absoluter Fehler < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 Di 28.04.2009 | | Autor: | holfo |
Hallo,
habe wieder eine Fehlerrechenaufgabe. Habe inzwischen das Rechnen ein bisschen drauf, aber leider klappt das bei dieser Aufgabe immer noch nicht:
Frage:
Die Brennweite f einer Linse kann man durch Messen von der Gegenstandsweite g und Bildweite b bestimmen:
f = [mm] \bruch{g*b}{g+b}
[/mm]
Wenn nun [mm] g=(30\pm3)mm, [/mm] und [mm] b=(20\pm2)mm [/mm] ist, wie groß ist dann der absolute Fehler von f?
Also ich habe hier wie folgt gerechnet (2xsogar):
1.
nach folgender Formel aus meinem Skript:
[mm] \bruch{\Delta c}{c} [/mm] = [mm] \bruch{\Delta a}{a} [/mm] + [mm] \bruch{\Delta b}{b}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{30} [/mm] + [mm] \bruch{2}{20} [/mm] = 0,2
2.
hier habe ich von der vorgegebenen Formel versucht zu profitieren:
zuerst habe ich wieder nach der Formel
[mm] \bruch{\Delta c}{c} [/mm] = [mm] \bruch{\Delta a}{a} [/mm] + [mm] \bruch{\Delta b}{b}
[/mm]
gerechnet, da ja die vorgegebene Formel im Zähler ein Produkt hat.
Das Ergebnis hier, hat wie oben bei 1. schon gerechnet, den Wert 0,2.
Danach habe ich nach der Formel [mm] \Delta [/mm] c = [mm] \Delta [/mm] a + [mm] \Delta [/mm] b
gerechnet, da ja im Nenner eine Summe dargestellt ist. Hier habe ich dann nach dem Addieren von 2 und 3 logischerweise 5 rausbekommen.
Teile ich beide Zahlen durcheinander [mm] \bruch{0,2}{5} [/mm] ergibt sich = 0,04.
Im Lösungsbuch steht aber, jedoch keine Garantie für Richtigkeit, dass da als absoluter Wert 3,6 mm rauskommen soll.
Könnte mir jemand bitte sagen, was ich hier falsch gemacht habe?
Danke im Voraus.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Di 28.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> habe wieder eine Fehlerrechenaufgabe. Habe inzwischen das
> Rechnen ein bisschen drauf, aber leider klappt das bei
> dieser Aufgabe immer noch nicht:
>
> Frage:
> Die Brennweite f einer Linse kann man durch Messen von der
> Gegenstandsweite g und Bildweite b bestimmen:
>
>
> f = [mm]\bruch{g*b}{g+b}[/mm]
>
> Wenn nun [mm]g=(30\pm3)mm,[/mm] und [mm]b=(20\pm2)mm[/mm] ist, wie groß ist
> dann der absolute Fehler von f?
>
>
> Also ich habe hier wie folgt gerechnet (2xsogar):
>
>
> 1.
>
> nach folgender Formel aus meinem Skript:
>
> [mm]\bruch{\Delta c}{c}[/mm] = [mm]\bruch{\Delta a}{a}[/mm] + [mm]\bruch{\Delta b}{b}[/mm]
Hallo,
du hast die Termstruktur nicht richtig interpretiert. Es handelt sich um ein Produkt bzw. um einen Quotienten, nicht um eine Summe.
Nimm die Summe im Nenner als EINEN Ausdruck mit dem Wert [mm] 50\pm [/mm] 5.
Gruß Abakus
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> [mm]\bruch{3}{30}[/mm] + [mm]\bruch{2}{20}[/mm] = 0,2
>
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> 2.
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> hier habe ich von der vorgegebenen Formel versucht zu
> profitieren:
>
>
> zuerst habe ich wieder nach der Formel
> [mm]\bruch{\Delta c}{c}[/mm] = [mm]\bruch{\Delta a}{a}[/mm] + [mm]\bruch{\Delta b}{b}[/mm]
>
> gerechnet, da ja die vorgegebene Formel im Zähler ein
> Produkt hat.
>
> Das Ergebnis hier, hat wie oben bei 1. schon gerechnet, den
> Wert 0,2.
>
> Danach habe ich nach der Formel [mm]\Delta[/mm] c = [mm]\Delta[/mm] a +
> [mm]\Delta[/mm] b
> gerechnet, da ja im Nenner eine Summe dargestellt ist.
> Hier habe ich dann nach dem Addieren von 2 und 3
> logischerweise 5 rausbekommen.
>
> Teile ich beide Zahlen durcheinander [mm]\bruch{0,2}{5}[/mm] ergibt
> sich = 0,04.
>
>
> Im Lösungsbuch steht aber, jedoch keine Garantie für
> Richtigkeit, dass da als absoluter Wert 3,6 mm rauskommen
> soll.
>
> Könnte mir jemand bitte sagen, was ich hier falsch gemacht
> habe?
>
> Danke im Voraus.
>
> lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Di 28.04.2009 | | Autor: | xPae |
> Hallo,
Hallo,
> Frage:
> Die Brennweite f einer Linse kann man durch Messen von der
> Gegenstandsweite g und Bildweite b bestimmen:
>
>
> f = [mm]\bruch{g*b}{g+b}[/mm]
das folgt übringes aus [mm] \bruch{1}{f}=\bruch{1}{b}+\bruch{1}{g}
[/mm]
>
> Wenn nun [mm]g=(30\pm3)mm,[/mm] und [mm]b=(20\pm2)mm[/mm] ist, wie groß ist
> dann der absolute Fehler von f?
>
>
> Also ich habe hier wie folgt gerechnet (2xsogar):
>
>
> 1.
>
> nach folgender Formel aus meinem Skript:
>
> [mm]\bruch{\Delta c}{c}[/mm] = [mm]\bruch{\Delta a}{a}[/mm] + [mm]\bruch{\Delta b}{b}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{3}{30}[/mm] + [mm]\bruch{2}{20}[/mm] = 0,2
>
>
> 2.
>
> hier habe ich von der vorgegebenen Formel versucht zu
> profitieren:
>
>
> zuerst habe ich wieder nach der Formel
> [mm]\bruch{\Delta c}{c}[/mm] = [mm]\bruch{\Delta a}{a}[/mm] + [mm]\bruch{\Delta b}{b}[/mm]
>
> gerechnet, da ja die vorgegebene Formel im Zähler ein
> Produkt hat.
>
> Das Ergebnis hier, hat wie oben bei 1. schon gerechnet, den
> Wert 0,2.
>
> Danach habe ich nach der Formel [mm]\Delta[/mm] c = [mm]\Delta[/mm] a +
> [mm]\Delta[/mm] b
> gerechnet, da ja im Nenner eine Summe dargestellt ist.
> Hier habe ich dann nach dem Addieren von 2 und 3
> logischerweise 5 rausbekommen.
>
> Teile ich beide Zahlen durcheinander [mm]\bruch{0,2}{5}[/mm] ergibt
> sich = 0,04.
>
>
> Im Lösungsbuch steht aber, jedoch keine Garantie für
> Richtigkeit, dass da als absoluter Wert 3,6 mm rauskommen
> soll.
>
> Könnte mir jemand bitte sagen, was ich hier falsch gemacht
> habe?
Wie Abrakus schon gesagt hat, du hast falsch interpretiert. Wenn es wirklich ein reine Produkt wäre müsstest du für den absoluten Fehler so rechnen:
[mm] \Delta [/mm] f = [mm] (\bruch{\Delta g}{g} [/mm] + [mm] \bruch{\Delta b}{b})*f
[/mm]
Das geht hier leider nicht. Habe den Versuch auch gemacht letztes Semester ;)
So um hier zum Ziel zu kommen musst du partiell Ableiten:(sagte mein Prof)
[mm] \Delta [/mm] f = [mm] |\bruch{\partial f}{ \partial b}| [/mm] * [mm] \Delta [/mm] b + [mm] |\bruch{\partial f}{ \partial g}| [/mm] * [mm] \Delta [/mm] g
[mm] |\bruch{\partial f}{ \partial b}| [/mm] = [mm] \bruch{g*(g+b) - (g*b)*1}{(g+b)²}=\bruch{g}{g+b}-\bruch{(g*b)}{(g+b)²}
[/mm]
[mm] |\bruch{\partial f}{ \partial g}|= \bruch{b*(g+b)-(g*b)*1}{(g+b)²}=\bruch{b}{g+b}-\bruch{(g*b}{(g+b)²}
[/mm]
Habe das jetzt aber nicht nachgerechnet, ob da wirklich 3,6mm herauskommen. Allerdings erscheint mir ein Fehler von 3.6 bei einer Brennwete von 12mm extrem groß ( wären ja 30% relativer Fehler)
Wäre gut, wenn jmd die Ableitungen kontrollieren würde
lg xPae
> Danke im Voraus.
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 29.04.2009 | | Autor: | holfo |
Hallo,
danke wieder einmal für Deine Hilfe.
Aber leider verstehe ich das nicht so genau und habe diesbezüglich ein paar Fragen. Würde mich freuen, wenn mir jemand antworten könnte.
1. Ich verstehe nicht wie man aus dieser Aufgabe direkt entnehmen kann, dass man die Ableitung machen muss.
2. Ich weiß leider nicht, bzw. kann nicht nachvollziehen, wie man die Ableitung hier gemacht hat. Also ich kann mit Ableitungen sehr gut umgehen aber verstehe hier nicht, vielleicht auch wegen Frage 1, wie oben erläutert, was mein "x" ist, nach dem ich auflöse.
Hoffe, wenn ich das verstehe, dass ich dann besser vorankomme.
Danke.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mi 29.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da im Nenner eine Summe steht, musst du zuerst dden abs. Fehler des Nenners bestimmen, der ist 5, der relative Fehler a;so 10%
jetzt hast du ein Produkt und einen Quotient., das kannst du behandeln wie ein Produkt aus drei faktoren. der relative Fele von 1/A ist gleich dem relativen Fehler von A. du hast also insgesamt 3 relative fehler von 10% ergibt 30%=0.3
also ist der abs. Fehler 1.2*0.3=0.36
Dein Fehler war, dass du Fehler durcheinander dividiert hast!
aber beim dividieren und beim mult addieren sich die relativen Fehler.
Klar?
man sollte das sich immer mal mit Zahlen klar machen:
[mm] 100\pm [/mm] 3 und [mm] 10\pm0.3 [/mm] beidemale 3% rel Fehler.
100/10=10< 10*100=1000
103/9.7=10,6 also 6% fehler 103*10.3 =1060 wieder 6% von .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mi 29.04.2009 | | Autor: | holfo |
vielen lieben Dank für die super schnelle Antwort.
Aber da ich wirklich bemüht bin, möchte ich es ganz verstehen, womit ich aber im Moment immer noch ein bisschen Schwierigkeiten habe.
Also:
Die Formel lautet: [mm] f=\bruch{g*b}{g+b}
[/mm]
Nun wie Du sagtest ist der Nenner des Bruchs eine Summe- also muss er absolute Fehler berechnet werden:
2+3=5, was in Prozent von 20+30 = 50 [mm] \Rightarrow [/mm] 10% ergibt.
Was ich nicht verstehe ist, wo ich hier den Quotienten habe.
Vielleicht? : [mm] f=\bruch{g*b}{10} [/mm] oder [mm] f=\bruch{g*b}{5}
[/mm]
Verstehe die Rechenschritte hier nicht so recht.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Do 30.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du [mm] \bruch{a*b}{c} [/mm] haettest ist dir dann klar, dass du den relativen Fehler von a*b*1/c errechnen muesstest?
nun ist hie einfach c=a+b, davon kannst du erst den absoluten Fehler, dann den relativen ausrechnen, dann den relativen von 1/c und dann alle relativen Fehler addieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Do 30.04.2009 | | Autor: | holfo |
Wäre es bitte bitte möglich, dass Du mir die einzelnen Schritte zur letzten Antwort von Dir aufschreiben könntest?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Do 30.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.S Berechne den abs. Fehler von g+b 5
2.S Berechne den rel Fehler von g+b 10%
3.s Berechne die rel Fehler von g
4. S berechne den rel Fehler von b
5. S addiere die 3 rel Fehler
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:06 Do 30.04.2009 | | Autor: | holfo |
Aber wenn ich das mache kriege ich als Ergebnis doch 30% raus. Im Lösungsbuch steht aber als Ergebnis ein absoluter Fehler von 3,6 mm.
Oder habe ich hier wieder ein Fehler gemacht?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Do 30.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 30% sind doch der relative Fehler, f=12mm das Ergebnis. Und was sind 30% von 12?
Gruss leduart
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