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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Mi 29.04.2009 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Menge der Polynome mit ganzzahligen Koe zienten ist abzählbar.
(Daraus folgt die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen, dh. der Zahlen
a [mm] \in \IR, [/mm] für
die es ein q [mm] \in \IZ[x] [/mm] gibt mit q(a) = 0.) |
Hallo
Irgendwie finde ich keinen Ansatz, oder wie soll ich da ansetzten???
danke lg
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> Zeigen Sie: Die Menge der Polynome mit ganzzahligen
> Koeffi zienten ist abzählbar.
> (Daraus folgt die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen,
> dh. der Zahlen
> a [mm]\in \IR,[/mm] für
> die es ein q [mm]\in \IZ[x][/mm] gibt mit q(a) = 0.)
> ... wie soll ich da ansetzen?
hallo csak,
eine Idee, die funktionieren würde, falls die Koeffizienten
nicht-negative ganze Zahlen wären:
Es ist möglich, eine bijektive Abbildung dieser Menge P
auf die Menge [mm] \IN [/mm] der natürlichen Zahlen zu konstruieren.
Ein Polynom in P ist charakterisiert durch die endliche
Folge [mm] a_0, a_1, a_2, [/mm] ..... , [mm] a_n [/mm] seiner Koeffizienten.
Nun kann man ihm die natürliche Zahl
$\ N\ =\ [mm] 2^{a_0}*3^{a_1}*5^{a_2}\,*\,.....\,*p_{n+1}^{a_n}$
[/mm]
zuordnen. Dabei sei [mm] p_k [/mm] die k-te Primzahl. Wegen der
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung lässt sich aus N
das zugehörige Polynom eindeutig rekonstruieren.
Nun können aber die Koeffizienten auch negativ sein ...
Die Abbildung lässt sich aber leicht so modifizieren,
dass Koeffizienten aus ganz [mm] \IZ [/mm] berücksichtigt werden.
Es muss nur eine Funktion vorgeschaltet werden, welche
[mm] \IZ [/mm] bijektiv auf [mm] \IZ_0^+ [/mm] abbildet.
LG Al-Chw.
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Hallo csak,
Als Idee ist tragfähig und auszubauen.
Die Koeffizienten seien, wie üblich, [mm] a_0 [/mm] bis [mm] a_n.
[/mm]
Wir nummerieren die Primzahlen wie folgt: [mm] p_1=2, p_2=3, p_3=5 [/mm] etc.
Dann werden die Koeffizienten wie folgt abgebildet:
[mm] f_i=\begin{cases} {(p_{2i+2})}^{a_i}, & \mbox{für } a_i<0 \\ 1, & \mbox{für } a_i=0 \\ {(p_{2i+3})}^{a_i}, & \mbox{für } a_i>0 \end{cases}
[/mm]
Das Polynom [mm] P(x)=\produkt_{i=0}^{n}a_{i}x^i [/mm] wird nun abgebildet auf [mm] k=\produkt_{j=0}^{n}f_j
[/mm]
Dabei ist nun die 2 als Primfaktor ausgelassen. So können wir sie noch für die algebraischen Zahlen verwenden...
Anders als bei Al sind nun aber nicht alle natürlichen Zahlen verwendet. Die Mächtigkeit der untersuchten Menge von Polynomen kann also vorerst höchstens abzählbar sein. Es ist aber leicht zu zeigen, dass sie zugleich mindestens abzählbar ist - man untersuche einen einzigen Koeffizienten...
Grüße
reverend
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