www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Topologie und Geometrie" - abzählbare Basis
abzählbare Basis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

abzählbare Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Fr 23.03.2012
Autor: Herr_von_Omikron

Aufgabe
Gegeben X ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] der Topologie. Zeigen Sie, dass jede andere Basis von X eine abzählbare Teilmenge hat, die selbst wieder Basis von X ist.

Nun, habe lange versucht, diese Aufgabe zu zeigen, scheitere aber immer.
Ich habe u. a. versucht, es folgendermaßen zu zeigen:
Sei X topologischer Raum mit abzählbarer Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] und eine [mm] \mathcal{C} [/mm] eine Menge von Teilmengen von X, wobei jede abzählbare Teilmenge von X keine Basis für die Topologie ist.
Dann gibt es eine offene Menge O, die sich als Vereinigung von Elementen aus [mm] \mathcal{B}, [/mm] aber nicht aus einer abzählbaren Teilmenge von [mm] \mathcal{C} [/mm] darstellen lässt.
Nun fehlt mir ein Argument, dass sich dann O auch nicht als Vereinigung von Elementen von [mm] \mathcal{C} [/mm] darstellen lässt.. Bin auch nicht so geübt mit unendlichen Mengen.. Hat vllt. jemand einen Tipp für mich?
Oder bin ich total auf dem Holzweg?

Grüße,
Herr von Omikron

        
Bezug
abzählbare Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Fr 23.03.2012
Autor: tobit09

Hallo,

bei dieser Aufgabe finde ich es schwierig, Tipps zu geben. Daher schon eine recht weitgehende Lösungsskizze:


Da die Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] abzählbar ist, lässt sie sich in der Form [mm] \mathcal{B}=\{B_n|n\in\IN\} [/mm] schreiben.

Sei nun [mm] \mathcal{C} [/mm] eine beliebige Basis.

Überlege dir, warum es genügt zu zeigen, dass jedes Element [mm] B\in\mathcal{B} [/mm] sich als abzählbare Vereinigung von Elementen aus [mm] \mathcal{C} [/mm] schreiben lässt.

Sei also [mm] B\in\mathcal{B}. [/mm]

Zunächst einmal wissen wir, dass sich B als (nicht notwendig abzählbare) Vereinigung von Elementen aus [mm] \mathcal{C} [/mm] darstellen lässt, etwa

     [mm] B=\bigcup_{i\in I}C_i [/mm]

für eine Menge I und gewisse [mm] C_i\in\mathcal{C}. [/mm]

Wir werden zeigen, dass abzählbar viele [mm] C_i [/mm] schon ausreichen, um als Vereinigung B zu erhalten.

Dazu bringen wir die abzählbare Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] ins Spiel und stellen jedes [mm] C_i [/mm] als Vereinigung von Elementen aus [mm] \mathcal{B} [/mm] dar:

     [mm] $C_i=\bigcup_{n\in N_i}B_n$ [/mm]

für gewisse Mengen [mm] N_i\subseteq\IN. [/mm]

Dann ist [mm] N:=\bigcup_{i\in I}N_i [/mm] abzählbar (warum?).

Wähle für alle [mm] $n\in [/mm] N$ ein [mm] $i_n\in [/mm] I$ mit [mm] $n\in N_i$. [/mm]

Zeige nun:

     [mm] B=\bigcup_{n\in N}C_{i_n}. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
abzählbare Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 Sa 24.03.2012
Autor: Herr_von_Omikron

Vielen Dank für diese ausführliche Antwort (auch für die im anderen Thema).

> Hallo,
>  
> bei dieser Aufgabe finde ich es schwierig, Tipps zu geben.
> Daher schon eine recht weitgehende Lösungsskizze:
>  
>
> Da die Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] abzählbar ist, lässt sie sich in
> der Form [mm]\mathcal{B}=\{B_n|n\in\IN\}[/mm] schreiben.
>  
> Sei nun [mm]\mathcal{C}[/mm] eine beliebige Basis.
>  
> Überlege dir, warum es genügt zu zeigen, dass jedes
> Element [mm]B\in\mathcal{B}[/mm] sich als abzählbare Vereinigung
> von Elementen aus [mm]\mathcal{C}[/mm] schreiben lässt.

Das müsste sein, weil man schon jedes Element aus der Topologie als abzählbare Vereinigung von Elementen in [mm] \mathcal{B} [/mm] schreiben kann, wenn man jedes davon als abzählbare Vereinigung von [mm] \mathcal{C}-Mengen [/mm] schreiben kann, kann man dadurch auch jedes Element aus der Topologie mit abzählbar vielen [mm] \mathcal{C}-Elementen [/mm] schreiben.


>  
> Sei also [mm]B\in\mathcal{B}.[/mm]
>  
> Zunächst einmal wissen wir, dass sich B als (nicht
> notwendig abzählbare) Vereinigung von Elementen aus
> [mm]\mathcal{C}[/mm] darstellen lässt, etwa
>  
> [mm]B=\bigcup_{i\in I}C_i[/mm]
>  
> für eine Menge I und gewisse [mm]C_i\in\mathcal{C}.[/mm]
>  
> Wir werden zeigen, dass abzählbar viele [mm]C_i[/mm] schon
> ausreichen, um als Vereinigung B zu erhalten.
>  
> Dazu bringen wir die abzählbare Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] ins
> Spiel und stellen jedes [mm]C_i[/mm] als Vereinigung von Elementen
> aus [mm]\mathcal{B}[/mm] dar:
>  
> [mm]C_i=\bigcup_{n\in N_i}B_n[/mm]
>  
> für gewisse Mengen [mm]N_i\subseteq\IN.[/mm]
>  
> Dann ist [mm]N:=\bigcup_{i\in I}N_i[/mm] abzählbar (warum?).

N muss ja eine Teilmenge von [mm] \mathcal{B} [/mm] sein.

>  
> Wähle für alle [mm]n\in N[/mm] ein [mm]i_n\in I[/mm] mit [mm]n\in N_i[/mm].
>  
> Zeige nun:
>  
> [mm]B=\bigcup_{n\in N}C_{i_n}.[/mm]
>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
                        
Bezug
abzählbare Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:58 Sa 24.03.2012
Autor: tobit09


> > Überlege dir, warum es genügt zu zeigen, dass jedes
> > Element [mm]B\in\mathcal{B}[/mm] sich als abzählbare Vereinigung
> > von Elementen aus [mm]\mathcal{C}[/mm] schreiben lässt.
>  
> Das müsste sein, weil man schon jedes Element aus der
> Topologie als abzählbare Vereinigung von Elementen in
> [mm]\mathcal{B}[/mm] schreiben kann, wenn man jedes davon als
> abzählbare Vereinigung von [mm]\mathcal{C}-Mengen[/mm] schreiben
> kann, kann man dadurch auch jedes Element aus der Topologie
> mit abzählbar vielen [mm]\mathcal{C}-Elementen[/mm] schreiben.

Ja, aber wie bekommst du nun eine abzählbare Teilmenge von [mm] $\mathcal{C}$, [/mm] die Basis des topologischen Raumes ist? Wenn jede offene Teilmenge sich als abzählbare Vereinigung von Elementen aus [mm] \mathcal{C} [/mm] schreiben lässt, erhältst du ja möglicherweise insgesamt überabzählbar viele Elemente von [mm] \mathcal{C}. [/mm]


> > [mm]C_i=\bigcup_{n\in N_i}B_n[/mm]
>  >  
> > für gewisse Mengen [mm]N_i\subseteq\IN.[/mm]
>  >  
> > Dann ist [mm]N:=\bigcup_{i\in I}N_i[/mm] abzählbar (warum?).
>  
> N muss ja eine Teilmenge von [mm]\mathcal{B}[/mm] sein.

So wie ich es aufgeschrieben habe, ist N eine Teilmenge von [mm] \IN, [/mm] nicht von [mm] \mathcal{B}. [/mm] Aber die Lösung lässt sich problemlos so umschreiben, dass du Recht hast.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de