www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Relationen" - Äquiv,Ordnungsrelation
Äquiv,Ordnungsrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Relationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Äquiv,Ordnungsrelation: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Mi 06.02.2013
Autor: Coup

Aufgabe
Sei M eine Menge und P(M) die Potenzmenge von M.
Untersuche, ob  die Relation R c P(M) x P(M) , UTV [mm] \gdw [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] V
eine Äquivalenz oder Ordnungsrelation auf P(M) ist.

Hi !
Die Begriffe sind mir denke ich klar.
Um differenzieren zu können muss ich ja eigentlich nur schauen ob gegen Symmetrie oder Antisymmetrie verstoßen wird, da dies ja die einzigen Unterschiede bezüglich Ordnungs und Äquivalenzrelation sind oder ?

Also Transitivität ist ja ( sollte doch) :
Seien UTV [mm] \in [/mm] P(M)  [mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] T ^ T [mm] \subseteq [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] V

aber betrachte ich mir die Definition der Antisymmetrie von Ordnungsrelationen
gilt ja xRy^yRx [mm] \Rightarrow [/mm] x=y
Und hier sehe ich einen Widerspruch.
Die Relation kann Symmetrisch sein, denn xRy [mm] \gdw [/mm] yRx. U [mm] \subseteq [/mm] V und umgekehrt aber nicht antisymmetrisch.

Liege ich völlig daneben oder gehts in die richtige Richtung ?


lg
Micha

        
Bezug
Äquiv,Ordnungsrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Mi 06.02.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei M eine Menge und P(M) die Potenzmenge von M.
>  Untersuche, ob  die Relation R c P(M) x P(M) , UTV [mm]\gdw[/mm] U
> [mm]\subseteq[/mm] V

da steht sicher
$$U [mm] \; \red{\text{R}}\ \; [/mm] V [mm] \iff [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] V$$

>  eine Äquivalenz oder Ordnungsrelation auf P(M) ist.
>  Hi !
>  Die Begriffe sind mir denke ich klar.
>  Um differenzieren zu können muss ich ja eigentlich nur
> schauen ob gegen Symmetrie oder Antisymmetrie verstoßen
> wird, da dies ja die einzigen Unterschiede bezüglich
> Ordnungs und Äquivalenzrelation sind oder ?

Na, generell hast Du einfach Axiome nachzuprüfen! Ich kann Dir aber
schonmal sagen, dass es KEINE ÄR ist:
$X [mm] \subseteq [/mm] X$ gilt zwar für alle $X [mm] \in P(M)\,,$ [/mm] also ist [mm] $R\,$ [/mm] reflexiv.
Und auch die Transitivität folgt wegen

    [mm] $(\*)$ [/mm] $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ und $Y [mm] \subseteq [/mm] Z$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $X [mm] \subseteq Z\,.$ [/mm]

(Genauer: Wenn $X [mm] \text{ R }Y$ [/mm] gilt, d.h. wenn $X,Y [mm] \in [/mm] P(M)$ mit $X [mm] \subseteq [/mm] Y$
existieren, und wenn zudem $Y [mm] \text{ R }Z$ [/mm] gilt, d.h. wenn zudem ein $Z [mm] \in [/mm] P(M)$ mit $Y [mm] \subseteq [/mm] Z$
existiert, dann folgt auch $X [mm] \text{ R }Z$ [/mm] wegen $X [mm] \subseteq [/mm] Z$ gemäß [mm] $(\*)$!) [/mm]

Aber wie sieht's denn mit der Symmetrie aus, etwa wenn $M [mm] \not=\emptyset$: [/mm]
Sicherlich gilt dann doch [mm] $\emptyset \text{ R }M\,,$ [/mm] denn es gilt ja [mm] $\emptyset \subseteq M\,.$ [/mm]
Aber gilt auch $M [mm] \text{ R }\emptyset$? [/mm] (Beachte $M [mm] \not=\emptyset\,.$) [/mm]
  

> Also Transitivität ist ja ( sollte doch) :

Eigentlich habe ich das ja schon oben geschrieben, aber dann hier nochmal:

>  Seien UTV [mm]\in[/mm] P(M)  

Oo, bitte mitte Komma trennen: UTV würde man als $U [mm] \cdot [/mm] T [mm] \cdot [/mm] V$ lesen,
und dann wäre die Frage, wie [mm] $\cdot$ [/mm] definiert wäre (zudem sollte dann
die Assoziativität bzgl. des [mm] $\cdot$ [/mm] dabei gelten).

> [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\subseteq[/mm] T ^ T
> [mm]\subseteq[/mm] V

Vorsicht: Aus $U,T,V [mm] \in [/mm] P(M)$ folgt erst mal gar nichts, außer $U [mm] \subseteq [/mm] M, T [mm] \subseteq [/mm] M$ und $V [mm] \subseteq M\,.$ [/mm]
Die sollen nun zudem
$$U [mm] \text{ R }T$$ [/mm]
und
$$T [mm] \text{ R }V$$ [/mm]
erfüllen (das ist eine VORAUSSETZUNG!), und dann kannst Du so
weitermachen:

> [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\subseteq[/mm] T ^ T
> [mm]\subseteq[/mm] V

Das ^ kannst Du [mm] $\wedge$ [/mm] schreiben (fahr' mit der Maus über das Symbol!)

> [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\subseteq[/mm] V
>  
> aber betrachte ich mir die Definition der Antisymmetrie von
> Ordnungsrelationen
>  gilt ja xRy^yRx [mm]\Rightarrow[/mm] x=y
>  Und hier sehe ich einen Widerspruch.
>  Die Relation kann Symmetrisch sein, denn xRy [mm]\gdw[/mm] yRx. U
> [mm]\subseteq[/mm] V und umgekehrt aber nicht antisymmetrisch.
>
> Liege ich völlig daneben oder gehts in die richtige
> Richtung ?

Ich sehe da überhaupt keinen Widerspruch zur Antisymmetrie:
Sind $X,Y [mm] \in [/mm] P(M)$ derart, dass

    sowohl $X [mm] \text{ R }Y$ [/mm] als auch $Y [mm] \text{ R }X$ [/mm]

gilt, so gelten doch:

    $X [mm] \text{ R }Y \Rightarrow [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] Y$ und $Y [mm] \text{ R }X \Rightarrow [/mm] Y [mm] \subseteq X\,.$ [/mm]

Aus $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ und $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ (kurz: $X [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] X$) folgt dann aber [mm] $X=X\,.$ [/mm]

In der Tat gilt also

    $X [mm] \text{ R } [/mm] Y$ und $Y [mm] \text{ R }X$ $\Rightarrow$ $X=X\,.$ [/mm]

P.S. Man beacht übrigens die Unterschiede in der Definition - etwa beim Begriff der ÄR (Äquivalenzrelation) [mm] $\sim$ [/mm] auf einer Menge [mm] $M\,$: [/mm]
Bei der Refelexivität steht: Für alle $x [mm] \in [/mm] M$ muss $x [mm] \sim [/mm] x$ gelten!
Bei etwa der Transitivität steht: Falls $x,y,z [mm] \in [/mm] M$ SO EXISTIEREN, DASS
SOWOHL $x [mm] \sim [/mm] y$ ALS AUCH $y [mm] \sim [/mm] z$ gilt, dann muss $x [mm] \sim [/mm] z$ gelten!

So gibt's oft die Aufgabe: Was ist an folgender Überlegung falsch?
Aussage: Jede symmetrische und transitive Relation ist stets reflexiv.
Beweis: Aus $x [mm] \sim [/mm] y$ folgt wegen der Symmetrie $y [mm] \sim [/mm] x$ und damit wegen der
Transitivität $x [mm] \sim x\,.$ [/mm]

Die Überlegung ist richtig: Was ist aber das Entscheidende, was hierbei
nicht berücksichtigt wird - bzw. anders gefragt: Wieso ist der Beweis
"nicht vollständig zu Ende gedacht"?

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Äquiv,Ordnungsrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Mi 06.02.2013
Autor: Coup

Hi Marcel,
Danke für die umfassende Antwort.
In der alten Klausuraufgabe stand tatsächlich UTV.
Ich wusste nichtmehr genau, dass bzgl. der AntiSymmetrie gilt das wenn U [mm] \subseteq [/mm] V [mm] \wedge [/mm] V [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] U=V
Somit wird einiges klarer. Ich danke dir


> >So gibt's oft die Aufgabe: Was ist an folgender Überlegung falsch?
> >Aussage: Jede symmetrische und transitive Relation ist stets reflexiv.
> >Beweis: Aus  folgt wegen der Symmetrie  und damit wegen der
> >Transitivität  

Ich weis nicht genau..
Müsste nicht demnach automatisch sofern Reflexivität und Transitivität erfüllt ist auch die Symmetrie folgen ? Das MUSS ja nicht zwingen sein. Es kann ja auch Antisymmetrisch sein.

Bezug
                        
Bezug
Äquiv,Ordnungsrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Mi 06.02.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hi Marcel,
>  Danke für die umfassende Antwort.
>  In der alten Klausuraufgabe stand tatsächlich UTV.

das ist aber Quatsch, es sei denn, die Relation würde [mm] $T\,$ [/mm] heißen!

>  Ich wusste nichtmehr genau, dass bzgl. der AntiSymmetrie
> gilt das wenn U [mm]\subseteq[/mm] V [mm]\wedge[/mm] V [mm]\subseteq[/mm] U
> [mm]\Rightarrow[/mm] U=V

Wann sind denn zwei Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] gleich? Genau dann, wenn...?

> Somit wird einiges klarer. Ich danke dir
>
>
> > >So gibt's oft die Aufgabe: Was ist an folgender
> Überlegung falsch?
> > >Aussage: Jede symmetrische und transitive Relation ist
> stets reflexiv.
> > >Beweis: Aus  folgt wegen der Symmetrie  und damit wegen
> der
> > >Transitivität  
>
> Ich weis nicht genau..
>  Müsste nicht demnach automatisch sofern Reflexivität und
> Transitivität erfüllt ist auch die Symmetrie folgen ?

[haee] Wie sollte das denn gehen?

> Das
> MUSS ja nicht zwingen sein. Es kann ja auch Antisymmetrisch
> sein.

Was ist "es"? Und (zweistellige) Relationen können vieles sein, sonst bräuchte
man wohl nicht mehr als den Begriff der zweistelligen Relation.

Das SYMMETRISCHE und TRANSITIVE zweistellige Relationen nicht notwendig
schon reflexiv sein müssen, abgesehen von der Tatsache, dass man sich
auch ein Beispiel basteln kann, erkennt man, wenn man sich mal den
"Beweis" komplett hinschreibt, der oben geführt wurde.

Zu zeigen ist dort nämlich: Für ALLE $x [mm] \in [/mm] M$ gilt $x [mm] \sim x\,.$ [/mm]
Im Beweis wird aber nur gezeigt:
Wenn es $x,y [mm] \in [/mm] M$ so gibt, dass $x [mm] \sim y\,,$ [/mm] dann muss auch $x [mm] \sim [/mm] x$
gelten.

Dies' kann das "zu zeigende" nicht gänzlich bewiesen haben, weil es doch
durchaus auch ein $x [mm] \in M\,$ [/mm] geben kann, dass in [mm] $\sim$ [/mm] "nirgends auftaucht".
(Das ist jetzt 'grob formuliert'!)

Beispiel:
[mm] $M:=\{1,2,3\}$ [/mm] und [mm] $\sim:=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}$ [/mm]

Warum ist [mm] $\sim\,$ [/mm] sowohl symmetrisch als auch transitiv, aber KEINESWEGS reflexiv?

P.S. Beachte auch, dass man für $a,b [mm] \in [/mm] M$ notiert: $a [mm] \sim [/mm] b [mm] {\;\;\;:\!\! \iff} \;\;(a,b) \in \sim\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Äquiv,Ordnungsrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Mi 06.02.2013
Autor: Coup

Du hast ja das ALLE besonders hervorgehoben.
Demnach nehme ich an es bezieht sich auf die 3.
Also x [mm] \in [/mm] M als 3 taucht halt nicht in der Relation auf ?



Bezug
                                        
Bezug
Äquiv,Ordnungsrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Mi 06.02.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Du hast ja das ALLE besonders hervorgehoben.
>  Demnach nehme ich an es bezieht sich auf die 3.
>  Also x [mm]\in[/mm] M als 3 taucht halt nicht in der Relation auf
> ?

ich frage jetzt einfach mal anders: Welches Paar müßte denn in [mm] $M\,$ [/mm] noch
stehen, damit [mm] $M\,$ [/mm] (wenigstens) reflexiv wäre?

P.S. Was würdest Du übrigens zu folgender Behauptung sagen: Ist [mm] $\sim$ [/mm]
eine (zweistellige) Relation auf [mm] $M\,$ [/mm] derart, dass [mm] $\sim$ [/mm] sowohl symmetrisch
als auch transitiv ist und gilt zudem: Für alle $m [mm] \in [/mm] M$ gibt es ein $n [mm] \in [/mm] M$
so, dass $(m,n) [mm] \in \sim\,$ [/mm] (bzw. $m [mm] \sim [/mm] n$).

Dann gilt: [mm] $\sim$ [/mm] auch reflexiv,;also ist [mm] $\sim$ [/mm] eine ÄR.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Äquiv,Ordnungsrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Mi 06.02.2013
Autor: Coup

(3,3) würd ich sagen

Bezug
                                                        
Bezug
Äquiv,Ordnungsrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Mi 06.02.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> (3,3) würd ich sagen

genau. Und es gibt halt kein Paar $(a,b) [mm] \in \;\sim\;:=\,\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}$ [/mm]
so, dass [mm] $a=3\,$ [/mm] oder [mm] $b=3\,.$ [/mm] Hätte ich nun etwa $(3,1)$ in [mm] $\sim$ [/mm] noch
aufgenommen, dann hätte ich auch, wenn die Symmetrie erhalten bleiben
soll, [mm] $(1,3)\,$ [/mm] aufnehmen müssen, und wenn ich die Transitivität dann
erhalten will, müsste schlussendlich auch [mm] $(3,3)\,$ [/mm] aufgenommen werden
[mm] ($(1,1)\,$ [/mm] war ja eh schon vorhanden)...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Äquiv,Ordnungsrelation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:37 Mi 06.02.2013
Autor: Coup

Ich danke dir .
Mathenachhilfe online ist toll und du machst das super !


lg


Bezug
                                                                        
Bezug
Äquiv,Ordnungsrelation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:40 Mi 06.02.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich danke dir .
>  Mathenachhilfe online ist toll und du machst das super !

na dann mal: Danke für das Kompliment! :-)
( Ich freue mich übrigens auch immer, wenn man merkt, dass das, was man
erklärt hat, auch angekommen ist! :-) )

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Relationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de