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| Aufgabe | Es sei A:= [mm] \pmat{ -1 & 2 & 2 \\ 4 & -2 & 4 \\ 6 & 6 & -3 }
[/mm]
a) Weisen sie nach, dass A bijektiv ist.
b) Weisen sie nach, dass R:=AA* eine symmetrische, positive definite Matrix ist. Diagonalisieren sie R. Wir bezeichnen diese Diagonalmatrix mit D, und P sei so gewählt, dass [mm] R=PDP^{-1}.
[/mm]
c)Finden sie eine symmetrische, positive definite Matrix D' sodass D'²=D. Es sei [mm] R':=PD'P^{-1}. [/mm] Weisen sie nach, dass R'²=R. Ist R' eine symmetrische, positive definite Matrix?
d) Weisen sie nach, dass R'^(-1) orthogonal ist. Finden sie eine Matrix S welche positiv definit ist und eine orthogonale Matrix O, sodass A=SO (sie sog. Polarzerlegung von A). |
Hallo Leute!
Bin noch ganz neu hier, habe mich aber schon fleißig durch alte Forumsbeiträge gewühlt! Zu dieser Aufgabe habe ich aber leider nicht 100% das richtige finden können...
Teilaufgabe a) Tja, das ist schon mein erstes Problem. Ich habe schonmal herausgefunden, dass die Matrix bijektiv ist, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Damit komme ich aber auch nicht klar...
Habe die Matrix einfach mal invertiert, was muss ich denn noch machen?
b) um A* zu bekommen habe ich erstmal A transponiert:
[mm] A^T= \pmat{ -1 & 4 & 6 \\ 2 & -2 & 6 \\ 2 & 4 & -3 }
[/mm]
und dann habe ich alle Elemente komplex konjugiert. Am Ende erhalte ich:
A*= [mm] \pmat{ -18 & 18 & 12 \\ 36 & -9 & 12 \\ 36 & 8 & -6 }
[/mm]
Als nächstes habe ich A mit A* multipliziert, und bekomme:
[mm] R=\pmat{ 162 & -20 & 0 \\ 0 & 122 & 0 \\ 0 & 30 & 162 } [/mm] kann das stimmen?
Symmetrisch sieht das ja nicht gerade aus...
Damit die Matrix positiv definit ist, müssen ja alle Eigenwerte >0 sein...
Habe dann mal versucht, das charakteristische Polynom herauszufinden. Da bekomme ich: [mm] -\lambda³+446\lambda²-65772\lambda+3201768 [/mm] !!!
Da kann ich doch niemals Nussstellen herausfinden... Irgendwie kann das gar nicht stimmen, nur leider finde ich den Fehler nicht...
D und P kriege ich dann hoffentlich wieder alleine raus, wenn ich erstmal das richtige R habe...
zu c) da bin ich leider völlig überfragt. Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich auf das D' komme?
d) um da weiterzukommen, brauche ich auch erstmal das R...
Wäre schön, wenn mir jemand bei der ein oder anderen Teilaufgabe helfen könnte (vor allem erstmal a) und b)).
Danke schon im vorraus!
Klarinette
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi! Die adjungierte Matrix ist die transponierte mit den konjugiert komplexen Einträgen. Was ist den das konj. komplexe von zb -1? Lg
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Naja, für den ersten Eintrag in der Matrix (hier also -1) hatte ich das so ausgerechnet:
[mm] a_{1,1}= (-1)^{1+1}*\vmat{ -2 & 6 \\ 4 & -3 } [/mm] = -18
oder wieso stimmt das nicht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Do 03.05.2007 | | Autor: | Klarinette |
Nach weiteren Überlegungen, müsste die komplex konjugierte Zahl zu -1 einfach wieder -1 sein, weil es hier ja garkeinen imaginärteil gibt...
=> -1-0*i=-1
Aber das würde ja heißen, dass A* = [mm] A^T
[/mm]
Stimmt das dann?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Sa 05.05.2007 | | Autor: | felixf |
> Nach weiteren Überlegungen, müsste die komplex konjugierte
> Zahl zu -1 einfach wieder -1 sein, weil es hier ja
> garkeinen imaginärteil gibt...
> => -1-0*i=-1
> Aber das würde ja heißen, dass A* = [mm]A^T[/mm]
> Stimmt das dann?
Genau.
(Das, was du in der anderen Frage die mittlerweile abgelaufen ist geschrieben hast, heisst zwar auch konjugiert, hat aber nichts mit dem komplex Konjugieren zu tun was du hier [mm] $A^\ast$ [/mm] brauchst...)
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Sa 05.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Klarinette!
> Es sei A:= [mm]\pmat{ -1 & 2 & 2 \\ 4 & -2 & 4 \\ 6 & 6 & -3 }[/mm]
>
> a) Weisen sie nach, dass A bijektiv ist.
>
> b) Weisen sie nach, dass R:=AA* eine symmetrische, positive
> definite Matrix ist. Diagonalisieren sie R. Wir bezeichnen
> diese Diagonalmatrix mit D, und P sei so gewählt, dass
> [mm]R=PDP^{-1}.[/mm]
>
> c)Finden sie eine symmetrische, positive definite Matrix D'
> sodass D'²=D. Es sei [mm]R':=PD'P^{-1}.[/mm] Weisen sie nach, dass
> R'²=R. Ist R' eine symmetrische, positive definite Matrix?
>
> d) Weisen sie nach, dass R'^(-1) orthogonal ist. Finden sie
> eine Matrix S welche positiv definit ist und eine
> orthogonale Matrix O, sodass A=SO (sie sog. Polarzerlegung
> von A).
> Hallo Leute!
> Bin noch ganz neu hier, habe mich aber schon fleißig durch
> alte Forumsbeiträge gewühlt! Zu dieser Aufgabe habe ich
> aber leider nicht 100% das richtige finden können...
>
> Teilaufgabe a) Tja, das ist schon mein erstes Problem. Ich
> habe schonmal herausgefunden, dass die Matrix bijektiv ist,
> wenn sie injektiv und surjektiv ist. Damit komme ich aber
> auch nicht klar...
Eigentlich benutzt man die Woerter bijektiv, injektiv und surjektiv nicht fuer eine Matrix, sondern fuer die durch die Matrix induzierte Abbildung [mm] $K^3 \to K^3$, [/mm] $v [mm] \mapsto [/mm] A v$.
> Habe die Matrix einfach mal invertiert, was muss ich denn
> noch machen?
Bijektiv heisst, dass die Matrix invertierbar ist. Wenn du sie also invertieren kannst, ist die zugehoerige Abbildung somit invertierbar.
> b) um A* zu bekommen habe ich erstmal A transponiert:
> [mm]A^T= \pmat{ -1 & 4 & 6 \\ 2 & -2 & 6 \\ 2 & 4 & -3 }[/mm]
> und
> dann habe ich alle Elemente komplex konjugiert. Am Ende
> erhalte ich:
> A*= [mm]\pmat{ -18 & 18 & 12 \\ 36 & -9 & 12 \\ 36 & 8 & -6 }[/mm]
Wie schon geschrieben, das ist nicht die komplexe Konjugation. Es ist $A^* = [mm] A^T$.
[/mm]
> zu c) da bin ich leider völlig überfragt. Kann mir jemand
> einen Ansatz geben, wie ich auf das D' komme?
Also, $D$ ist eine Diagonalmatrix mit Werten [mm] $\ge [/mm] 0$ auf der Diagonalen.
Wenn du zwei Diagonalmatrizen miteinander multiplizierst (insbesondere wenn du eine Diagonalmatrix quadrierst), was passiert dann? Ueberleg dir das, dann bekommst du vielleicht eine Idee wie du $D'$ waehlen kannst...
> d) um da weiterzukommen, brauche ich auch erstmal das R...
>
> Wäre schön, wenn mir jemand bei der ein oder anderen
> Teilaufgabe helfen könnte (vor allem erstmal a) und b)).
Zu d): Es ist [mm] $(R')^2 [/mm] = R = A A^*$, und damit $R' = R [mm] (R')^{-1} [/mm] = (A A^*) [mm] ((R')^{-1})$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 So 06.05.2007 | | Autor: | Klarinette |
Vielen Dank!
Du hast mir super weitergeholfen. Jetzt ist alles klar.
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