abschnittsweise def. Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Do 28.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Sei f definiert zu:
[mm] x\mapsto|x*\wurzel{2}|-(e^{-x}+2) [/mm] ; D(f) = [mm] \IR
[/mm]
i) Stellen Sie f abschnittsweise dar und begründen Sie die Stetigkeit von f
ii)Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit von f an der Stelle x=0.
iii) Für welche x ist die Ableitungsfunktion definiert?
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zu i) Ich habe Probleme damit, hier zu sagen, in welchen Intervallen diese zusammengesetzte Funktion welche Teilfunktion annimmt. Ich weiß nur, dass es sich um eine Wurzelfunktion und eine e-Funktion mit offset +2 handelt, die dazu noch an der x- und y-Achse gespiegelt wird. Aber irgendwo muss doch mal die Wurzelfunktion anfangen und die E-Funktion aufhören, oder umgekehrt!?!?
Gibt es eine kostenlose Software, mit der ich mal einen Plot von der Funktion erstellen kann?
Dann könnte ich leichter auf die Stetigkeit schließen.
zu ii) (Nachweis das linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle x=0 existieren und übereinstimmen ) - mach ich dann später
und iii) später
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 28.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Ich habe jetz mal nachfolgenden Plot mit "FunkyPlot" erstellt.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Ok, ich sehe, dass die Funktion überall stetig ist. Kritisch sieht zwar die Stelle x=0 aus, allerdings liegt dennoch dort Stetigkeit vor. Aber wie begündet man die Stetigkeit? Muss ich hier die links- und rechtsseitige Stetigkeit für diese Stelle x=0 noch nachweisen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
> Aber wie begündet man die Stetigkeit?
> Muss ich hier die links- und rechtsseitige Stetigkeit für diese Stelle x=0
> noch nachweisen?
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Und der entsprechende Funktionswert [mm] $f(x_0)$ [/mm] muss dort auch übereinstimmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 28.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | ok, dann probier ich jetz mal, die Stetigkeit an der Stelle x=0 nachzuweisen: |
linksseitiger Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}} |x*\wurzel{2}|-(e^{-x}+2)
[/mm]
also, für [mm] |x*\wurzel{2}| [/mm] bekomm ich dann 0
und da [mm] e^0 [/mm] immer 1 ist, bekomm ich also da nach auflösen der Klammer -1-2=-3.
also insgesamt als Grenzwert für x=0 den Funktionswert an der Stelle f(0)=-3.
rechtsseitiger Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}} |x*\wurzel{2}|-(e^{-x}+2)
[/mm]
Verhalten analog, auch hier -3, oder?
also stetig in x=0;
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Prinzipiell machst Du das schon richtig. Allerdings solltest Du an der Schreibweise noch etwas feilen.
Die abschnittsweise Definition der Funktion lautet:
[mm] f(x)=\left|x*\wurzel{2}\right|-\left(e^{-x}+2\right)=\begin{cases} -x*\wurzel{2}-e^{-x}-2, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x*\wurzel{2}-e^{-x}-2, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Dies solltest Du dann auch für die beiden Grenzwerte (rechtsseitig und linksseitig) verwenden und einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Fr 29.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Um jetzt die Diff.barkeit bei x=0 nachweisen zu können, setz ich den Differentialqoutient (Grenzwert des Differenzenquotienten) mal an. Links-und rechtsseitiger GW müssen existieren und übereinstimmen. |
linksseitig:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}}\bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}}\bruch{(-x*\wurzel{2}-e^{-x}-2) - (-3)}{x-0}
[/mm]
rechtsseitig:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}}\bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}}\bruch{(+x*\wurzel{2}-e^{-x}-2) - (-3)}{x-0}
[/mm]
Wie kriege ich jetz da aber kongrete Werte raus? So kann ich das doch jeweils nur abschätzen, indem ich für den linksseitigen Grenzwert für alle auftauchenden x im Zähler, ein infinitisimal kleines -0,000000....irgendwas einsetze und beim rechtsseitigen Grenzwert ein entsrpechendes +0.000000...irgendwas. Aber da komme ich doch nicht auf einen kongreten Wert?!? Oder wird ein kongreter Wert gar nicht benötigt?
Oder ist diese Aufgabe nur zu lösen, wenn ich folgende Form des Differenzenqoutienten wähle:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}
[/mm]
Allerdings muss ich hier für h jeweils was infinitisimal kleines (negativ bzw. positiv), was nahe bei 0 liegt einsetzen.
Ich hätte dann also da stehen:
linksseitig:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0^{-}}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0^{-}}\bruch{f((-3)+h)-(-3)}{h}=
[/mm]
jetz stell ich mir für h einen Wert von z.B. -0.1 vor.
[mm] \limes_{h\rightarrow 0^{-}}\bruch{f((-3)-0.1)-(-3)}{-0.1}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0^{-}}\bruch{-3.1*\wurzel{2}-e^{+0.1}-2)-(-3)}{-0.1}=
[/mm]
analog dazu der rechte Grenzwert:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0^{+}}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0^{+}}\bruch{f((-3)+h)-(-3)}{h}=
[/mm]
jetz stell ich mir für h einen Wert von z.B. +0.1 vor.
[mm] \limes_{h\rightarrow 0^{+}}\bruch{-2.9*\wurzel{2}-e^{-0.1}-2)-(-3)}{+0.1}=
[/mm]
Ok, ich sehe, dass wohl beim links-und rechtsseitigen Grenzwert jeweils wohl unterschiedliche Werte rauskommen (exakte Werte ohne Taschenrechner schwer auszurechnen), die Funktion also wie erwartet nicht diff.bar in x=0 ist. Allerdings hab ich den Wert nicht ausgerechnet.
Inzwischen habe ich eingesehen, dass das im Grunde das gleich Vorgehen war (h, bzw x mit einem annähernden Wert bei der 0 abschätzen, um weiter zu rechnen.) wie bei meinem ersten Ansatz für die Form des Differentenqoutienten, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Ich würde hier über die abschnittsweise Definition der Ableitung gegehn und die beiden Grenzwerte betrachten:
[mm] $f'(x)=\begin{cases} -\wurzel{2}+e^{-x}, & \mbox{für } x < 0 \mbox{ } \\ +\wurzel{2}+e^{-x}, & \mbox{für } x \ \red{>} \ 0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
Um aber auch mit dem  Differentialquotienten zu arbeiten, kannst Du diesen ja auch zerlegen:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0^{-}}\bruch{(-x*\wurzel{2}-e^{-x}-2) - (-3)}{x-0} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0^{-}}\bruch{-x*\wurzel{2}-e^{-x}+1}{x} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0^{-}}\left(\bruch{-x*\wurzel{2}}{x}+\bruch{-e^{-x}+1}{x}\right) \ = \ -\wurzel{2}+\limes_{x\rightarrow 0^{-}} \bruch{1-e^{-x}}{x}\right)[/mm]
Wenn Du das nun auch für den anderen Grenzwert machst, siehst Du den Unterschied wohl schnell, da der hintere Term bei beiden Grenzwerten gleich ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 29.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | iii) lautete: Für welche x ist die Ableiungsfunktin definiert?
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Wäre die Antwort darauf dann: für alle x außer x=0 ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Genau
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Aufgrund des Terms [mm] $\left|x*\wurzel{2}\right| [/mm] \ = \ [mm] |x|*\wurzel{2}$ [/mm] kann die Unterscheidung / Trennung der Teilfunktionen nur bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ erfolgen mit den Unterscheidungen $x \ < \ 0$ bzw. $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ .
> zu i) Aber irgendwo muss doch mal die Wurzelfunktion anfangen und die
> E-Funktion aufhören, oder umgekehrt!?!?
Nein, die Wurzelfunktion und die e-Funktion werden an allen Stellen berücksichtigt.
> Gibt es eine kostenlose Software, mit der ich mal einen
> Plot von der Funktion erstellen kann?
Sieh mal hier: ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot. Das ist freie und kostenlose Software zum Runterladen ...
Gruß
Loddar
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