Äquivalente Metriken < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe in meienr Vorlesung folgende Defintion für äuivalente Metriken:
X eine Menge, [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] metriken auf X. [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] sind äquivalent, falls die Identität [mm] id:(X,d_1)\to(X,d_2), id:(X,d_2)\to(X,d_1) [/mm] stetig sind.
Irgendwie kann ich mir unter dieser Definition nicht so wirklich was vorstellen. Was bedeutet es, wenn zwei Metriken äquivalent sind? Das mit der Stetigkeit der Identität verwirrt mich irgendwie...
Vielen Dank.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Di 21.06.2011 | | Autor: | Espe |
So wie ich das verstehe, ist damit Stetigkeit bzgl. der durch die Metrik induzierten Topologie gemeint. Eine Metrik definiert dir eine Topologie (via "offener Ball" bzg. dieser Metrik).
Stetig heißt ja : Urbilder offener Mengen sind offen. D.h. eine bezüglich der einen Metrik offene Menge muss als Urbild eine Menge haben, die bzgl. der anderen Metrik/topologie offen ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Di 21.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo,
> So wie ich das verstehe, ist damit Stetigkeit bzgl. der
> durch die Metrik induzierten Topologie gemeint. Eine Metrik
> definiert dir eine Topologie (via "offener Ball" bzg.
> dieser Metrik).
Hmm, als diese Definition der äquivalenten Metriken bei uns eingeführt wurde, hatten wir den Begriff einer Topologie noch gar nicht.
Hmm, habt ihr vielleicht mal ein Beispiel für zwei äquivalente Metriken? Vielleicht kann ich mir dann etwas darunter vorstellen.
Vielen Dank.
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Nadine!
> > So wie ich das verstehe, ist damit Stetigkeit bzgl. der
> > durch die Metrik induzierten Topologie gemeint. Eine Metrik
> > definiert dir eine Topologie (via "offener Ball" bzg.
> > dieser Metrik).
>
> Hmm, als diese Definition der äquivalenten Metriken bei
> uns eingeführt wurde, hatten wir den Begriff einer
> Topologie noch gar nicht.
>
> Hmm, habt ihr vielleicht mal ein Beispiel für zwei
> äquivalente Metriken? Vielleicht kann ich mir dann etwas
> darunter vorstellen.
Du kennst doch sicher die $p$-Normen: fuer $p [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty]$ [/mm] setze fuer $x = [mm] (x_1, \dots, x_n) \in \IR^n$ $\|x\|_p [/mm] := [mm] \biggl( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr)^{1/p}$; [/mm] fuer $p = [mm] \infty$ [/mm] ist [mm] $\|x\|_\infty [/mm] = [mm] \sup\{ |x_i| \mid i = 1, \dots, n \}$ [/mm] die Supremumsnorm, und fuer $p = 2$ hast du die bekannte Euklidische Norm.
Zu jeder $p$-Norm bekommst du eine Metrik [mm] $d_p$ [/mm] durch [mm] $d_p(x, [/mm] y) := [mm] \|x [/mm] - [mm] y\|_p$.
[/mm]
Wenn du jetzt zwei Zahlen $p, p' [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty]$ [/mm] nimmst, dann sind [mm] $d_p$ [/mm] und [mm] $d_{p'}$ [/mm] immer aequivalent.
Wenn du eine dazu nicht aequivalente Metrik sehen moechtest, kannst du z.B. die diskrete Metrik nehmen: $d(x, y) = [mm] \begin{cases} 1 & \text{falls } x \neq y, \\ 0 & \text{falls } x = y \end{cases}$
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Di 21.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Felix!
> Zu jeder [mm]p[/mm]-Norm bekommst du eine Metrik [mm]d_p[/mm] durch [mm]d_p(x, y) := \|x - y\|_p[/mm].
>
> Wenn du jetzt zwei Zahlen [mm]p, p' \in [1, \infty][/mm] nimmst,
> dann sind [mm]d_p[/mm] und [mm]d_{p'}[/mm] immer aequivalent.
Ich hab mal versucht, mir ein Beispiel zu machen. Ich nehm jetzt mal als Menge X den [mm] \IR^3 [/mm] , und für p nehme ich p=1 und p=2.
Dann habe ich [mm] d_1(x,y)=||x-y||_1=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+|x_3-y_3| [/mm] und [mm] d_2(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}
[/mm]
Wie sehe ich das jetzt, dass diese Metriken äquivalent sind? Ich müsste ja zeigen, dass [mm] (X,d_1)\to(X,d_2) [/mm] stetig ist und umgekehrt, oder? Also muss ich zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] finden, so dass [mm] d_1(x-x_0)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),f(x_0))=d_2(x,x_0)<\epsilon [/mm] [für Identität stetig in [mm] x_0, [/mm] und das ganze dann für alle Punkte der Identität]. Aber ich weiß nicht, wie ich das machen soll...
> Wenn du eine dazu nicht aequivalente Metrik sehen
> moechtest, kannst du z.B. die diskrete Metrik nehmen: [mm]d(x, y) = \begin{cases} 1 & \text{falls } x \neq y, \\
0 & \text{falls } x = y \end{cases}[/mm]
Und hier müsste ich dann zeigen, dass die Identitätsfunktion nicht stetig ist, oder? Wenn ich jetzt [mm] id:(X,d_2)\to(X,d) [/mm] nehme, reicht es schon, wenn ich sage, das es [mm] \epsilon [/mm] gibt, für die die Metrik der Funktionswerte [mm] d(f(x),f(x_0)) [/mm] mit [mm]x \not= x_0[/mm] nicht kleiner als [mm] \epsilon [/mm] ist, z.B. für [mm] \epsilon=1/2 [/mm] ? Also ist die Identität nicht stetig, und die Metriken [mm] d_2 [/mm] und d sind deshalb nicht äquivalent?
Vielen Dank.
LG Nadine
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Hallo Nadine!
>
> Hallo Felix!
>
>
>
> > Zu jeder [mm]p[/mm]-Norm bekommst du eine Metrik [mm]d_p[/mm] durch [mm]d_p(x, y) := \|x - y\|_p[/mm].
>
> >
> > Wenn du jetzt zwei Zahlen [mm]p, p' \in [1, \infty][/mm] nimmst,
> > dann sind [mm]d_p[/mm] und [mm]d_{p'}[/mm] immer aequivalent.
>
> Ich hab mal versucht, mir ein Beispiel zu machen. Ich nehm
> jetzt mal als Menge X den [mm]\IR^3[/mm] , und für p nehme ich p=1
> und p=2.
>
> Dann habe ich
> [mm]d_1(x,y)=||x-y||_1=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+|x_3-y_3|[/mm] und
> [mm]d_2(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}[/mm]
>
> Wie sehe ich das jetzt, dass diese Metriken äquivalent
> sind? Ich müsste ja zeigen, dass [mm](X,d_1)\to(X,d_2)[/mm] stetig
> ist und umgekehrt, oder? Also muss ich zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm]
> ein [mm]\delta>0[/mm] finden, so dass [mm]d_1(x-x_0)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),f(x_0))=d_2(x,x_0)
<\epsilon[/mm]
(Schreibfehler)
> [für Identität stetig in [mm]x_0,[/mm] und das ganze dann für
> alle Punkte der Identität]. Aber ich weiß nicht, wie ich
> das machen soll...
Abschätzen von [mm] $d_1(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ [/mm] und [mm] $d_2(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ [/mm] mit Hilfe von [mm] $\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\}$ [/mm]
für einen beliebigen aber festen Punkt [mm] $\mathbf{y}$.
[/mm]
>
>
>
> > Wenn du eine dazu nicht aequivalente Metrik sehen
> > moechtest, kannst du z.B. die diskrete Metrik nehmen: [mm]d(x, y) = \begin{cases} 1 & \text{falls } x \neq y, \\
0 & \text{falls } x = y \end{cases}[/mm]
>
> Und hier müsste ich dann zeigen, dass die
> Identitätsfunktion nicht stetig ist, oder? Wenn ich jetzt
> [mm]id:(X,d_2)\to(X,d)[/mm] nehme, reicht es schon, wenn ich sage,
> das es [mm]\epsilon[/mm] gibt, für die die Metrik der
> Funktionswerte [mm]d(f(x),f(x_0))[/mm] mit [mm]x \not= x_0[/mm] nicht kleiner
> als [mm]\epsilon[/mm] ist, z.B. für [mm]\epsilon=1/2[/mm] ? Also ist die
> Identität nicht stetig, und die Metriken [mm]d_2[/mm] und d sind
> deshalb nicht äquivalent?
Ja.
>
>
>
> Vielen Dank.
>
> LG Nadine
>
>
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > Wie sehe ich das jetzt, dass diese Metriken äquivalent
> > sind? Ich müsste ja zeigen, dass [mm](X,d_1)\to(X,d_2)[/mm] stetig
> > ist und umgekehrt, oder? Also muss ich zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm]
> > ein [mm]\delta>0[/mm] finden, so dass [mm]d_1(x-x_0)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),f(x_0))=d_2(x,x_0)
<\epsilon[/mm]
>
> (Schreibfehler)
Du meinst das Minuszeichen in [mm] d_1(x-x_0) [/mm] ?
> Abschätzen von [mm]d_1(\mathbf{x}, \mathbf{y})[/mm] und
> [mm]d_2(\mathbf{x}, \mathbf{y})[/mm] mit Hilfe von
> [mm]\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\}[/mm]
> für einen beliebigen aber festen Punkt [mm]\mathbf{y}[/mm].
Hmm, also wenn ich [mm] d_1(x,y) [/mm] durch [mm]\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\}[/mm] abschätze,
dann erhalte ich $ [mm] d_1(x,y)=||x-y||_1=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+|x_3-y_3| \ge \max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\}$
[/mm]
Bei der Wurzel bin ich mir nicht so sicher:
$ [mm] d_2(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2} \ge \sqrt{\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\}}$
[/mm]
Stimmt das so?
Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was mir diese Abschätzung bringen soll?
Wie komme ich überhaupt darauf, durch das Maximum abzuschätzen?
Vielen Dank.
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Do 07.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo!
>
>
>
> > > Wie sehe ich das jetzt, dass diese Metriken äquivalent
> > > sind? Ich müsste ja zeigen, dass [mm](X,d_1)\to(X,d_2)[/mm] stetig
> > > ist und umgekehrt, oder? Also muss ich zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm]
> > > ein [mm]\delta>0[/mm] finden, so dass [mm]d_1(x-x_0)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),f(x_0))=d_2(x,x_0)
<\epsilon[/mm]
> >
> > (Schreibfehler)
>
> Du meinst das Minuszeichen in [mm]d_1(x-x_0)[/mm] ?
>
>
>
> > Abschätzen von [mm]d_1(\mathbf{x}, \mathbf{y})[/mm] und
> > [mm]d_2(\mathbf{x}, \mathbf{y})[/mm] mit Hilfe von
> > [mm]\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\}[/mm]
> > für einen beliebigen aber festen Punkt [mm]\mathbf{y}[/mm].
>
> Hmm, also wenn ich [mm]d_1(x,y)[/mm] durch
> [mm]\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\}[/mm] abschätze,
>
> dann erhalte ich
> [mm]d_1(x,y)=||x-y||_1=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+|x_3-y_3| \ge \max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\}[/mm]
>
> Bei der Wurzel bin ich mir nicht so sicher:
>
> [mm]d_2(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2} \ge \sqrt{\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\}}[/mm]
>
> Stimmt das so?
> Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was mir diese Abschätzung
> bringen soll?
Du willst doch zeigen, dass aus
[mm] d_2(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2} <\delta [/mm]
folgt, dass
[mm]d_1(x,y)=||x-y||_1=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+|x_3-y_3|<\varepsilon [/mm],
und das für jedes vorgegebene [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
> Wie komme ich überhaupt darauf, durch das Maximum
> abzuschätzen?
Du musst erst einmal [mm] $d_1(x,y)$ [/mm] nach oben abschätzen:
[mm] d_1(x,y) \le 3 \max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\}[/mm] .
Und außerdem ist
[mm] \max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|, |x_3-y_3|\} \le \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2} = d_2(x,y)[/mm] .
Zusammen:
[mm] d_1(x,y) \le 3\, d_2(x,y) [/mm] .
Also gilt, dass [mm] $d_1(x,y)<\varepsilon$, [/mm] wenn [mm] $d_2(x,y)<\delta [/mm] = [mm] \varepsilon/3 [/mm] $ .
Jetzt kommst du und machst die andere Richtung 
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Di 21.06.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo zusammen!
>
> Ich habe in meienr Vorlesung folgende Defintion für
> äuivalente Metriken:
>
> X eine Menge, [mm]d_1[/mm] und [mm]d_2[/mm] metriken auf X. [mm]d_1[/mm] und [mm]d_2[/mm] sind
> äquivalent, falls die Identität [mm]id:(X,d_1)\to(X,d_2), id:(X,d_2)\to(X,d_1)[/mm]
> stetig sind.
>
> Irgendwie kann ich mir unter dieser Definition nicht so
> wirklich was vorstellen. Was bedeutet es, wenn zwei
> Metriken äquivalent sind? Das mit der Stetigkeit der
> Identität verwirrt mich irgendwie...
Wir nehmen an, [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] seien äquivalent.
Dann gilt z.B.
1. Für A [mm] \subseteq [/mm] X : A ist offen in [mm] (X,d_1) \gdw [/mm] A ist offen in [mm] (X,d_2)
[/mm]
2. Für eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in X: [mm] (x_n) [/mm] konvergiert in [mm] (X,d_1) \gdw (x_n) [/mm] konvergiert in [mm] (X,d_2)
[/mm]
etc.....
FRED
>
> Vielen Dank.
>
> LG Nadine
>
>
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