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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Di 25.09.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Gegeben seien die Matrizen [mm] A,B\in\IR^{3x3} [/mm] mit
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 6 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] und [mm] B=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
Gibt es eine Matrix [mm] T\in\R^{3x3} [/mm] mit [mm] T^{-1}*A*T=B? [/mm] Wenn, dann berechne T. |
Hi,
nach Definition sind zwei Matrizen [mm] A,B\in\IR^{nxn} [/mm] ähnlich, wenn ein [mm] T\in\IR^{nxn}, [/mm] T invertierbar, existiert
mit [mm] T^{-1}*A*T=B.
[/mm]
Doch wie berechne ich T?
Ich denke, es muss etwas mit Eigenwerten und Eigenvektoren zu tun haben.
Ich weiß jedoch nicht, wie ich bei der Berechnung genau vorgehen muss.
Mir wäre schon mit einer skizzenähnlichen Beschreibung der Vorgehensweise geholfen.
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Di 25.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Gegeben seien die Matrizen [mm]A,B\in\IR^{3x3}[/mm] mit
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 6 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] und [mm]B=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }[/mm]
>
> Gibt es eine Matrix [mm]T\in\R^{3x3}[/mm] mit [mm]T^{-1}*A*T=B?[/mm] Wenn,
> dann berechne T.
> Hi,
>
> nach Definition sind zwei Matrizen [mm]A,B\in\IR^{nxn}[/mm] ähnlich,
> wenn ein [mm]T\in\IR^{nxn},[/mm] T invertierbar, existiert
>
> mit [mm]T^{-1}*A*T=B.[/mm]
>
> Doch wie berechne ich T?
> Ich denke, es muss etwas mit Eigenwerten und
> Eigenvektoren zu tun haben.
Bin mir nicht ganz sicher (die Matrix hatte was mit blauen und roten Pillen zu tun, oder =), aber 2 Matrizen, die die gleiche Jordannormalform haben, sind auf jeden Fall ähnlich.
[mm]Q^{-1}AQ=J=R^{-1}BR[/mm]
Daraus kann man sich ja ohne Probleme die gewünschte Eigenschaft oben basteln.
Wo ich mir nicht sicher bin, ist, ob diese Eigenschaft auch notwendig ist.
> Ich weiß jedoch nicht, wie ich bei der Berechnung genau
> vorgehen muss.
Eigenwerte bestimmen. Haben sie die gleichen EW mit den gleichen geometrischen Vielfachheiten, dann sind die beiden ähnlich. Dann Q und R und daraus T bestimmen. Vielleicht weiß ja irgendwer (angela? =) einen besseren Weg.
> Mir wäre schon mit einer skizzenähnlichen Beschreibung der
> Vorgehensweise geholfen.
>
> MfG barsch
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> Gegeben seien die Matrizen [mm]A,B\in\IR^{3x3}[/mm] mit
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 6 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] und [mm]B=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }[/mm]
>
> Gibt es eine Matrix [mm]T\in\R^{3x3}[/mm] mit [mm]T^{-1}*A*T=B?[/mm] Wenn,
> dann berechne T.
> Hi,
>
> nach Definition sind zwei Matrizen [mm]A,B\in\IR^{nxn}[/mm] ähnlich,
> wenn ein [mm]T\in\IR^{nxn},[/mm] T invertierbar, existiert
>
> mit [mm]T^{-1}*A*T=B.[/mm]
>
> Doch wie berechne ich T?
> Ich denke, es muss etwas mit Eigenwerten und
> Eigenvektoren zu tun haben.
>
> Ich weiß jedoch nicht, wie ich bei der Berechnung genau
> vorgehen muss.
Hallo,
bevor Du irgendetwas tust, sollstes Du nachschauen, ob beide Matrizen dieselbe Spur haben, sonst brauchst Du gar nicht anzufangen und kannst Dir folglich ggf. einiges an Arbeit sparen.
Aber so leicht hast Du's hier nicht, die Spuren sind ja gleich.
Mach es, wie Blech Dir sagt: zunächst Eigenwerte bestimmen, und die Eigenräume dazu, mehr brauchst Du hier dann auch nicht mehr zu tun...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mi 26.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich danke euch zwei.
Okay, bei den Matrizen muss die Spur gleich sein.
Wenn ich jetzt meine EW und EV und und
[mm] T^{-1}AT=J [/mm] und
[mm] S^{-1}BS=J [/mm] berechnet habe,
wie bringe ich das dann auf die
Form [mm] Q^{-1}AQ=B [/mm] ; weil das ist ja die Bedingung, das zwei Matrizen ähnlich sind.
Kann ich das so machen:
[mm] T^{-1}AT=J [/mm] und [mm] S^{-1}BS=J, [/mm] also
[mm] T^{-1}AT=S^{-1}BS, [/mm] umstellen: [mm] ST^{-1}ATS^{-1}=B
[/mm]
Und dann sage ich : [mm] Q:=TS^{-1} [/mm] und [mm] Q^{-1}:=(TS^{-1})^{-1}=ST^{-1} [/mm] ?
MfG barsch
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>
> Wenn ich jetzt meine EW und EV und und
>
> [mm]T^{-1}AT=J[/mm] und
>
> [mm]S^{-1}BS=J[/mm] berechnet habe,
>
> wie bringe ich das dann auf die
>
> Form [mm]Q^{-1}AQ=B[/mm] ; weil das ist ja die Bedingung, das zwei
> Matrizen ähnlich sind.
>
> Kann ich das so machen:
>
> [mm]T^{-1}AT=J[/mm] und [mm]S^{-1}BS=J,[/mm] also
>
> [mm]T^{-1}AT=S^{-1}BS,[/mm] umstellen: [mm]ST^{-1}ATS^{-1}=B[/mm]
>
> Und dann sage ich : [mm]Q:=TS^{-1}[/mm] und
> [mm]Q^{-1}:=(TS^{-1})^{-1}=ST^{-1}[/mm] ?
Ja, so kannst Du das machen.
FALLS es so eine Matrix J gibt, für welche das zutrifft.
Aber Du wirst sehen, daß das hier nicht der Fall ist.
Hast Du schon die Eigenwerte bestimmt? (Die müssen gleich sein. Sind sie.)
Die Eigenräume? (Sie müssen dieselbe Dimension haben. Haben sie nicht.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Mi 26.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die schnelle und gute Hilfe.
In erster Linie ging es mir hier darum, zu verstehen, wie ich zeigen kann, dass zwei Matrizen ähnlich sind. Ob jetzt A und B - in diesem Falle - ähnlich sind, habe ich bis jetzt noch nicht geprüft.
Wie ich Ähnlichkeit zweier Matrizen zeigen kann, weiß ich jetzt - jetzt werde ich mich mal an den zwei Matrizen versuchen. 
Danke.
MfG barsch
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