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ableitung mit trick?: taylorreihe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Fr 10.01.2014
Autor: CapoDinah

Hallo,
Die Aufgabe besteht darin, dass die Funktion f(x)= 4/(1-3x) an der Stelle x=2 in eine PotenzReihe bis zum 4. Glied entwickelt werden soll. Nun habe ich mir die Lösung angeguckt und verstehe die Vorgehensweise der Berechnung der Ableitungen nicht.

[mm] f'(x)=12/(1-3x)^2 [/mm]
[mm] f''(x)=36*2/(1-3x)^3 [/mm]
[mm] f'''(x)=108*2*3/(1-3x)^4 [/mm]

Die Potenz Reihe soll dann so aussehen:
f(x)=-4/5 + 12/25(x-2) [mm] -36/125(x-2)^2 +108/625(x-2)^3 [/mm]

Nicht nur die Ableitungen sind mir unklar, sondern auch wieso bei der Potenz Reihe nur noch die erste Zahl der Zähler der Brüche steht und nicht dieses *2 und *2*3

Hoffe jemand kann mir helfen.

:)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
ableitung mit trick?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Fr 10.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Hallo,
>  Die Aufgabe besteht darin, dass die Funktion f(x)=
> 4/(1-3x) an der Stelle x=2 in eine PotenzReihe bis zum 4.
> Glied entwickelt werden soll. Nun habe ich mir die Lösung
> angeguckt und verstehe die Vorgehensweise der Berechnung
> der Ableitungen nicht.
>  
> [mm]f'(x)=12/(1-3x)^2[/mm]
>  [mm]f''(x)=36*2/(1-3x)^3[/mm]
>  [mm]f'''(x)=108*2*3/(1-3x)^4[/mm]
>  
> Die Potenz Reihe soll dann so aussehen:
>  f(x)=-4/5 + 12/25(x-2) [mm]-36/125(x-2)^2 +108/625(x-2)^3[/mm]
>  
> Nicht nur die Ableitungen sind mir unklar, sondern auch
> wieso bei der Potenz Reihe nur noch die erste Zahl der
> Zähler der Brüche steht und nicht dieses *2 und *2*3

Gehen wir das doch mal durch.

Deine Funktion $f$ ähnelt der Funktion [mm] g(x):=\frac{1}{x}. [/mm]

Es gilt:

      [mm] g'(x)=(\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=-x^{-2}*(x)'=-\frac{1}{x^2} [/mm]

Du darfst die innere Ableitung, in diesem Fall $(x)'$, nicht vergessen!

Wie du merkst ist das einfaches Handwerkzeug, sodass die Bestimmung der Ableitung einfach wird.

Es gilt:

      [mm] a^{-b}=\frac{1}{a^b} [/mm] für [mm] a\not=0 [/mm]

Nach der Faktorregel gilt zunächst für deine Funktion $f$ folgendes:

      [mm] f'(x)=(\frac{4}{1-3x})'=4*(\frac{1}{1-3x})' [/mm]

Also brauchst du nur noch folgendes zu berechnen:

      [mm] (\frac{1}{1-3x})'=((1-3x)^{-1})'=-(1-3x)^{-2}*(1-3x)'=-(1-3x)^{-2}*(-3)=\frac{3}{(1-3x)^2} [/mm]

Damit erhalten wir:

      [mm] f'(x)=4*\frac{3}{(1-3x)^2}=\frac{12}{(1-3x)^2} [/mm]

Wenn du jetzt die zweite Ableitung berechnen willst, überlegst du dir (wieder) folgendes:

     [mm] f'(x)=\frac{12}{1-3x}=12*(1-3x)^{-2} [/mm]

Damit folgt:

    [mm] f''(x)=12*((1-3x)^{-2})'=12*(-2(1-3x)^{-3}(1-3x)')=12*(-2(1-3x)^{-3}*(-3))=72(1-3x)^{-3}=\frac{72}{(1-3x)^3} [/mm]

Jetzt machst du mal $f'''(x)$ selbst ;-)

Mit Potenzreihe ist die Taylor-Formel gemeint.
Setze also einfach ein.

>  
> Hoffe jemand kann mir helfen.
>
> :)


Gruß
DieAcht

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

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