ähnliche Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mo 17.07.2006 | | Autor: | anni_ |
| Aufgabe | | Beweisen sie für matrizen A (Mn,n;R) das [mm] AA^T [/mm] ähnlich zu A^TA ist. |
Meine Lösung:
Da [mm] (AA^T)^T =AA^T [/mm] und [mm] (A^TA)^T=A^TA [/mm] gilt sind [mm] AA^T [/mm] und A^TA symmetrisch. Es gilt [mm] AA^T [/mm] ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix D1 und A^TA ähnlich zu einer Diagonalmatrix D2. Da D1(Mn,n;R) und D2(Mn,n;R) sind D1 und D2 ähnlich. Da die Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation ist, folgt [mm] AA^T [/mm] ist ähnlich zu A^TA.
So, jetzt weiss ich nicht ob dieser Beweis reicht, bzw. ob ich einfach sagen kann D1 ist ähnlich zu D2! Mir kommts so vor als würde etwas fehlen.
Danke im vorraus!
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo anni_!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dein Argument ist in der Tat zu kurz. [mm] $D_1$ [/mm] und [mm] $D_2$ [/mm] sind nämlich genau dann ähnlich, wenn sie die gleichen Eigenwerte mit gleicher Vielfachheit besitzen. Das müsstest du für $A^TA$ und [mm] $AA^T$ [/mm] also erstmal zeigen.
Mir scheint es aber wahrscheinlicher zu sein, dass es gerade dieses Resultat ist, dass bei der Aufgabe eigentlich herauskommen sollte. Oder habt ihr das bereits in der Vorlesung gezeigt?
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 18.07.2006 | | Autor: | anni_ |
Ja, dass die beiden ähnlich sind wenn sie die gleichen Eigenwerte (wobei gilt algebraische=geometrische Vielfachheit) besitzen, ist mir bekannt. Diese Aufgabe stammt aus einer Altklausur ohne Lösung. Jetzt bräuchte ich allerdings einen Tipp wie ich die oben stehende Aussage beweise. Mit dem Determinatensatz für [mm] AA^T [/mm] kann ich beweisen dass det [mm] AA^T [/mm] = det A^TA ist. kann ich daraus schliessen, dass die beiden dieselben Eigenwerte besitzen?
|
|
|
| |
|
Leider nein...
Die Determinante ist ja nur das absolute Glied im charakteristischen Polynom, dessen Nullstellen wiederum die Eigenwerte sind.
Wisst ihr schon, dass symmetrische Matrizen diagonalisierbar sind? Falls ja, kann man das benutzen: bei diagonalisierbaren Matrizen gilt nämlich, dass sie genau dann ähnlich sind, wenn sie das gleiche charakteristische Polynom besitzen und das sollte ja nicht so schwer zu zeigen sein, in diesem Fall. 
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:45 Mi 19.07.2006 | | Autor: | anni_ |
Dann war ja das mit den symmetrischen Matrizen zumindest schon mal eine gute idee:)! Also hier nochmal die ursprüngliche lösung erweitert!
Da $ [mm] (AA^T)^T =AA^T [/mm] $ und $ [mm] (A^TA)^T=A^TA [/mm] $ gilt sind $ [mm] AA^T [/mm] $ und A^TA symmetrisch. Da A und [mm] A^T [/mm] das selbe charakteriststische Polynom besitzen sind die charakteristsichen Polynome (es gilt charakteristisches Polynom von [mm] AA^T, [/mm] A^TA = (charakteristisches Polynom von [mm] A)^2 [/mm] ) von [mm] AA^T [/mm] und A^TA gleich und somt sind [mm] AA^T [/mm] und A^TA ähnlich zur selben Diagonalmatirx und somit ähnlich zueinander!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 21.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
