Äq.relationen und Normalformen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:12 Do 12.02.2015 | | Autor: | eva4eva |
Hallo,
ich versuche mir eine Übersicht zu erstellen, aus welcher Äq.relationen (ÄR) und ihre Normalformen (NF) hervorgehen.
Wenn man das so überhaupt sagen kann.
Das Thema ist glaube ich sehr wichtig, darum bitte ich um Korrekturen und Erläuterungen! Ich komme nämlich noch sehr durcheinander. Danke!
Ich möchte Matrizen/lin.Abb. über IK in Relation setzen.
Gibt es denn zu JEDER Äq.relation eine Normalform?
1.
Zeilenäq. ist eine ÄR.
Die NF bzgl. dieser ÄR ist die Zeilenstufenform Treppennormalform
A~B<=>A,B haben dieselbe ZSF
(Ab hier geht es glaube ich nur noch um quadratische Matrizen: A,B,S; S inv.bar)
2.
Kongruenz ist eine ÄR.
A~B <=> [mm] \exists [/mm] S: [mm] S^{T}AS=B
[/mm]
Was wäre hier die Normalform? Oder gibt es spezifisch für diese ÄR keine solche, sondern eben jene für quadratische Matrizen?
Falls B diagonalisierbar ist, also ähnlich zu einer Diag.matrix, dann ist die Diagonalmatrix die NF. Kann man das so sagen?
Ist B nicht diagonalisierbar, dann ist B wenigstens ähnlich zu einer Jordan Normalform (JNF).
Kann man also sagen, dass die NF bzgl. Kongruenz entweder eine Diagonalmatrix oder eine JNF ist?
Mit Wikipedia merke ich gerade: "Im Spezialfall einer diagonalisierbaren Matrix ist die jordansche Normalform eine Diagonalmatrix."
Also würde ich sagen, dass die NF hier eine Diag.matrix ist - ob die Diag.einträge jetzt Eigenwerte oder Jordanblöcke sind, ist egal.
3.
Ähnlichkeit ist eine ÄR.
A~B <=> [mm] \exists [/mm] S: [mm] S^{-1}AS=B
[/mm]
Die NF ist wie bei Kongruenz, oder?
Nun gibt es ja zu Ähnlichkeit viele spezifische Fälle:
3a. Ähnlichkeit zweier quadrat. Matrizen
3b. Ähnlichkeit zweier nilpotenter Matrizen
3c. Ähnlichkeit zweier JNF
3d. ...
Sind auch hierzu alle NF'en Diag.matrizen, ggf. in JNF?
Noch etwas zu Bilinearformen: (kommt später...)
Vlt. verstehe ich da auch was falsch:
eine ÄR definiert, welche Elemente einer gegebenen "relationierten" Menge in dieselbe Ä-Klasse kommen. In jeder (oder nur in manchen?) gibt es "besonders aussehende" Matrizen: Die NF'en.
Z B sind A,B zeilenäquivalent, wenn sie dieselbe ZSF haben. D h in einer jeden diesbzglichen Ä-Klasse gibt es genau eine Matrix in Zeilenstufenform Treppennormalform.
Sorry, da ist sicherlich viel Quark dabei...!
Mit der Bitte um Erhellung! :)
Eva
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 14.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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