Ähnlichkeit von Matrizen über verschiedenen Körpern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Meinen Gruß!
Also, diese Frage beschäftigt mich schon eine Weile. In Algebra 2 hat unser Prof. die Aussage ohne weitere Erläuterung genutzt und als ich kürzlich mal den Betreuer meiner Diplomarbeit ansprach, hatten wir viel Mühe (ca. 2 Stunden Arbeit), um das Ganze halbwegs zu beweisen. Aber vielleicht geht es auch leichter und wir haben etwas übersehen? Hat einer von euch eine Idee?
Das Problem:
Seien A und B beliebige quadratische Matrizen über einem Körper K. Sei L ein wiederum beliebiger Erweiterungskörper zu K. Angenommen A und B sind über K ähnlich, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix C (allerdings mit Einträgen in L), so dass AC = CB.
Behauptung: Dann sind A und B bereits über K ähnlich, das heißt also es gibt auch eine solche Matrix C' mit Einträgen in K.
Es ist klar, dass wenn A und B über L ähnlich sind, dann auch über jedem Erweiterungskörper von L, also kann man o.B.d.A. annehmen, dass L alg. abgeschlossen ist. Falls K selbst alg. abgeschlossen ist, dann ist man fertig, da beide Matrizen die gleiche Jordan-Form haben müssen.
Wenn man die Jordan-Chevalley Zerlegung in unipotenten und halbeinfachen Teil verwendet, dann kommt es nach viel Mühen hin - daher also die Frage: geht es vielleicht einfacher? Jeder Hinweis ist willkommen.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Gnometech
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Do 08.07.2004 | | Autor: | Gnometech |
Gruß Stefan!
So, es ist etwas Zeit verstrichen und ich konnte mich intensiver damit beschäftigen.
Für alle, die der Diskussion folgen wollen, Stefans Lösungsansatz zielte auf die sog. "rationale Normalform", die im Gegensatz zur Jordanschen Form immer existiert und in gewissem Rahmen (bis auf Permutation gewisser Kästchen) eindeutig ist. Wenn diese Form also über einem Erweiterungskörper übereinstimmt, dann erst recht über dem zugrundeliegenden Körper, da die Einträge aus k selbst sind.
Die Form war mir selbst unbekannt, deshalb hat es auch etwas gedauert bis ich mir das klargemacht hatte. ;)
Also, es sollen in jedem Kästchen 1en auf der unteren Nebendiagonalen stehen und in der letzten Spalte die Koeffizienten des char. Polynoms bis auf ein Vorzeichen.
Falls der Vektorraum zyklisch ist (also falls es ein v gibt, so dass v, f(v), ... V erzeugen), dann ist es klar, dass bezüglich dieser Basis die Form so angenommen wird und nach Cayley-HAmilton ist dann auch klar, warum in der letzten Spalte die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms stehen. Es folgt übrigens, dass das Minimalpolynom in diesem Fall auch gleich dem char. Polynom ist.
Es bleibt also zu zeigen, dass jeder Vektorraum in zyklische Untervektorräume zerfällt. Zu diesem Zweck kann man o.B.d.A. annehmen, dass das Minimalpolynom Potenz eines irreduziblen Polynoms f ist (sonst erhält man automatisch eine Zerlegung). Und es ist auch klar, dass ein Vektorraum zyklisch bzgl. eines Endomorphismus A ist genau dann, wenn er es für ein Element aus der A-Algebra über K ist.
Nun ist aber f(A) nilpotent und nilpotente Operatoren lassen sich über jeden Körper in Jordan-Form bringen - und in dieser sieht man die zyklischen Untervektorräume sofort. :)
Soweit meine Überlegungen... Eindeutigkeit fehlt natürlich noch, aber das dürfte analog zur Jordan-Form gehen.
Danke auf jeden Fall für den Hinweis!
Gnometech
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