www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - absteigende Kettenbedingung
absteigende Kettenbedingung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

absteigende Kettenbedingung: Integritätsring
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Do 14.02.2008
Autor: gnom

Aufgabe
Zeige: Erfüllt ein Integritätsring R die absteigende Kettenbedingung für zyklische Ideale, so ist R bereits ein Körper.

Hallo ihr,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
bräuchte umbedingt eure Hilfe!

Ein Integritätsring ist nullteilerfrei.
Ein Körper ist auch nullteilerfrei, besitzt aber zu jedem Element ein multiplikatives Inverses.

Für den Integritätsring gilt die absteigende Kettenbedingung, d.h.
wir haben ein Element für das die Kette konstant wird, so dass alle kleineren Ideale gleich diesem Element sind. ...[mm]\subsetteq I_k \subseteq I_m\subsetteq[/mm]....[mm]I_2\subseteq I_1[/mm]
Die Elemente der absteigende Kette sind zyklische Ideale, also besteht die Kette aus Hauptidealen.
Aber warum folgt daraus dann, dass es ein Körper ist? Ein Körper hat doch keine echten Ideale, sondern nur Primideale?

        
Bezug
absteigende Kettenbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 Fr 15.02.2008
Autor: statler

Hi und [willkommenmr]

> Zeige: Erfüllt ein Integritätsring R die absteigende
> Kettenbedingung für zyklische Ideale, so ist R bereits ein
> Körper.

> Ein Integritätsring ist nullteilerfrei.
> Ein Körper ist auch nullteilerfrei, besitzt aber zu jedem
> Element ein multiplikatives Inverses.
>  
> Für den Integritätsring gilt die absteigende
> Kettenbedingung, d.h.
> wir haben ein Element für das die Kette konstant wird, so
> dass alle kleineren Ideale gleich diesem Element sind.
> ...[mm]\subsetteq I_k \subseteq I_m\subsetteq[/mm]....[mm]I_2\subseteq I_1[/mm]
>  
> Die Elemente der absteigende Kette sind zyklische Ideale,
> also besteht die Kette aus Hauptidealen.
>  Aber warum folgt daraus dann, dass es ein Körper ist? Ein
> Körper hat doch keine echten Ideale, sondern nur
> Primideale?  

Sei also a [mm] \not= [/mm] 0 ein Element aus R. Dann betrachtest du die Kette der Ideale [mm] (a^{n}). [/mm] Diese ist absteigend und wird stationär. Also ist für ein n [mm] (a^{n}) [/mm] = [mm] (a^{n+1}). [/mm] Das heißt aber, es gibt ein r mit [mm] a^{n} [/mm] = [mm] a^{n+1}*r. [/mm] Rest für dich: Wende mal an, daß R ein Integritätsring ist.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
absteigende Kettenbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Fr 15.02.2008
Autor: gnom


> Sei also a [mm]\not=[/mm] 0 ein Element aus R. Dann betrachtest du
> die Kette der Ideale [mm](a^{n}).[/mm] Diese ist absteigend und wird
> stationär. Also ist für ein n [mm](a^{n})[/mm] = [mm](a^{n+1}).[/mm] Das
> heißt aber, es gibt ein r mit [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{n+1}*r.[/mm] Rest für
> dich: Wende mal an, daß R ein Integritätsring ist.

Vielen, vielen Dank für die Informationen!!!

es gibt ein r [mm]\in R[/mm] mit [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{n+1}*r.[/mm]
wegen Integritätsring gilt Nullteilerfreiheit, ist also [mm]a\not=0 \Rightarrow a^n\not=0[/mm]
also  ist 1=a*r, a[mm]\in R*[/mm]
Warum folgt 1=a*r, a[mm]\in R*[/mm] ? Ist es deshalb, weil wir keine Nullteiler haben, muss der kommutative Ring nur aus Einheiten bestehen?



Bezug
                        
Bezug
absteigende Kettenbedingung: Primideal
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Fr 15.02.2008
Autor: gnom

Wenn wir wissen, dass es ein kommutativer Ring ist der die absteigende Kettenbedingung erfüllt für zyklische Ideale. Dann wissen wir auch, dass die Kette der Ideale stationär wird.
Sei also a [mm]\not=[/mm] 0 ein Element aus R. Dann betrachtest du

> die Kette der Ideale [mm](a^{n}).[/mm] Diese ist absteigend und wird
> stationär. Also ist für ein n [mm](a^{n})[/mm] = [mm](a^{n+1}).[/mm] Das
> heißt aber, es gibt ein r mit [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{n+1}*r.[/mm]

Wenn man hier zeigen möchte, dass jedes Primideal ein maximales Ideal ist.
Für ein Primideal gilt: Sei a,b [mm]\in R[/mm] und a*b[mm]\in I[/mm] Dann muss a[mm]\in I[/mm] oder b[mm]\in I[/mm] sein.

Wenn ich zeige, dass jedes Ideal im kommutativen Ring ein Primideal ist-->das R ein Körper ist--> jeder Körper ist ein faktorieller Ring und dann besitzt er nur maximale Ideale-->jedes maximale Ideal ist ein Primideal.

Wäre die Beweisidee so richtig oder liege da falsch?



Bezug
                                
Bezug
absteigende Kettenbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Fr 15.02.2008
Autor: statler

Hi,

das ist mit meiner anderen Antwort erledigt, weil R ein Körper sein muß.

Gruß
Dieter

Bezug
                        
Bezug
absteigende Kettenbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Fr 15.02.2008
Autor: statler


> > Sei also a [mm]\not=[/mm] 0 ein Element aus R. Dann betrachtest du
> > die Kette der Ideale [mm](a^{n}).[/mm] Diese ist absteigend und wird
> > stationär. Also ist für ein n [mm](a^{n})[/mm] = [mm](a^{n+1}).[/mm] Das
> > heißt aber, es gibt ein r mit [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{n+1}*r.[/mm] Rest für
> > dich: Wende mal an, daß R ein Integritätsring ist.

> es gibt ein r [mm]\in R[/mm] mit [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{n+1}*r.[/mm]
> wegen Integritätsring gilt Nullteilerfreiheit, ist also
> [mm]a\not=0 \Rightarrow a^n\not=0[/mm]
> also  ist 1=a*r, a[mm]\in R*[/mm]
> Warum folgt 1=a*r, a[mm]\in R*[/mm] ? Ist es deshalb, weil wir keine
> Nullteiler haben, muss der kommutative Ring nur aus
> Einheiten bestehen?

Mahlzeit!

Das läuft in Integritätsringen immer nach demselben Schema. Es ist
[mm] a^{n} [/mm] = [mm] a^{n+1}*r \gdw a^{n} [/mm] - [mm] a^{n+1}*r [/mm] = 0 [mm] \gdw a^{n}*(1 [/mm] - a*r) = 0 [mm] \gdw [/mm] 1 - a*r = 0 (wg. [mm] a^{n} \not= [/mm] 0) [mm] \gdw [/mm] 1 = a*r

Gruß
Dieter


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de