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| Aufgabe | Bestimmen sie die Steigung der Tangente t und der Normalen n an den Graphen der Funktion f im Berührpunkt [mm] P_{0}
[/mm]
f(x)=X²-6x ; [mm] P_{0} [/mm] (0|0) |
Also... wir schreiben morgen die Arbeit und heute wollte ich noch einmal ein paar Aufgaben durchgehen und stehe nun da. Ich habe eine Liste der Ergebnisse, allerdings nicht die jeweiligen Rechenschritte. Wäre lieb von euch mir unter die Arme zu greifen.
also: [mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] \bruch{x²-6x-x_{0}²-6x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
nun komme ich allerdings nicht weiter... ich weiß nicht was ich machen, dass der Nenner im Grenzfall ( x --> [mm] x_{0}) [/mm] nicht 0 wird.
Wäre lieb mir zu helfen, auch Taschenrechnereingaben sind erlaubt.
Gruß Jenny
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Hallo jennifer2191!
> Bestimmen sie die Steigung der Tangente t und der Normalen
> n an den Graphen der Funktion f im Berührpunkt [mm]P_{0}[/mm]
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> f(x)=X²-6x ; [mm]P_{0}[/mm] (0|0)
> Also... wir schreiben morgen die Arbeit und heute wollte
> ich noch einmal ein paar Aufgaben durchgehen und stehe nun
> da. Ich habe eine Liste der Ergebnisse, allerdings nicht
> die jeweiligen Rechenschritte. Wäre lieb von euch mir unter
> die Arme zu greifen.
>
> also: [mm]\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm] =
> [mm]\bruch{x²-6x-x_{0}²-6x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
>
> nun komme ich allerdings nicht weiter... ich weiß nicht was
> ich machen, dass der Nenner im Grenzfall ( x --> [mm]x_{0})[/mm]
> nicht 0 wird.
Habt ihr die Ableitungsregeln wie z. B. die  Potenzregel noch nicht gehabt? Damit ginge es nämlich viel schneller...
Ansonsten müsstest du hier mal [mm] (x-x_0) [/mm] im Zähler ausklammern - schaffst du das?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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wenn ich das ausklammer, hab ich dann
[mm] \bruch{(x-x_{0}-6)*(x+x_{0})}{(x-x_{o})} [/mm] ?
kann ich dann [mm] x-x_{0} [/mm] kürzen und hätte damit dann
[mm] -6*(x+x_{0}) [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo Jennifer,
nene, so geht das nicht. Du darfst nicht aus der Summe kürzen!
Und vorher hast du dich auch schon vertan, beim Einsetzen. Da musst du unbedingt auf das Vorzeichen achten. Dazu am besten Klammern setzen, dann vertut man sich nicht so schnell mit dem Vorzeichen!
Also, es geht so:
[mm] $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{(x^2-6x)-(x_0^2-6x_0)}{x-x_0}=\frac{x^2-6x-x_0^2+6x_0}{x-x_0}$$
[/mm]
Wie Basiane schon sagte musst du dann am besten im Zähler (also oben) das ausklammern, was im Nenner steht (also [mm] $x-x_0$).
[/mm]
Dazu machst du wiederum am besten Polynomdivision, was zugegebener Weise nicht so einfach ist, bei all den x-en. Zu beachten ist dabei aber, dass nur das x ein wirkliches x ist. Das [mm] $x_0$ [/mm] behandeln wir wie eine feste Zahl. Dann kommt bei der Polynomdivision raus:
[mm] $$(x^2-6x-x_0^2+6x_0):(x-x_0) [/mm] = [mm] x+(-6+x_0)$$
[/mm]
Das heißt wiederum für deinen Differenzenquotient:
[mm] $$\frac{x^2-6x-x_0^2+6x_0}{x-x_0} [/mm] = [mm] \frac{(x-6+x_0)\cdot(x-x_0)}{x-x_0}$$
[/mm]
Jetzt kannst du den Faktor (keine Summe mehr) [mm] $(x-x_0)$ [/mm] aus dem Bruch raus kürzen und es bleibt insgesamt:
[mm] $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=x-6+x_0.$$
[/mm]
Wahrscheinlich betrachtet ihr dann den Grenzwert für [mm] $x\rightarrow x_0$. [/mm] Das kansnt du hier durch schlichtes Gleichsetzen erreichen, es steht dann einfach da: [mm] $2x_0-6$.
[/mm]
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
So Vorzeichenfehler sollten dir nicht mehr passieren, wenn ich mir an dieser Stelle diese Bemerkung erlauben darf ... (ich werd schon zu sehr zum Lehrer, oh weih ...  )
Mathematische Grüße,
Manatu
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vielen dank für eure hilfe...
kann nun mit einem guten gewissen ins bett undmorgen an die arbeit gehen.
bis dann schönen abend noch
jenny
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