www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - adj. Abb. und Bifo
adj. Abb. und Bifo < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

adj. Abb. und Bifo: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Di 03.08.2004
Autor: hanna

Hallo!
Wie auch viele andere hier lerne ich gerade für die Klausur und komme mit einer Aufgabe nicht klar:

Es sei [mm]V[/mm] ein endlich-dimensionaler  K-Vektorraum und [mm] \Phi [/mm] eine nicht -ausgeartete Bilinearform auf [mm]V[/mm].
Für [mm]\varphi \in End_K(V)[/mm] bezeichnen wir mit [mm] \varphi^+ [/mm] die zu [mm] \varphi [/mm] adjungierte Abbildung bezüglich [mm] \Phi. [/mm]
Zeigen Sie:
Für alle [mm]\varphi , \psi \in End_K(V)[/mm] gilt [mm](\varphi +\psi)^+=\varphi ^++\psi^+[/mm].
(Hinweis: Es kommt auf die sorgfältige Argumentation an. Wo geht z.B. die Voraussetzung ein, dass [mm] \Phi [/mm] nicht-ausgeartet ist?)

Das einzige, was ich von einer adj. Abbildung weiß, ist dass folgendes gilt:
[mm]\Phi(\varphi(v),w)=\Phi(v,\varphi^+(w)) \forall v,w \in V [/mm].
hm, und ich hab dann einiges hin und her überlegt, aber ich komme echt nicht drauf (was wohl daran liegen kann, dass meinem Hirn die Akrobatik für heute reicht :-)).

Kann mir da von euch vllt. jemand helfen?
Das wäre sehr nett!

Gruß,
Hanna

        
Bezug
adj. Abb. und Bifo: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:24 Mi 04.08.2004
Autor: Stefan

Liebe Hanna!

Da [mm] $\Phi$ [/mm] nicht-ausgeartet ist, existieren die adjungierten Abbildungen von [mm] $\varphi$, $\psi$ [/mm] und [mm] $\varphi [/mm] + [mm] \psi$ [/mm] und sind durch die Gleichungen

[mm] $\Phi(\varphi(v),w) [/mm] = [mm] \Phi(v,\varphi^+(w))$, [/mm]

[mm] $\Phi(\psi(v),w) [/mm] = [mm] \Phi(v,\psi^+(w))$ [/mm]

und

[mm] $\Phi((\varphi [/mm] + [mm] \psi)(v),w) [/mm] = [mm] \Phi(v,(\varphi [/mm] + [mm] \psi)^+(w))$ [/mm]

für alle $v,w [mm] \in [/mm] V$ eindeutig bestimmt.

Daher genügt es, um

[mm] $(\varphi [/mm] + [mm] \psi)^+ [/mm] = [mm] \varphi^+ [/mm] + [mm] \psi^+$ [/mm]

zu zeigen, die folgende Gleichheit für alle $v,w [mm] \in [/mm] V$ nachzuweisen:

[mm] $\Phi((\varphi [/mm] + [mm] \psi)(v),w) [/mm] = [mm] \Phi(v, (\varphi^+ [/mm] + [mm] \psi^+)w)$. [/mm]

Das ist aber elementar, denn:

[mm] $\Phi((\varphi [/mm] + [mm] \psi)(v),w)$ [/mm]

(Definition der Summe zweier Abbildungen)

$= [mm] \Phi(\varphi(v) [/mm] + [mm] \psi(v),w)$ [/mm]

(Bilinearität von [mm] $\green{\Phi}$) [/mm]

$= [mm] \Phi(\varphi(v),w) [/mm] + [mm] \Phi(\psi(v),w)$ [/mm]


$= [mm] \Phi(v,\varphi^+(w)) [/mm] + [mm] \Phi(v,\psi^+(w))$ [/mm]

$= [mm] \ldots$ [/mm]

$= [mm] \Phi(v, (\varphi^+ [/mm] + [mm] \psi^+)w)$. [/mm]


Die Lücken kannst du nun bestimmt selber füllen, schließlich bist du eine clevere Mathematikerin. :-)

Melde dich doch einfach mal mit den fehlenden Schritten zwecks Kontrolle (für dich selbst) oder weiteren Fragen.

Ich werde dir dann nicht antworten, da ich ab morgen wieder bis zum Wochenende im Urlaub bin. Aber es hilft dir bestimmt jemand anderes weiter. :-)

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
adj. Abb. und Bifo: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Mi 04.08.2004
Autor: hanna

Hallo Stefan!
also, dann mach ich die aufgabe mal "fertig" und vielen dank für deine hilfe.
ich wusste nämlich nicht,ob ich das hier

> [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w)[/mm]
>  
> (Definition der Summe zweier Abbildungen)

so machen darf.
aber dann ist es ja auch wirklich nicht schwer:

> Da [mm]\Phi[/mm] nicht-ausgeartet ist, existieren die adjungierten
> Abbildungen von [mm]\varphi[/mm], [mm]\psi[/mm] und [mm]\varphi + \psi[/mm] und sind
> durch die Gleichungen
>  
> [mm]\Phi(\varphi(v),w) = \Phi(v,\varphi^+(w))[/mm],
>  
>
> [mm]\Phi(\psi(v),w) = \Phi(v,\psi^+(w))[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w) = \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))[/mm]
>  
>
> für alle [mm]v,w \in V[/mm] eindeutig bestimmt.
>  
> Daher genügt es, um
>  
> [mm](\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+[/mm]
>  
> zu zeigen, die folgende Gleichheit für alle [mm]v,w \in V[/mm]
> nachzuweisen:
>  
> [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w) = \Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)w)[/mm].
>  
>
> Das ist aber elementar, denn:
>  
> [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w)[/mm]
>  
> (Definition der Summe zweier Abbildungen)
>  
> [mm]= \Phi(\varphi(v) + \psi(v),w)[/mm]
>  
> (Bilinearität von [mm]\green{\Phi}[/mm])
>  
> [mm]= \Phi(\varphi(v),w) + \Phi(\psi(v),w)[/mm]
>  
>
> [mm]= \Phi(v,\varphi^+(w)) + \Phi(v,\psi^+(w))[/mm]

[mm]= \Phi(v,\varphi^+(w)+\psi^+(w)[/mm], da [mm] \Phi [/mm] bilinear
  

> [mm]= \Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)w)[/mm], s.o.

Also ist bis jetzt gezeigt, dass
[mm]\Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))=\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))[/mm].

Muss ich jetzt damit noch zeigen, dass [mm](\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+[/mm] gilt?
Die Gleichheit habe ich ja bis jetzt nur unter der Abb [mm] \Phi [/mm] gezeigt.
(und da würde es auch eine große Rolle spielen, dass [mm] \Phi [/mm] nicht-ausgeartet ist, was ansonsten ja eher untergegangen wäre...)
Ich schreibe einfach mal auf, wie ich mir das weiter gedacht habe:

Da [mm]\Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))=\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))[/mm]

[mm]\Leftrightarrow \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))-\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))=0 \forall v\in V[/mm].

[mm]\Leftrightarrow \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))-(\varphi^+ + \psi^+)(w)=0 \forall v\in V[/mm].

Dann folgt mit der Definition von "nicht-ausgeartet", dass
[mm]\Rightarrow (\varphi + \psi)^+(w))-(\varphi^+ + \psi^+)(w)=0 \Leftrightarrow (\varphi + \psi)^+(w))=(\varphi^+ + \psi^+)(w)[/mm].

ich weiß nicht, ob die letzten schritte jetzt überhaupt nötig war, aber ich glaube schon.

hanna


Bezug
                        
Bezug
adj. Abb. und Bifo: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Mi 04.08.2004
Autor: Wurzelpi


>  
> > Da [mm]\Phi[/mm] nicht-ausgeartet ist, existieren die adjungierten
>
> > Abbildungen von [mm]\varphi[/mm], [mm]\psi[/mm] und [mm]\varphi + \psi[/mm] und sind
>
> > durch die Gleichungen
>  >  
> > [mm]\Phi(\varphi(v),w) = \Phi(v,\varphi^+(w))[/mm],
>  >  
> >
> > [mm]\Phi(\psi(v),w) = \Phi(v,\psi^+(w))[/mm]
>  >  
> > und
>  >  
> > [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w) = \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))[/mm]
>  
> >  

> >
> > für alle [mm]v,w \in V[/mm] eindeutig bestimmt.
>  >  
> > Daher genügt es, um
>  >  
> > [mm](\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+[/mm]
>  >  
> > zu zeigen, die folgende Gleichheit für alle [mm]v,w \in V[/mm]
> > nachzuweisen:
>  >  
> > [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w) = \Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)w)[/mm].
>  
> >  

> >
> > Das ist aber elementar, denn:
>  >  
> > [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w)[/mm]
>  >  
> > (Definition der Summe zweier Abbildungen)
>  >  
> > [mm]= \Phi(\varphi(v) + \psi(v),w)[/mm]
>  >  
> > (Bilinearität von [mm]\green{\Phi}[/mm])
>  >  
> > [mm]= \Phi(\varphi(v),w) + \Phi(\psi(v),w)[/mm]
>  >  
> >
> > [mm]= \Phi(v,\varphi^+(w)) + \Phi(v,\psi^+(w))[/mm]
>  
> [mm]= \Phi(v,\varphi^+(w)+\psi^+(w)[/mm], da [mm]\Phi[/mm] bilinear
>    
> > [mm]= \Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)w)[/mm], s.o.
>  
> Also ist bis jetzt gezeigt, dass
> [mm]\Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))=\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))[/mm].
>  

[ok]

> Muss ich jetzt damit noch zeigen, dass [mm](\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+[/mm]
> gilt?
> Die Gleichheit habe ich ja bis jetzt nur unter der Abb [mm]\Phi[/mm]
> gezeigt.

Stefan hat in seiner Antwort schon gesagt, dass es genüge.

>  (und da würde es auch eine große Rolle spielen, dass [mm]\Phi[/mm]
> nicht-ausgeartet ist, was ansonsten ja eher untergegangen
> wäre...)

>  Ich schreibe einfach mal auf, wie ich mir das weiter
> gedacht habe:
>  
> Da [mm]\Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))=\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))[/mm]
>  
>
> [mm]\Leftrightarrow \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))-\Phi(v, (\varphi^+ + \psi^+)(w))=0 \forall v\in V[/mm].
>  
>
> [mm]\Leftrightarrow \Phi(v,(\varphi + \psi)^+(w))-(\varphi^+ + \psi^+)(w)=0 \forall v\in V[/mm].
>  
>
> Dann folgt mit der Definition von "nicht-ausgeartet",
> dass
>  [mm]\Rightarrow (\varphi + \psi)^+(w))-(\varphi^+ + \psi^+)(w)=0 \Leftrightarrow (\varphi + \psi)^+(w))=(\varphi^+ + \psi^+)(w)[/mm].

[ok]

> ich weiß nicht, ob die letzten schritte jetzt überhaupt
> nötig war, aber ich glaube schon.

Meiner Meinung nach, kann man die Schritte machen, muss sie aber nicht machen.
Sie verdeutlichen aber noch einmal die Aussage und sind daher für das Verständnis ziemlich gut.

Gruss,
Wurzelpi

Bezug
                        
Bezug
adj. Abb. und Bifo: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Sa 07.08.2004
Autor: Stefan

Liebe Hanna!

>  also, dann mach ich die aufgabe mal "fertig" und vielen
> dank für deine hilfe.

Gern geschehen. :-)

>  ich wusste nämlich nicht,ob ich das hier
>  > [mm]\Phi((\varphi + \psi)(v),w)[/mm]

>  >  
> > (Definition der Summe zweier Abbildungen)
>  so machen darf.

Das darfst du deswegen, weil es sich um eine nicht-ausgeartete Bilinearform handelt und deswegen die adjungierte Abbildung durch diese Gleichung eindeutig bestimmt ist (der Beweis dafür ist ja sinngemäß genau der, den du unten in deinem Beweis vormachst). Da ich aber mal davon ausgehe, dass ihr ihn in der Vorlesung gemacht habt (oder nicht?), kannst du das als bekannt voraussetzen.

Wie habt ihr denn die Adjungierte definiert?
Habt ihr denn nicht bewiesen, dass die Adjungierte für nicht-ausgeartete Bilinearformen eindeutig bestimmt ist? (Wenn nein, dann müsstest du deine Schritte weiter unten noch durchführen.)

> Muss ich jetzt damit noch zeigen, dass [mm](\varphi + \psi)^+ = \varphi^+ + \psi^+[/mm]
> gilt?

Nein, siehe oben (es sei denn, ihr habt -wie gesagt- nicht gezeigt, dass für eine nicht-ausgeartete Bilinearform die Adjungierte durch die bestimmende Gleichung eindeutig bestimmt ist, das weiß ich ja leider nicht, schließlich habe ich euer Skript nicht).

Vielleicht kannst du darauf ja noch einmal eingehen, auch und vor allem für Wurzelpi.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                
Bezug
adj. Abb. und Bifo: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:33 Sa 07.08.2004
Autor: hanna

hallo stefan!

ups, ja, den beweis hatten wir schon mal in einer übungsaufgabe. :-)

dankeschön nochmal und schönes wochenende noch!


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de