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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 09.10.2012 | | Autor: | fire2 |
| Aufgabe | Es seien A und B zwei Mengen.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) A $ [mm] \cap [/mm] $ B = A
(ii) A $ [mm] \cup [/mm] $ B = B
(iii) A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B |
Hallo, ich brauche Hilfe, habe diese Aufgabe bekommen.. Jedoch verstehe ich nicht was ich machen soll.
Ich habe hierzu auch schon einen Artikel hier im Forum gelesen, (https://vorhilfe.de/read?t=602749) geholfen hat's aber nicht..
Ich meine verstanden zu haben, dass i) meint A ist in A und B, ii) meint B ist in mindestens einer der beiden Mengen und iii) meint, dass jedes Element aus A auch in B vorkommt. Ist dies soweit richtig?
Ich habe auch schon im Internet gesucht was: "Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind." bedeuten soll, bzw. von mir verlangt aber so richtig habe ich dazu nichts gefunden, stehe gerade irgendwie auf'm Schlauch..
Ich hoffe Ihr könnt mir erklären wie ich die Aufgabe am besten angehe. 
Liebe Grüße!
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo fire2 und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Es seien A und B zwei Mengen.
>
> Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
>
> (i) A [mm]\cap[/mm] B = A
> (ii) A [mm]\cup[/mm] B = B
> (iii) A [mm]\subseteq[/mm] B
> Hallo, ich brauche Hilfe, habe diese Aufgabe bekommen..
> Jedoch verstehe ich nicht was ich machen soll.
>
> Ich habe hierzu auch schon einen Artikel hier im Forum
> gelesen, (https://vorhilfe.de/read?t=602749)
> geholfen hat's aber nicht..
>
> Ich meine verstanden zu haben, dass i) meint A ist in A und
> B,
Aber nicht nur, das wäre die Aussage [mm]A\cap B\supseteq A[/mm]
Hier ist gemeint: [mm]A[/mm] ist Teilmenge von [mm]A\cap B[/mm] und [mm]A\cap B[/mm] ist Teilmenge von [mm]A[/mm]
> ii) meint B ist in mindestens einer der beiden Mengen
Nee
> und iii) meint, dass jedes Element aus A auch in B
> vorkommt.
Das stimmt!
> Ist dies soweit richtig?
Nicht so ganz! In (i) und (ii) hast du ja jeweils eine Gleichheit von Mengen
>
> Ich habe auch schon im Internet gesucht was: "Zeigen Sie,
> dass die folgenden Aussagen äquivalent sind." bedeuten
> soll, bzw. von mir verlangt aber so richtig habe ich dazu
> nichts gefunden, stehe gerade irgendwie auf'm Schlauch..
Nun, du musst nicht alle Äquivalenzen zeigen, sondern kannst einen sog. Ringschluss machen.
Zeige:
1) (i) [mm]\Rightarrow[/mm] (ii)
2) (ii) [mm]\Rightarrow[/mm] (iii)
3) (iii) [mm]\Rightarrow[/mm] (i)
>
> Ich hoffe Ihr könnt mir erklären wie ich die Aufgabe am
> besten angehe.
Ich zeige dir mal den Anfang von 3)
zu zeigen ist (iii) [mm]\red{\Rightarrow}[/mm] (i), also [mm](A\subseteq B) \ \red{\Rightarrow} \ (A\cap B=A)[/mm]
Voraussetzung ist also [mm]A\subseteq B[/mm], zeigen muss man [mm]A\cap B \ = \ A[/mm]
Also die Gleichheit der beiden Mengen [mm]A\cap B[/mm] und [mm]A[/mm]
Und Gleichheit von 2 Mengen kann man zeigen, indem man beide Teilmengenbeziehungen zeigt:
[mm]M=N[/mm] bedeutet [mm]M\subseteq N[/mm] und [mm]M\supseteq N[/mm]
Hier müssen wir also zeigen
a) [mm]A\cap B \ \subseteq A[/mm]
b) [mm]A\subseteq A\cap B[/mm]
zu a) Nehmen wir ein bel. [mm]x\in A\cap B[/mm] her, das heißt per Definition des Schnittes [mm]x\in A[/mm] und [mm]x\in B[/mm], also insbesondere [mm]x\in A[/mm]
Wir haben also gezeigt: [mm]x\in A\cap B \ \Rightarrow \ x\in A[/mm], dh. [mm]A\cap B\subseteq A[/mm] - das war a)
b) ist auch sehr einfach - probiere du das mal ...
So, ich hoffe, das war nicht zu sehr klein klein, sondern genau so, dass du nun starten kannst 
Hau rein!
Wenn es irgendwo klemmt, frage einfach nach ...
>
> Liebe Grüße!
>
> PS:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 09.10.2012 | | Autor: | fire2 |
> Hallo fire2 und erstmal herzlich ,
>
>
>
> > Es seien A und B zwei Mengen.
> >
> > Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
> >
> > (i) A [mm]\cap[/mm] B = A
> > (ii) A [mm]\cup[/mm] B = B
> > (iii) A [mm]\subseteq[/mm] B
> > Hallo, ich brauche Hilfe, habe diese Aufgabe bekommen..
> > Jedoch verstehe ich nicht was ich machen soll.
> >
> > Ich habe hierzu auch schon einen Artikel hier im Forum
> > gelesen, (https://vorhilfe.de/read?t=602749)
> > geholfen hat's aber nicht..
> >
> > Ich meine verstanden zu haben, dass i) meint A ist in A und
> > B,
>
> Aber nicht nur, das wäre die Aussage [mm]A\cap B\supseteq A[/mm]
>
> Hier ist gemeint: [mm]A[/mm] ist Teilmenge von [mm]A\cap B[/mm] und [mm]A\cap B[/mm]
> ist Teilmenge von [mm]A[/mm]
>
> > ii) meint B ist in mindestens einer der beiden Mengen
>
> Nee
>
> > und iii) meint, dass jedes Element aus A auch in B
> > vorkommt.
>
> Das stimmt!
>
> > Ist dies soweit richtig?
>
> Nicht so ganz! In (i) und (ii) hast du ja jeweils eine
> Gleichheit von Mengen
>
> >
> > Ich habe auch schon im Internet gesucht was: "Zeigen Sie,
> > dass die folgenden Aussagen äquivalent sind." bedeuten
> > soll, bzw. von mir verlangt aber so richtig habe ich dazu
> > nichts gefunden, stehe gerade irgendwie auf'm Schlauch..
>
> Nun, du musst nicht alle Äquivalenzen zeigen, sondern
> kannst einen sog. Ringschluss machen.
>
> Zeige:
>
> 1) (i) [mm]\Rightarrow[/mm] (ii)
>
> 2) (ii) [mm]\Rightarrow[/mm] (iii)
>
> 3) (iii) [mm]\Rightarrow[/mm] (i)
>
> >
> > Ich hoffe Ihr könnt mir erklären wie ich die Aufgabe am
> > besten angehe.
>
> Ich zeige dir mal den Anfang von 3)
>
> zu zeigen ist (iii) [mm]\red{\Rightarrow}[/mm] (i), also [mm](A\subseteq B) \ \red{\Rightarrow} \ (A\cap B=A)[/mm]
>
> Voraussetzung ist also [mm]A\subseteq B[/mm], zeigen muss man [mm]A\cap B \ = \ A[/mm]
>
> Also die Gleichheit der beiden Mengen [mm]A\cap B[/mm] und [mm]A[/mm]
>
> Und Gleichheit von 2 Mengen kann man zeigen, indem man
> beide Teilmengenbeziehungen zeigt:
>
> [mm]M=N[/mm] bedeutet [mm]M\subseteq N[/mm] und [mm]M\supseteq N[/mm]
>
> Hier müssen wir also zeigen
>
> a) [mm]A\cap B \ \subseteq A[/mm]
>
> b) [mm]A\subseteq A\cap B[/mm]
>
>
> zu a) Nehmen wir ein bel. [mm]x\in A\cap B[/mm] her, das heißt per
> Definition des Schnittes [mm]x\in A[/mm] und [mm]x\in B[/mm], also
> insbesondere [mm]x\in A[/mm]
>
> Wir haben also gezeigt: [mm]x\in A\cap B \ \Rightarrow \ x\in A[/mm],
> dh. [mm]A\cap B\subseteq A[/mm] - das war a)
>
> b) ist auch sehr einfach - probiere du das mal ...
>
>
> So, ich hoffe, das war nicht zu sehr klein klein, sondern
> genau so, dass du nun starten kannst
>
> Hau rein!
>
> Wenn es irgendwo klemmt, frage einfach nach ...
>
> >
> > Liebe Grüße!
> >
> > PS:
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Vielen Dank für deine Antwort!
Heißt es dann bei b) das wenn [mm] x\in A\subseteq A\s\ [/mm]
[mm] x\in [/mm] A ist und ebenfalls [mm] x\in [/mm] B ist, da [mm] A\cap [/mm] B ist?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für deine Antwort!
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> Heißt es dann bei b) das wenn [mm]x\in A\subseteq A\s\[/mm]
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> [mm]x\in[/mm] A ist und ebenfalls [mm]x\in[/mm] B ist, da [mm]A\cap[/mm] B ist?
Nein, es ist ja genau zu zeigen, dass [mm]x\in A\cap B[/mm] ist, das kannst du nicht als Begründung hernehmen.
Wir hatten als "oberste" Voraussetzung aus (iii), dass [mm]A\subseteq B[/mm]
Zeigen müssen wir in b), dass [mm]A\subseteq A\cap B[/mm] ist.
Wir müssen also zeigen, dass jedes [mm] $x\in [/mm] A$ gefälligst auch in [mm] $A\cap [/mm] B$ ist.
Nehmen wir dazu ein bel. [mm]x\in A[/mm] her, so ist wegen der "Generalvoraussetzung" [mm]A\subseteq B[/mm] dann eben auch [mm]x\in B[/mm]
Also [mm]x\in A[/mm] und [mm]x\in B[/mm], dh. [mm]x\in A\cap B[/mm]
Damit ist auch b) gezeigt.
Mit a) und b) folgt also die Gleichheit [mm]A\cap B \ \red{=} \ A[/mm]
Gruß
schachuzipus
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