\frac{1}{\cosh(x)}$
[/mm]
Nun benenne [mm] $\sinh(x)=:\tilde{x}$
[/mm]
Dann ist [mm] $x=areasinh(\tilde{x})$ [/mm] und du bekommst
[mm] $areasinh'(\tilde{x})=\frac{1}{\cosh(areasinh(\tilde{x}))}$
[/mm]
Um das [mm] $\cosh(areasinh(\tilde{x}))$ [/mm] nun zu vereinfachen, benutze, dass gilt:
[mm] $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$, [/mm] also [mm] $\cosh(x)= [/mm] ...$
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
jo ok... vielen dank ersma für deine mühe, werd ich so machen...
bzw. versuchen so zu machen =)
ich meld mich wies geklappt hat ...
|
|
|
|
