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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Di 12.01.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass alle Q-linearen Abbildungen [mm] \phi: \IQ^{2}\to \IQ^{2} [/mm] durch die Matrizen [mm] M:=\pmat{ m & 0 \\ 0 & m } [/mm] und [mm] P:=\pmat{ 0 & p \\ 1 & q } [/mm] mit m,p,q [mm] \in \IQ [/mm] beschrieben werden. |
Man soll irgendwie zeigen können, dass wenn die Abbildung nicht von P beschrieben wird, sie von einem Vielfachen der Einheitsmatrix (also M) beschrieben wird.
Ehrlich gesagt habe ich kaum Ahnung, wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Muss die Basis zu P irgendwie passend gewählt werden?
Sei [mm] B:=\{a,b\} [/mm] eine Basis von [mm] \IQ^{2}. [/mm] Muss ich mir angucken, was P hiermit macht? Oder mit den Linearkombinationen der Basis?
[mm] P*(\alpa*a+\beta*b)=\pmat{ 0 & p \\ 1 & q }*\vektor{\alpha*a_{1}+\beta*b_{1} \\ \alpha*a_{2}+\beta*b_{2}}=\vektor{\alpha*a_{2}+\beta*b_{2}\\ \alpha*p*a_{1}+\beta*p*b_{1}+\alpha*q*a_{2}+\beta*q*b_{2}}
[/mm]
Wie kann ich zeigen, dass dies alles beschreibt bis auf das, was von M beschrieben wird?
Ist es nicht so, dass ein Endomorphismus von [mm] \IQ^{2} [/mm] die allgemeine Form
[mm] (x,y)\mapsto [/mm] (a*x+b*y,c*x+d*y) hat?
Ich weiß absolut nicht, wie ich weitervorgehen soll, geschweige denn, ob mein bisheriger Ansatz überhaupt richtig ist.
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> Zeigen Sie, dass alle Q-linearen Abbildungen [mm]\phi: \IQ^{2}\to \IQ^{2}[/mm]
> durch die Matrizen [mm]M:=\pmat{ m & 0 \\ 0 & m }[/mm] und [mm]P:=\pmat{ 0 & p \\ 1 & q }[/mm]
> mit m,p,q [mm]\in \IQ[/mm] beschrieben werden.
> Man soll irgendwie zeigen können, dass wenn die Abbildung
> nicht von P beschrieben wird, sie von einem Vielfachen der
> Einheitsmatrix (also M) beschrieben wird.
> Ehrlich gesagt habe ich kaum Ahnung, wie ich an die Aufgabe
> herangehen soll. Muss die Basis zu P irgendwie passend
> gewählt werden?
Hallo,
ja.
Ich gehe davon aus, daß das Thema "Darstellungsmatrizen" prinzipiell klar ist.
Schauen wir uns P an.
Was erzählt uns die erste Spalte? Es gibt einen Vektor v, der nicht auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet wird.
Damit steht die Chose:
1. Fall:
es gibt einen Vektor v, der nicht auf ein Vielfaches von sich abgebildet wird.
Überlege Dir, daß v und f(v) in diesem Falle eine Basis sind, und daß die darstellende Matrix bzgl. dieser Basis P ist.
2.Fall:
jeder Vektor wird auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet.
Dann gilt das auch für die Basisvektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2.
[/mm]
Nun mußt Du Dir überlegen, warum sie auf dassselbe Vielfache abgebildet werden.
Gruß v. Angela
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