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| Aufgabe | Zwei Matrizen [mm]A,B \in M(nxn; K)[/mm] heißen ähnlich, wenn eine Matrix [mm]S \in GL(n;K)[/mm] existiert mit [mm]B = S * A * S^{-1}[/mm]. Zeige, dass [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }[/mm] und [mm]\pmat{ a' & 0 \\ 0 & b' }[/mm] genau dann ähnlich sind, wenn a, b und a', b' bis auf Reihenfolge
übereinstimmen. |
Hallo,
mein Ansatz war folgender:
[mm]B = S*A*S^{-1} \gdw B*S = S*A \gdw \pmat{ a & 0 \\ 0 & b }*\pmat{ c & d \\ e & f } = \pmat{ c & d \\ e & f }*\pmat{ a' & 0 \\ 0 & b' } \wedge c *f - d*e \not= 0[/mm]
[mm]\gdw[/mm] [mm]a*c = c*a'[/mm]
[mm] \wedge[/mm] [mm]a*d = d*b'[/mm]
[mm] \wedge[/mm] [mm]b*e = e*a'[/mm]
[mm] \wedge[/mm] [mm]b*f = f*b'[/mm]
[mm] \wedge[/mm] [mm]c*f - d*e \not= 0[/mm]
Naja... bisher scheint es so einigermaßen zu stimmen. Falls z.B. [mm]c=0[/mm], also [mm]a = a'[/mm]. Dann muss d und e ungleich 0 sein, aus welchen direkt folgen würde, dass [mm]a = b'[/mm] bzw. [mm]b = a'[/mm].
Jedoch schaffe ich es leider nicht von diesem Gleichungssystem umzuformen, dass so etwas da stehen würde:
Fall 1:
[mm]a = a' \wedge b = b'[/mm]
Fall 2:
[mm]a = b' \wedge b = a'[/mm]
Wie komme ich da weiter beim umformen oder habe ich noch etwas übersehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 So 01.02.2009 | | Autor: | alexwie |
Hi
Machs doch ganz schnell:
Ähnliche Matrizen haben doch bekanntlich die gleichen Eigenwerte(i.A. aber nicht die gleichen Eigenräume) . Bei einer Diagonalmatrix stehen die Eigenwerte in der diagonale. Damit also zwei Diagonalmatrizen die gleichen Eigenwerte haben müssen die gleichen einträge in der Diagonale stehen, wobei aber die Reihenfolge wurscht ist.
LG Alex
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Hallo,
vielen Dank schon mal für die Antwort. Klingt auch ganz gut, aber da gibt es ein Problem. Wir hatten Eigenwerte noch nicht in der Vorlesung und dürfen das deswegen auch nicht auf den Übungsblätter benutzen. Eigenraum dürfen wir auch nicht benutzen.
Gibt es keine andere Möglichkeit?
Mfg,
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 01.02.2009 | | Autor: | Fugre |
Hi Christoph,
Du hast die Aufgabe doch im Prinzip schon gelöst. Du kannst ja zwei Fälle unterscheiden.
Fall 1: [mm] c \vee f =0 [/mm]
[mm] a=b' \wedge a'=b [/mm]
Fall 2: [mm] d \vee e =0 [/mm]
[mm] a=a' \wedge b=b' [/mm]
Kurz noch die Argumentationskette aufschreiben und fertig.
Schöne Grüße
Nicolas
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Hallo,
danke für die Antwort. Genau da liegt mein Problem.
Das darf ich ja so nicht sagen? Laut meinen Gleichungen könnte man ja auch c,d,e,f so wählen:
[mm]c := 1[/mm]
[mm]d := 2[/mm]
[mm]f := 3[/mm]
[mm]e := 4[/mm]
Dann wäre [mm]c*f - d*e = 1*3 - 2*4 = -5 \not= 0[/mm].
Zudem wäre:
[mm]a*c = c*a' \gdw a * 1 = 1 * a' \gdw a = a'[/mm]
[mm]b*e = e*a' \gdw b*4 = 4*a' \gdw b = a'[/mm]
usw...
also [mm]a = a' = b = b'[/mm]
Ein Zahlenbeispiel zeigt auch:
[mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 3 } * \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } * \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }^{-1} = \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 }[/mm]
Aber:
[mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 3 } * \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 4 } * \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }^{-1} = \pmat{4.6 & -0.4 \\ 2.4 & 2.4 }[/mm]
Also fehlen noch Informationen im Gleichungssystem? Weil im Moment kann ich ja noch falsche Matrizen S daraus erzeugen? Aber was fehlt?
Mit freundlichen Grüßen,
Christoph Böhler
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> Hallo,
> danke für die Antwort. Genau da liegt mein Problem.
> Das darf ich ja so nicht sagen? Laut meinen Gleichungen
> könnte man ja auch c,d,e,f so wählen:
>
> [mm]c := 1[/mm]
> [mm]d := 2[/mm]
> [mm]f := 3[/mm]
> [mm]e := 4[/mm]
>
> Dann wäre [mm]c*f - d*e = 1*3 - 2*4 = -5 \not= 0[/mm].
>
> Zudem wäre:
> [mm]a*c = c*a' \gdw a * 1 = 1 * a' \gdw a = a'[/mm]
> [mm]b*e = e*a' \gdw b*4 = 4*a' \gdw b = a'[/mm]
>
> usw...
> also [mm]a = a' = b = b'[/mm]
>
>
> Ein Zahlenbeispiel zeigt auch:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 3 } * \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } * \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }^{-1} = \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 }[/mm]
>
> Aber:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 3 } * \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 4 } * \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }^{-1} = \pmat{4.6 & -0.4 \\ 2.4 & 2.4 }[/mm]
>
> Also fehlen noch Informationen im Gleichungssystem? Weil im
> Moment kann ich ja noch falsche Matrizen S daraus erzeugen?
> Aber was fehlt?
Hallo,
zunächst einmal hast Du versehentlich bei den ersten Matrizen unten die 3 und die 4 vertauscht. Das ist aber nur ein Nebenschauplatz.
Deine Aufgabe behauptet doch nicht, daß die zu [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] ähnlichen Matrizen auch wieder Diagonalmatrizen sind.
Sondern sie sagt: falls zwei Diagonalmatrizen ähnlich sind, dann haben sie bis auf Reihenfolge dieselben Einträge auf der Diagonalen.
Das Problem, welches Du siehst, gibt es also gar nicht.
Gruß v. Angela
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