absolute Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Mo 30.01.2006 | | Autor: | lydl87 |
| Aufgabe | konvergiert die Reihe absolut?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{50^n}{n!} [/mm] |
Hallo!
Kann mir jemand sagen,ob die Reihe absolut konvergiert?Um das raus zu finden, muss man ja das Quotienten oder das wurzelkriterium anwenden.Ich habe beide probiert und kam für das Qoutientenkriterium auf 0,d.h. 0<1,d.h. die Reihe konvergiert absolut. Aber für das Wurzelkriterium komme ich auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{50}{\wurzel[n]{n!}} [/mm] und ich nehme an dass die [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] gegen 1 läuft,oder? dann wäre nämlich die Lösung für das wurzelkriterium gleich 50 und 50>1, d.h. die Reihe divergiert. Was ist nun richtig?Welches Kriterium muss ich anwenden und konvergiert die Reihe absolut oder nicht?
Vielen Danke im Voraus!
Lydia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 30.01.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Lydia!
> konvergiert die Reihe absolut?
Also wenn sie überhaupt konvergiert, dann auch absolut, weil ja alle Terme positiv sind.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{50^n}{n!}[/mm]
> Hallo!
> Kann mir jemand sagen,ob die Reihe absolut konvergiert?Um
> das raus zu finden, muss man ja das Quotienten oder das
> wurzelkriterium anwenden.Ich habe beide probiert und kam
> für das Qoutientenkriterium auf 0,d.h. 0<1,d.h. die Reihe
> konvergiert absolut. Aber für das Wurzelkriterium komme ich
> auf [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{50}{\wurzel[n]{n!}}[/mm]
> und ich nehme an dass die [mm]\wurzel[n]{n!}[/mm] gegen 1
> läuft,oder?
Gute Frage: Nee!
> dann wäre nämlich die Lösung für das
> wurzelkriterium gleich 50 und 50>1, d.h. die Reihe
> divergiert. Was ist nun richtig?Welches Kriterium muss ich
> anwenden und konvergiert die Reihe absolut oder nicht?
Sie konvergiert absolut, und zwar gegen die riesengroße Zahl [mm] e^{50}. [/mm] (Berichtigung: ...gegen [mm] e^{50} [/mm] - 1, weil die Summe mit n = 1 anfängt) Das kann man in den einschlägigen Analysis-Büchern nachlesen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mo 30.01.2006 | | Autor: | lydl87 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich hab trotzdem noch eine Frage:Welches Kriterium wendet man an, um herauszufinden,ob die Reihe abs. konvergiert?
Liebe Grüße,Lydia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Lydia,
du musst immer bedenken, dass sowohl das Quotienten- als auch das Wurzelkriterium nur hinreichende Kriterien sind, um die Konvergenz von Reihen zu zeigen. Das heißt, eine Reihe kann durchaus konvergieren, wenn die Kriterien (Quotienten- oder Wurzelkriterium oder beide) nicht erfüllt sind.
Um die absolute Konvergenz einer Reihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$ [/mm] zu zeigen, musst du beweisen, dass [mm] $\sum_{n=0}^{\infty} |a_{n} [/mm] |$ konvergiert. Dazu kannst du wieder das Quotienten-, oder das Wurzel-, oder ein anderes Kriterium verwenden.
Eine absolut konvergente Reihe konvergiert - umgekehrt gilt das natürlich nicht! Eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe nennt man auch bedingt konvergent.
Soweit alles klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mo 30.01.2006 | | Autor: | lydl87 |
Ersteinmal Vielen Dank!
Das Problem ist,dass wir eine Klausur geschrieben haben und die Frage lautete:konvergiert die Reihe?und wenn sie konvergiert,konvergieren auch die Umordnungen?Und da man,wenn man zeigen will,dass die Umordnungen auch konvergieren,zeigen muss,dass die Reihe absolut konvergiert,habe ich mir gedacht,dass ich das Quotienten oder das Wurzelkriterium anwenden muss,da wir keine anderen Kriterien zum bestimmen der absoluten Konvergenz kennengelernt haben.ich habe dann das quotientenkriterium angewendet und kam dafür auf 0,d.h. die Reihe konvergiert absolut.Ich hoffe,das stimmt,bin mir aber nicht sicher.
Liebe Grüße,Lydia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Lydia,
das ist alles völlig richtig, was du über die Konvergenz von Umordnungen von Reihen geschrieben hast.
> ich habe dann das quotientenkriterium
> angewendet und kam dafür auf 0,d.h. die Reihe konvergiert
> absolut.Ich hoffe,das stimmt,bin mir aber nicht sicher.
Das stimmt schon, wobei man das natürlich noch etwas sauberer aufschreiben müsste ("kam dafür auf 0"  ).
Ich hatte deine letzte Frage so verstanden, dass du dich wunderst, warum eines der Kriterien erfüllt ist und das andere scheinbar nicht. Ich habe jetzt das Wurzelkriterium hier nicht überprüft - wichtig ist aber, dass du verstehst, dass die Kriterien keine Aussage über Divergenz machen. D.h. wenn ein Kriterium nicht erfüllt ist, folgt daraus NICHT die Divergenz der Reihe.
MFG,
Yuma
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