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| Aufgabe | | Schreiben Sie die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 3 } [/mm] als Summe einer diagonalisierbaren und einer nilpotenten Matrix die kommutieren. |
Es geht hier ja um die additive Jordanzerlegung. Ich habe die Jordanzerlegung berechnet ( 4-facher Eigenwert 2, eine 1 auf der Nebendiagonalen) und die Permutationsmatrix P. [mm] P^{-1} [/mm] * J * P ergibt auch wieder die Ausgangsmatrix, ich nenne sie mal A.
Ich hatte das laut meinem Skript so verstanden, dass ich nun die Jordanmatrix als Summe einer Diagonalmatrix D (hier: diag{2,2,2,2}) und einer nilpotenten Matrix N schreibe (hat also nur eine 1 bei (1,3)) und dann auf diese beiden ebenfalls die Permutationsmatrix "loslasse" im Sinn von A = [mm] P^{-1} [/mm] * D * P + [mm] P^{-1} [/mm] * N * P.
Irgendetwas scheint aber nicht zu stimmen. Vielleicht habe ich irgendwo einen Denkfehler drin oder was falsch verstanden.
Über Antworten wäre ich dankbar!
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Schreiben Sie die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 0 & 3 }[/mm]
> als Summe einer diagonalisierbaren und einer nilpotenten
> Matrix die kommutieren.
> Es geht hier ja um die additive Jordanzerlegung.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, darum geht's.
> Ich habe
> die Jordanzerlegung berechnet ( 4-facher Eigenwert 2, eine
> 1 auf der Nebendiagonalen) und die Permutationsmatrix P.
> [mm]P^{-1}[/mm] * J * P ergibt auch wieder die Ausgangsmatrix, ich
> nenne sie mal A.
Ja.
>
> Ich hatte das laut meinem Skript so verstanden, dass ich
> nun die Jordanmatrix als Summe einer Diagonalmatrix D
> (hier: diag{2,2,2,2}) und einer nilpotenten Matrix N
> schreibe (hat also nur eine 1 bei (1,3))
Wieso bei (1,3)?
Meine 1 wäre bei (1,2), also 1. Zeile, 2. Spalte.
> und dann auf
> diese beiden ebenfalls die Permutationsmatrix "loslasse" im
> Sinn von A = [mm]P^{-1}[/mm] * D * P + [mm]P^{-1}[/mm] * N * P.
Genau.
>
> Irgendetwas scheint aber nicht zu stimmen. Vielleicht habe
> ich irgendwo einen Denkfehler drin oder was falsch
> verstanden.
Denkfehler sehe ich nicht.
Eventuell ist's wirklich nur ein Schreibfehler bei der JNF.
Falls es daran nicht liegt, brauchen wir P, [mm] P^{-1} [/mm] und J.
Gruß v. Angela
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Sorry, hab mich natürlich vertippt die 1 steht, wie du geschrieben hast an (1,2).
Dann vermute ich mal, dass an meiner Matrix P liegt, da war ich mir auch nicht so ganz sicher, aber nachdem [mm] P^{-1}*A*P [/mm] = J ergab, dachte ich, ich hätte sie richtig zusammengebastelt. Naja, also raus hatte ich für P [mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 2 } [/mm]
Ich habe versucht so vorzugehen wie das "Rezept" vorgibt, und habe vermutlich dabei einen Fehler gemacht.
Angefangen habe ich mit dem zweiten Spaltenvektor. Den habe ich gewählt aus [mm] ker(A-2E)^{2}, [/mm] sodass er nicht in ker(A-2E) liegt. (E ist die Einheitsmatrix)
Liegt hier schon der Fehler?
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> Sorry, hab mich natürlich vertippt die 1 steht, wie du
> geschrieben hast an (1,2).
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> Dann vermute ich mal, dass an meiner Matrix P liegt, da war
> ich mir auch nicht so ganz sicher, aber nachdem [mm]P^{-1}*A*P[/mm]
> = J ergab, dachte ich, ich hätte sie richtig
> zusammengebastelt. Naja, also raus hatte ich für P [mm]\pmat{ -1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
> Ich habe versucht so vorzugehen wie das "Rezept" vorgibt,
> und habe vermutlich dabei einen Fehler gemacht.
> Angefangen habe ich mit dem zweiten Spaltenvektor. Den habe
> ich gewählt aus [mm]ker(A-2E)^{2},[/mm] sodass er nicht in
> ker(A-2E) liegt. (E ist die Einheitsmatrix)
> Liegt hier schon der Fehler?
Hallo,
vom Prinzip her ist das kein Fehler, aber ich glaube, daß der Vektor in der zweiten Spalte nicht stimmt. Der ist doch gar nicht im Kern von [mm] (A-E)^2, [/mm] oder?
Prüf' das nochmal.
Gruß v. Angela
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Hey :)
Vielen Dank für deine Hilfe. Ich hab mich tatsächlich verrechnet beim Quadrieren der Matrix....^^
Hab erst Freitag wieder Zeit mich dranzusetzen, dann werd ich's überarbeiten.
Dankeschön nochmal.
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Habe den Fehler leider doch noch nicht gefunden. Der zweite Spaltenvektor von P muss doch im Kern von [mm] (A-2E)^{2} [/mm] liegen, oder? Nicht im Kern von [mm] (A-E)^{2}.
[/mm]
Und da [mm] (A-2E)^{2} [/mm] die Einheitsmatrix ist liegt doch jeder Vektor im Kern.
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Hallo,
Poste doch mal A-2E und ihr Quadrat.
Dann kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
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A - 2E = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 0 & 3} [/mm] - 2E = [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 & 1}
[/mm]
und damit [mm] (A-2E)^{2} [/mm] = Nullmatrix
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Hallo,
ich hatte mich wohl zuvor auf meinem Winzzettel leider verrechnet.
So, jetzt nochmal ganz langsam:
Deine Jordanbasis sieht mir richtig aus.
Bei der von Dir vorgestellten Matrix P stehen die Vektoren der Jordanbasis in den Spalten.
Hmm- ich glaube, ich nähere mich dem Knackpunkt.
Es ist nämlich [mm] J=P^{-1}AP, [/mm] also [mm] A=PJP^{-1} [/mm] !!!
Du hattest das andersrum.
In Wahrheit ist [mm] A=PDP^{-1}+PNP^{-1}.
[/mm]
Prüfe, ob's das war...
Gruß v. Angela
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Also andersrum stimmts auch nicht.
Ich werd mal noch etwas rumprobieren...
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> Also andersrum stimmts auch nicht.
Hallo,
wovon meinst Du eigentlich, daß es nicht stimmt?
Wie sehen denn die Matrizen aus, die Du erhältst, wenn Du P und [mm] P^{-1} [/mm] auf der richtigen Seite heranmultiplizierst, und was gefällt Dir nicht?
Grzuß v. Angela
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Hallo!
Mittlerweile hat sich alles geklärt. Ich habs verstanden und gelöst :)
Vielen Dank für deine Hilfe!
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> Hallo!
>
> Mittlerweile hat sich alles geklärt. Ich habs verstanden
> und gelöst :)
Hallo,
mich würde aber nun doch interessieren, wo das Problem lag.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank für deine Hilfe!
>
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