abstand 2er paraleller ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 So 23.01.2005 | | Autor: | ghostdog |
hallo ich brauche mal dringent hilfe schreibe bald klausur
ich bekomme denn abstand 2er paraller ebenen nicht raus
E1=2x-5y+3z=5
E2=-4x+10y-6z=8
es müsste [mm] \bruch{9}{\wurzel{38}}
[/mm]
heraus bekommen aber wie kann das mir mal jemand vorechnen bitte
ich weis zwar die formel aber komme nicht darauf vieleicht verstehe ich die formel nicht ganz
[mm] d=\bruch{1}{ \vmat{ n }}* \vmat{ D_{2}-D_{1} }
[/mm]
ist es eigentlich egal welche ebene ich als erste und welche ich als zweite betrachte für [mm] D_{2} [/mm] und [mm] D_{1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:17 So 23.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber ghostdog
ich kann deine Formel nicht so richtig interpretieren, weil du eine Grundsatz vergessen hast: zu einer Formel gehören immer noch die Angaben, was welche Variable bedeutet.
Um den Abstand eines Punktes von einem linearen Gebilde (Gerade, Ebene) zu berechnen, ist es wohl immer am einfachsten, wenn man die Geradengleichung oder Ebenengleichung in die Hessesche Normalform bringt.
Ein Vektor, der senkrecht auf die Ebene/Gerade steht, wird ja duch die Koeffizienten bei x,y und z gebildet.
Zum Beisipiel deine erste Ebene:
$2x-5y+3z=5$
Das wäre dann der Vektor $(2,-5,3)$ Du brauchst nur die Länge dieses Vektors zu berechnen, die ganze Ebenen (oder Geraden)gleichung durch diesen Wert zu dividieren, alles auf eine Seite zu bringen, und schon hast du die Hessesche normalform.
Der Vektor $(2,-5,3)$ hat ja die Länge [mm] $\wurzel{38}$
[/mm]
damit wird aus deiner Gleichung diese hier:
[mm] $\bruch{2}{\wurzel{38}}x-\bruch{5}{\wurzel{38}}y+\bruch{3}{\wurzel{38}}z-\bruch{5}{\wurzel{38}}=0$
[/mm]
Die Hessesche Normalform hat den grossen Vorteil, dass du den Abstand eines Punktes von der Geraden/Ebene, die sie darstellt, einfach erhälsts, indem du von diesem Punkt die Koordinaten einsetzt. Zum Beispiel hat der Nullpunkt den Abstand
[mm] $\bruch{2}{\wurzel{38}}*0-\bruch{5}{\wurzel{38}}*0+\bruch{3}{\wurzel{38}}*0-\bruch{5}{\wurzel{38}}=-\bruch{5}{\wurzel{38}}$
[/mm]
Das gibt jetzt einen negativen Wert, der Abstand ist aber positiv zu nehmen. Alle Punkte, die beim Einsetzen in die linke Seite der Gleichung einen negativen Wert ergeben, liegen aber auf der selben Seite der Ebene/Geraden!
Deine 2. Ebene ist ja:
$-4x+10y-6z=8$
Gekürzt mit 2:
$-2x+5y-3z-4=0$
Hessesche Normalform:
[mm] $-\bruch{2}{\wurzel{38}}x+\bruch{5}{\wurzel{38}}y-\bruch{3}{\wurzel{38}}z-\bruch{4}{\wurzel{38}}=0$
[/mm]
Das ergibt für den Abstand des Nullpunktes:
[mm] $-\bruch{2}{\wurzel{38}}x+\bruch{5}{\wurzel{38}}y-\bruch{3}{\wurzel{38}}z-\bruch{4}{\wurzel{38}}=0$
[/mm]
[mm] $-\bruch{4}{\wurzel{38}}$
[/mm]
Jetzt ist nur noch die Frage: muss man diese beiden Abstände addieren oder subtrahieren?
Ich ignoriere diese Frage einfach und gehe etwas anders vor:
ich setzt in der 2. Gleichung einfach einen Punkt ein, der in der 1. Ebene liegt. Der ist einfach gefunden: setze zum Beispiel x=0 und y=0, dann kannst du nach z auflösen.
Also:
E1 war ja: $2x-5y+3z=5$
Das ergibt: 3z=5 für x=0 und y=0.
z=5/3
Somit liegt [mm] $(0,0,\bruch{5}{3})$ [/mm] in der ersten Ebene. Diese Koordinaten auf der linken Seite der Hesseschen Normalform der 2. Ebene eingesetzt:
[mm] $-\bruch{2}{\wurzel{38}}*0+\bruch{5}{\wurzel{38}}*0-\bruch{3}{\wurzel{38}}*\bruch{5}{3}-\bruch{4}{\wurzel{38}}=-\bruch{5}{3\wurzel{38}}-\bruch{4}{\wurzel{38}}=-\bruch{9}{\wurzel{38}}$
[/mm]
Der Betrag davon ist dann der Abstand. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 So 23.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo ghostdog,
> hallo ich brauche mal dringent hilfe schreibe bald
> klausur
> ich bekomme denn abstand 2er paraller ebenen nicht raus
> E1=2x-5y+3z=5
> E2=-4x+10y-6z=8
> es müsste [mm]\bruch{9}{\wurzel{38}}
[/mm]
> heraus bekommen aber wie kann das mir mal jemand vorechnen
> bitte
> ich weis zwar die formel aber komme nicht darauf vieleicht
> verstehe ich die formel nicht ganz
> [mm]d=\bruch{1}{ \vmat{ n }}* \vmat{ D_{2}-D_{1} }
[/mm]
> ist es
> eigentlich egal welche ebene ich als erste und welche ich
> als zweite betrachte für [mm]D_{2}[/mm] und [mm]D_{1}
[/mm]
Eine Begründung für deine Formel hat dir Paulus geliefert. Wenn du sie unmittelbar anwenden möchtest, machst du folgendes:
Du schreibst eine der beiden Ebenen so um, dass sie dieselben Koeffizienten haben, z.B. [mm] E_2:
[/mm]
[mm] E_2: [/mm] 2x-5y+3z = -4.
Jetzt ist
[mm] D_2=-4 [/mm] und [mm] D_1=5 [/mm] und [mm] |n|= \wurzel{38} [/mm]
Gruß Sigrid
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