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| Aufgabe | Bestimmen sie den Abstand d vom Punkt P(-1/3/-2) zu der
Ebene E: [mm] 2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=12 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo zusammen,
wenn ich ehrlich bin, weiß ich überhaupt nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss. wäre super wenn mir jemand helfen kann!
gruß,
mathenullcheck
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> Bestimmen sie den Abstand d vom Punkt P(-1/3/-2) zu der
> Ebene E: [mm]2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=12[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Hallo zusammen,
Hallo,
> wenn ich ehrlich bin, weiß ich überhaupt nicht wie ich
> bei dieser Aufgabe vorgehen muss. wäre super wenn mir
> jemand helfen kann!
Nun, das kommt auf deine Vorkenntnisse an.
Eine Möglichkeit ist:
Bringe die Ebenengleichung in die Hesse-Normalenform, setze dann den Punkt ein und du erhälst den Abstand.
> gruß,
> mathenullcheck
Gruß Patrick
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also die normalenform sagt mir was, aber die hessesche? ist das die gleiche form? also mein normalenvektor ist in diesem fall ja n=(2/2/-1) oder? und den Spannvektor kann ich beliebig wählen, sodass ich die koordinatenschnittpunkte S1(6/0/0) , S2(0/6/0) , S3(0/0/-12) dafür auswähle. dann könnte ich also als normalenform folgende nehmen:
E: [mm] ((\vec{x}-\vektor{6 \\ 0 \\ 0}) [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
???hä? irgendwie stimmt da so einiges nicht oder? und wo könnte ich denn in dieser form den Punkt P einsetzen?
danke schonmal:)
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Du hast jetzt berechnet:
E:(x-A)*n=0
Wenn du jetzt die Koordinates des Punktes P statt x einsetzt.
somit ist
d=(P-A)*n
Du musst also nur noch den Punkt einsetzen.
Klar soweit? - Wenn ich jetzt weitermach verrat ich dir die Lösung
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:02 So 12.09.2010 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo zusammen,
der Normalenvektor muss zuvor noch normiert werden!!! Dann erhält man durch einsetzen des Punktes den korrekten Abstand.
Gruß Patrick
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sorry ich stehe wohl auf dem Schlauch... :)was meintest du denn mit A? den von mir genannten Punkt S1(6/0/0) ?
also würde das ganze dann so aussehen:
d=( [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ -2} [/mm] - [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0}) [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -1} [/mm]
stimmt das so? aber dann kommt ja als ergebnis [mm] \vektor{-14 \\ 6 \\ 2} [/mm] raus, ich brauche ja aber eine zahl und keinen vektor.?.?.? oje sorry ich blick nicht was du meinst...:)
grüßle
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Dein * ist doch ein Skalarprodukt und das eribt ein Skalar, also eine Zahl und kein Vektor.
Wie ich oben aber schon schrieb musst du zuerst den Normalenvektor normieren, sodass er die Länge 1 hat. Also was kommt für den normierten Normalenvektor heraus?
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also ist mein normalenvektor [mm] (\bruch{1}{6}/\bruch{1}{6}/\bruch{-1}{12}) [/mm] und mein abstand dann 1.5 LE ??? ich hoffe es stimmt jetzt :)
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So jetzt aber mit Konzentration.
Dein Normalenvektor ist (2, 2, -1) wie du auch hier irgendwo schon geschrieben hast.
Um aber die richtige Ebenengleichung zu erhalten, musst du diesen noch normieren.
Also:
[mm]\frac{1}{|n|} * n[/mm]
Bei |n| nimmst du jeden Eintrag zum Quadrat und ziehst daraus die Wurzel, also:
[mm]|\vektor{x \\
y \\
z}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} [/mm]
Und netterweise hat dir Patrick auch schon die Lösung ausgerechnet.
(Sorry die Betragsstriche vom Vektor sind etwas klein geraten und meine Vektorpfeile wollen heute auch nicht so wie ich will.)
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ach das heißt der normalenvektor ist nciht (2/2/-1) sondern [mm] (\bruch{1}{6}/\bruch{1}{6}/\bruch{-1}{12} [/mm] ? aber dann habe ich immernoch am ende einen vektor als ergbnis und keine zahl als abstand...danke aber schonmal für den tipp!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 So 12.09.2010 | | Autor: | mareike-f |
Ich glaub' die hast du vergessen:
Also das malzeichen sollte eigentl. ein Sternchen werden.
[mm]\vektor{a_1 \\
a_2\\
a_3} *\vektor{b_1 \\
b_2\\
b_3} = a_1b_1+a_2b_2+c_3b_3[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 12.09.2010 | | Autor: | XPatrickX |
Deine Indizes sind hier aber gründlich durcheinander geraten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 So 12.09.2010 | | Autor: | mareike-f |
Nicht nur die Indizies aus die Buchstaben, hab es aber korrigiert.
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> ach das heißt der normalenvektor ist nciht (2/2/-1)
> sondern [mm](\bruch{1}{6}/\bruch{1}{6}/\bruch{-1}{12}[/mm] ? aber
> dann habe ich immernoch am ende einen vektor als ergbnis
> und keine zahl als abstand...danke aber schonmal für den
> tipp!
Dein Normalenvektor ist (2/2/-1) !! Von diesem musst du nun die Länge berechnen:
[mm] |(2/2/-1)|=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9}=3
[/mm]
Also lautet dein normierter Normalenvektor:
[mm] \frac{1}{3} \vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
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achso jetzt... ok danke :) aber ich glaube du hast dich verrechnet, da müsstebn nicht [mm] \wurzel{5} [/mm] sondern [mm] \wurzel{9} [/mm] also 3 rauskommen oder? danke :=)
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Du hast recht! Ich habe es korrigiert.
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oh man ich peils nciht! jetzt käme bei mir als abstand -10/3 raus, aber das kann ja schlecht sein...könntest du cnohmal die exakte rechung aufschreiben? das wäre super!
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Zu berechnen ist:
[mm] $$d=\red{\left|}\left( \vektor{-1 \\ 3 \\ -2} - \vektor{6 \\ 0 \\ 0}\right) [/mm] * [mm] \frac{1}{3}\vektor{2 \\ 2 \\ -1}\red{\right|}$$
[/mm]
Ich erhalte als Abstand d=2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 So 12.09.2010 | | Autor: | mareike-f |
Da dich nur der Abstand interessiert nimmst du den Betrag.
Wenn du nur die Gleichung ausrechnest erhälst du -2, der Abstand von Ebene und Punkt ist also 2.
Das Vorzeichen kann dir Auskunft darüber geben, wo der Punkt liegt bezügl. der Ebene und des Ursprungs.
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ok vielen dank, die rechung hatte ich eigtl auch, keine ahnung wieso ic nciht aufs ergebnis kam ;), ich krieg jetzt zwar immer -2 als abstand raus, aber da muss ich wohl irgendeinen knoten im hirn haben :) aber das krieg cih dann auch alleine hin :)
also danke!
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Nein -2 ist schon richtig, du nimmst den Betrag davon, wenn nur nach dem Abstand gefragt wird, weil ein negativer Abstand ja wenig sinn macht.
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