Ähnlichkeits- DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL [mm] x^{3}+y^{3}-(3xy^{2})y^{,}=0. [/mm] Substituieren Sie dazu [mm] z=\bruch{y}{x}. [/mm] |
Liege Matheraum- Community,
es wäre sehr nett, wenn jemand mal über meinen Lösungsweg schauen könnte und mich ggf. auf etwaige Fehler aufmerksam machen würde, bzw. mir eventuell die Richtigkeit meines Ergebnisses bestätigen könnte. Für einen Tipp hinsichtlich des Aussehens der Lösung wäre ich auch dankbar. Vielen Dank im Voraus. Gruß,
Marcel
1.) Zurückführung auf eine DGL vom Typ [mm] y^{,}=f(x)g(x) [/mm] liefert:
[mm] y^{,}=\bruch{1}{3}(\bruch{y}{x}+\bruch{1}{(\bruch{y}{x})^{2}})
[/mm]
2.) Substitution:
[mm] z^{,}x+z=\bruch{1}{3}(z+\bruch{1}{z^{2}}) [/mm] =
[mm] z^{,}x=-\bruch{1}{3}(\bruch{2z^{3}+1}{z^{2}})
[/mm]
3.) Durch Trennung der Veränderlichen erhalten wir:
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{3z^{2}}{z^{3}+\bruch{1}{2}} dz}=-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
Integrationsregel [mm] \integral_{}^{}{\bruch{f^{,}(x)}{f(x)} dx}=ln|f(x)| [/mm] liefert:
[mm] y^{3}+x(\bruch{1}{2}x^{2}-c^{2})=0, [/mm] für [mm] c\in\IR
[/mm]
Die jeweiligen Rechenwege habe ich des Aufwands wegen mal weggelassen.
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL
> [mm]x^{3}+y^{3}-(3xy^{2})y^{,}=0.[/mm] Substituieren Sie dazu
> [mm]z=\bruch{y}{x}.[/mm]
> Liege Matheraum- Community,
>
> es wäre sehr nett, wenn jemand mal über meinen Lösungsweg
> schauen könnte und mich ggf. auf etwaige Fehler aufmerksam
> machen würde, bzw. mir eventuell die Richtigkeit meines
> Ergebnisses bestätigen könnte. Für einen Tipp hinsichtlich
> des Aussehens der Lösung wäre ich auch dankbar. Vielen Dank
> im Voraus. Gruß,
>
>
>
> Marcel
>
>
>
> 1.) Zurückführung auf eine DGL vom Typ [mm]y^{,}=f(x)g(x)[/mm]
> liefert:
>
>
> [mm]y^{,}=\bruch{1}{3}(\bruch{y}{x}+\bruch{1}{(\bruch{y}{x})^{2}})[/mm]
>
>
>
> 2.) Substitution:
>
>
> [mm]z^{,}x+z=\bruch{1}{3}(z+\bruch{1}{z^{2}})[/mm] =
>
>
> [mm]z^{,}x=-\bruch{1}{3}(\bruch{2z^{3}+1}{z^{2}})[/mm]
>
Hier hat wohl der Fehlerteufel zugeschlagen:
[mm]\blue{z^{,}x=}\bruch{\red{-}\blue{2z^{3}+1}}{\blue{3z^{2}}}[/mm]
>
>
> 3.) Durch Trennung der Veränderlichen erhalten wir:
>
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{3z^{2}}{z^{3}+\bruch{1}{2}} dz}=-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
>
> Integrationsregel [mm]\integral_{}^{}{\bruch{f^{,}(x)}{f(x)} dx}=ln|f(x)|[/mm]
> liefert:
>
>
> [mm]y^{3}+x(\bruch{1}{2}x^{2}-c^{2})=0,[/mm] für [mm]c\in\IR[/mm]
>
>
>
>
> Die jeweiligen Rechenwege habe ich des Aufwands wegen mal
> weggelassen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Den Vorzeichenfehler ausgenommen wäre die Lösung korrekt? Wie könnte man die Lösungsmenge bestimmen, bzw. graphisch darstellen?
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Den Vorzeichenfehler ausgenommen wäre die Lösung korrekt?
Dann ist die Lösung korrekt.
> Wie könnte man die Lösungsmenge bestimmen, bzw. graphisch
> darstellen?
Die Gleichung kann doch ohne Schwierigkeiten nach y aufgelöst werden.
Damit hast Du eine Funkion [mm]y=f\left(x\right)[/mm].
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Okay, vielen Dank noch einmal.
|
|
|
|
