Äquivalenz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | Es sei M eine Menge und [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf M.
a)Zeige, dass die verschiedenen Äquivalenzklasen disjunkt sind.
b)Zeige, dass M in die disjunkte Vereinigung der Äquivklassen bzgl. [mm] \sim [/mm] fällt |
Ich definiere einfach mal 2 allgemeine ÄK:
R[a]= { [mm] b\in [/mm] M | a [mm] \sim [/mm] b }
R[c]= { [mm] d\in [/mm] M | c [mm] \sim [/mm] d }
zu a)
Behauptung: R[a] [mm] \cap [/mm] R[c] = {}
BEWEIS DURCH WIDERSPRUCH:
Annahme: R[a] [mm] \cap [/mm] R[c] [mm] \not= [/mm] {}
Sei x [mm] \in [/mm] (R[a] [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] R[c])
Dann würde nach Annahme gelten:
x [mm] \sim [/mm] a
x [mm] \sim [/mm] a= a [mm] \sim [/mm] x
x [mm] \sim [/mm] a [mm] \wedge [/mm] x [mm] \sim [/mm] c [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \sim [/mm] c
und
x [mm] \sim [/mm] d
x [mm] \sim [/mm] d= d [mm] \sim [/mm] x
x [mm] \sim [/mm] d [mm] \wedge [/mm] x [mm] \sim [/mm] c [mm] \Rightarrow [/mm] d [mm] \sim [/mm] c
____________________
aus den beiden Blöcken folgt
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \sim [/mm] c
also gilt ingesamt a [mm] \sim [/mm] b [mm] \sim [/mm] c [mm] \sim [/mm] d
[mm] \Rightarrow [/mm] R[a] [mm] \sim [/mm] R[b] und damit ist der Schnitt nichtleer
hier bin ich ja zukeinem Widersprcuh gekommen.... :(
was hab ich denn flasch gemacht?
kann mir jemand tipps zur b) geben?
Wäre für jede hilfe sehr dankbar!!!!
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Hallo,
das sieht doch schon einmal ganz ordentlich aus.
Wie schon das letzte Mal...
...das ist keine Algebra, das ist Mengentheorie.
greez@u
Tagesschau
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Kreide |
aus deiner Antwort bin ich echt schlauer geworden ;)
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> Es sei M eine Menge und [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf
> M.
> a)Zeige, dass die verschiedenen Äquivalenzklasen disjunkt
> sind.
> b)Zeige, dass M in die disjunkte Vereinigung der
> Äquivklassen bzgl. [mm]\sim[/mm] fällt
> Ich definiere einfach mal 2 allgemeine ÄK:
> R[a]= [mm] {b\inM | a \sim b }
[/mm]
> R[c]= { [mm] d\in [/mm] M | c [mm] \sim [/mm] d }
>
> zu a)
>
> Behauptung: R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] = {}
>
> BEWEIS DURCH WIDERSPRUCH:
> Annahme: R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] [mm]\not=[/mm] {}
>
> Sei x [mm]\in[/mm] (R[a] [mm]\cap[/mm] x [mm]\in[/mm] R[c])
>
> Dann würde nach Annahme gelten:
> x [mm]\sim[/mm] a
> x [mm]\sim[/mm] a= a [mm]\sim[/mm] x
> x [mm]\sim[/mm] a [mm]\wedge[/mm] x [mm]\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
>
> und
> x [mm]\sim[/mm] d
> x [mm]\sim[/mm] d= d [mm]\sim[/mm] x
> x [mm]\sim[/mm] d [mm]\wedge[/mm] x [mm]\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\sim[/mm] c
>
> ____________________
> aus den beiden Blöcken folgt
> [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
>
> also gilt ingesamt a [mm]\sim[/mm] b [mm]\sim[/mm] c [mm]\sim[/mm] d
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] R[a] [mm]\sim[/mm] R und damit ist der Schnitt
> nichtleer
>
> hier bin ich ja zukeinem Widersprcuh gekommen.... :(
> was hab ich denn flasch gemacht?
Hallo,
es irritiert mich, daß Du nun hier unten plötzlich ein b hast, ich dachte, Du redest über R[a] und R[c].
Daran liegt's aber nicht...
Daß Du keinen rechten Widerspruch erzeugst, liegt daran, daß Du beim Aufstellen der Behauptung etwas Wichtiges vergessen hast. Du schreibst:
>
> Behauptung: R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] = {}
>
Diese Behauptung stimmt so aber nicht.
Schau nochmal nach, was Du beweisen sollst:
> a)Zeige, dass die verschiedenen Äquivalenzklasen disjunkt
> sind.
Du hast die Voraussetzung, daß R[a] und R[b] verschieden sein sollen, schlichtweg unterschlagen, jedenfalls erkenne ich es nicht, daß Du das berücksichtigt hast.
Also muß Deine Behauptung lauten
Seine R[a] und R[c] verschieden.
Dann ist R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Dies mußt Du nun in Deinem Beweis, welcher durchaus schöne Ansätze enthält, berücksichtigen.
Starte so:
Seien R[a] und R[c] verschieden und sei R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] nichtleer.
Dies führe nun zu einem Widerspruch. Überlege Dir zunächst, was es bedeutet, daß die beiden Restklassen verschieden sind, denn das wirst Du benötigen.
In b) sollst Du zeigen, daß jedes Element von M in genau einer der Restklassen liegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Kreide |
> > Es sei M eine Menge und [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf
> > M.
> > a)Zeige, dass die verschiedenen Äquivalenzklasen
> disjunkt
> > sind.
> > b)Zeige, dass M in die disjunkte Vereinigung der
> > Äquivklassen bzgl. [mm]\sim[/mm] fällt
> > Ich definiere einfach mal 2 allgemeine ÄK:
> > R[a]= { [mm] b\in [/mm] M | a [mm] \sim [/mm] b }[/mm]
> > R[c]= { [mm] d\in [/mm] M | c [mm] \sim [/mm] d}
> >
> > zu a)
> >
> > Behauptung:
R[a] und R[c] sind verschieden , dann folgt
R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] = {}
> >
> > BEWEIS DURCH WIDERSPRUCH:
> > Annahme:
R[a] und R[c] sind verschieden , dann folgt
R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] [mm]\not=[/mm] {}
> >
> > Sei x [mm]\in[/mm] (R[a] [mm]\cap[/mm] x [mm]\in[/mm] R[c])
> >
> > Dann würde nach Annahme gelten:
> > x [mm]\sim[/mm] a
> > x [mm]\sim[/mm] a= a [mm]\sim[/mm] x
> > x [mm]\sim[/mm] a [mm]\wedge[/mm] x [mm]\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
> >
> > und
> > x [mm]\sim[/mm] d
> > x [mm]\sim[/mm] d= d [mm]\sim[/mm] x
> > x [mm]\sim[/mm] d [mm]\wedge[/mm] x [mm]\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\sim[/mm] c
> >
> > ____________________
> > aus den beiden Blöcken folgt
> > [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
> >
> > also gilt ingesamt a [mm]\sim[/mm] b [mm]\sim[/mm] c [mm]\sim[/mm] d
> >
[mm] \Rightarrow [/mm] R[a] und R[b] sind äquivalent zueinander,also gleich
Dies ist aber ein Widrspruch zur Annahme, dass R[a] und R [b] verschieden sein sollen
[mm] \Rightarrow [/mm] die Behauptung stimmt
> Hallo,
>
> es irritiert mich, daß Du nun hier unten plötzlich ein b
> hast, ich dachte, Du redest über R[a] und R[c].
> Daran liegt's aber nicht...
>
> Daß Du keinen rechten Widerspruch erzeugst, liegt daran,
> daß Du beim Aufstellen der Behauptung etwas Wichtiges
> vergessen hast. Du schreibst:
>
> >
> > Behauptung: R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] = {}
> >
>
> Diese Behauptung stimmt so aber nicht.
> Schau nochmal nach, was Du beweisen sollst:
>
> > a)Zeige, dass die verschiedenen Äquivalenzklasen disjunkt
> > sind.
>
> Du hast die Voraussetzung, daß R[a] und R verschieden sein
> sollen, schlichtweg unterschlagen, jedenfalls erkenne ich
> es nicht, daß Du das berücksichtigt hast.
ich hab doch R[a] und R[c] verschieden definiert?!?
> Seien R[a] und R[c] verschieden und sei R[a] [mm]\cap[/mm] R[c]
> nichtleer.
>
> Dies führe nun zu einem Widerspruch. Überlege Dir zunächst,
> was es bedeutet, daß die beiden Restklassen verschieden
meinst du wirklich Restklassen? oder etwa Äquivalenzklassen?!?
also wenn 2 Äk verschieden sind, dann dürfen a und c nicht äquivalent zueinander sein, wenn a und c verschiedenen Äquivalenklassen angehören...
> sind, denn das wirst Du benötigen.
>
> In b) sollst Du zeigen, daß jedes Element von M in genau
> einer der Restklassen liegt.
>
> Gruß v. Angela
>
>
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Hallo,
ich meine natürlich Äquivalenzklassen - Restklassen haben wir hier ja gar nicht.
(Allerdings sind die Restklassen ja gerade die Äuivalenzklassen bzgl. einer ganz speziellen Äquivalenzrelation, das ist vielleicht merkenswert...)
> ich hab doch R[a] und R[c] verschieden definiert?!?
Wieso?
Du hast geschrieben, daß in R[a] alle Elemente sind, die äquivalent zu a sind und in R[c] die, die äquivalent zu c sind. So sind Äquivalenzklassen nunmal definiert.
Über Verschiedenheit steht hier nichts:
> > > R[a]= { [mm] b\in [/mm] M | a [mm] \sim [/mm] b }
> > > R[c]= [mm] {d\in[/mm] M | c \sim d}
[/mm]
Du schreibst:
> also wenn 2 Äk verschieden sind, dann dürfen a und c nicht äquivalent zueinander sein, wenn a und > c verschiedenen Äquivalenklassen angehören...
Ja, wenn Ihr das bereits hattet (Hattet Ihr das wirklich schon? Du solltest Dich davon überzeugen.) kannst Du das verwenden.
Ich selbst würde die Sache eher so angehen, daß ich sage, wenn sie verschieden sind, gibt's ein Element, welches nicht in beiden Restklassenliegt.
> > > Es sei M eine Menge und [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf
> > > M.
> > > a)Zeige, dass die verschiedenen Äquivalenzklasen
> > disjunkt
> > > sind.
> > > b)Zeige, dass M in die disjunkte Vereinigung der
> > > Äquivklassen bzgl. [mm]\sim[/mm] fällt
> > > Ich definiere einfach mal 2 allgemeine ÄK:
> > > R[a]= { [mm] b\in [/mm] M | a [mm] \sim [/mm] b }[/mm]
> > > R[c]= { [mm] d\in [/mm] M | c [mm] \sim [/mm] d}
>
> > >
> > > zu a)
> > >
> > > Behauptung:
> R[a] und R[c] sind verschieden , dann folgt
> R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] = {}
> > >
> > > BEWEIS DURCH WIDERSPRUCH:
> > > Annahme:
> R[a] und R[c] sind verschieden ,
also ist a [mm] \not\sim [/mm] c.
> dann folgt
und es gilt
> R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] [mm]\not=[/mm] {}
> > >
> > > Sei x [mm]\in[/mm] (R[a] [mm]\cap[/mm] x [mm]\in[/mm] R[c])
> > >
> > > Dann würde nach Annahme gelten:
> > > x [mm]\sim[/mm] a
<==>
> > > a [mm]\sim[/mm] x
Nun wäre ein Hinweis auf die Transitivität fällig, fur x und dann ebenso.
> > > x [mm]\sim[/mm] a [mm]\wedge[/mm] x [mm]\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
Ja.
Und hier hast Du dann schon Deinen Widerspruch - wie gesagt kannst Du es so machen, wenn Ihr das mit den äquivalenten Elementen und den gleichen Restklassen schon hattet - ich bin mir nicht sicher, ob das so ist.
> > >
> > > und
> > > x [mm]\sim[/mm] d
Was soll das? Was soll das für ein d sein??? Wir haben kein d.
> > > x [mm]\sim[/mm] d= d [mm]\sim[/mm] x
> > > x [mm]\sim[/mm] d [mm]\wedge[/mm] x [mm]\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\sim[/mm] c
> > >
> > > ____________________
> > > aus den beiden Blöcken folgt
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
Das wissen wir doch schon aus Deinem ersten Block.
Ja.
> > >
> > > also gilt ingesamt a [mm]\sim[/mm] b [mm]\sim[/mm] c [mm]\sim[/mm] d
Es ist mir schleierhaft, was das b sein soll.
> > >
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] R[a] und R[b] sind äquivalent zueinander,also
Welches b?
Was meinst Du damit, daß R[a] und R[b] äquivalent sind?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Kreide |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> > > > R[a]= { [mm]b\in[/mm] M | a [mm]\sim[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
b }
> Ich selbst würde die Sache eher so angehen, daß ich sage,
> wenn sie verschieden sind, gibt's ein Element, welches
> nicht in beiden Restklassenliegt.
ok ;)
> > > > BEWEIS DURCH WIDERSPRUCH:
> > > > Annahme:
> > R[a] und R[c] sind verschieden ,
>
> also ist a [mm]\not\sim[/mm] c.
>
> > dann folgt
> und es gilt
> > R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] [mm]\not=[/mm] {}
> > > >
> > > > Sei x [mm]\in[/mm] (R[a] [mm]\cap[/mm] x [mm]\in[/mm] R[c])
> > > >
> > > > Dann würde nach Annahme gelten:
> > > > x [mm]\sim[/mm] a
> <==>
> > > > a [mm]\sim[/mm] x
>
> Nun wäre ein Hinweis auf die Transitivität fällig, fur x
> und ???? dann ebenso.
das wäre doch die Symmetrie
x [mm] \sim [/mm] a [mm] \gdw [/mm] a [mm]\sim[/mm] x
ich verstehe nicht so ganz, was du hier mit transitiviät meinst, vielleicht das hier..
wegen der Transitivität gilt:
x [mm]\sim[/mm] a [mm]\wedge[/mm] x [mm]\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
hierzu hab ich noch eine Frage, ich habe jetzt ja c gewählt, da [mm] c\in [/mm] R[b] (siehe meine Def oben) und da x [mm] \in [/mm] (R[a] [mm] \cap [/mm] R[c])
>
> Ja.
> Und hier hast Du dann schon Deinen Widerspruch - wie
> gesagt kannst Du es so machen, wenn Ihr das mit den
> äquivalenten Elementen und den gleichen Restklassen schon
> hattet - ich bin mir nicht sicher, ob das so ist.
>
>
>
> > > >
> > > > und
> > > > x [mm]\sim[/mm] d
>
> Was soll das? Was soll das für ein d sein??? Wir haben
> kein d.
[mm] d\in [/mm] R[b] oder nicht?
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>
> >
> > > > > [mm] R[a]=\{ b\in[M | a \sim b \}
[/mm]
[...]
> > Nun wäre ein Hinweis auf die Transitivität fällig, fur x
> ich verstehe nicht so ganz, was du hier mit transitiviät
> meinst, vielleicht das hier..
>
> wegen der Transitivität gilt:
> x [mm]\sim[/mm] a [mm]\wedge[/mm] x [mm]\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
Ja.
>
> hierzu hab ich noch eine Frage, ich habe jetzt ja c
> gewählt, da [mm]c\in[/mm] R[b] (siehe meine Def oben)
Ich sehe nicht, daß da ein R[b] definiert ist.
Ich sehe oben ein R[a].
Du machst mich noch verrückt mit Deinem b!!!
Ich seh's nicht!
Was soll das für ein Objekt sein, und welche Eigenschaften soll es haben?
> und da x [mm]\in[/mm] (R[a] [mm]\cap[/mm] R[c])
...ist was? ich sehe die Frage nicht...
> [mm]d\in[/mm] R[b] oder nicht?
Ömm - da ich nicht sehe, daß ein R[b] definiert ist, kann ich das nicht entscheiden.
Was soll denn d sein?
Gruß v. Angela
P.S.:
Du hast doch schon einiges richtiges dastehen gehabt.
Warum schreibst Du den Bewies jetzt nicht einmal richtig schön frisch auf, ohne irgendwelchen Überflüssigkeiten nachzuhängen?
Und noch etwas: war das dran mit der Gleichheit der Äquivalenzklassen von a und b, wenn a und b äquivalent sind? Hast Du Dich davon überzeugt?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Kreide |
[mm] R[a]=\{ b\in[M | a \sim b \}[/mm]
[/mm]
[mm] R[c]=\{ d\in[M | c \sim d \}[/mm]
[/mm]
Beh: R[a] und R[c] sind verschieden, dann gilt R[a] [mm] \cap [/mm] R[c] = {}
Annahme: R[a] und R[c] sind verschieden [mm] (\Rightarrow \notsim) [/mm] und es gilt R[a] [mm] \cap [/mm] R[c] [mm] \not= [/mm] {}
Sei x [mm] \in [/mm] R[a] [mm] \caup [/mm] R[c]
Dann gilt nach Annahme:
Reflexiviät: x [mm] \sim [/mm] x
Symmetrie [mm] x\sim [/mm] a [mm] \gdw [/mm] a [mm] \sim [/mm] x
Tran: [mm] x\sim [/mm] a [mm] \wedge x\sim [/mm] c [mm] \Rightarrow a\sim [/mm] c
Dies ist ein WId zur Annahme, da a und c verschieden sein sollen.
quod est demonstrandum ;)
> > hierzu hab ich noch eine Frage, ich habe jetzt ja c
> > gewählt, da [mm]c\in[/mm] R[c] (siehe meine Def oben) [/b]
>
sorry, ich meine R[c] ich hatte auf meinem Zettel irgendwie nen R[b] reingewurschtlet
>
> > da [mm]c\in[/mm] R[c] und da x [mm]\in[/mm] (R[a] [mm]\cap[/mm] R[c])
>
> ...ist was? ich sehe die Frage nicht...
ich auch nicht ;) ich war da etwas verwirrt, hat sich jetzt aber geklärt... ;)
> Und noch etwas: war das dran mit der Gleichheit der
> Äquivalenzklassen von a und b, wenn a und b äquivalent
> sind? Hast Du Dich davon überzeugt?
ich hab es mir nur logisch erschlossen:
Beh: R[a]=R[c] , wenn [mm] a\sim [/mm] c
[mm] R[a]=\{ b\in[M | a \sim b \}[/mm]
[/mm]
[mm] R[c]=\{ d\in[M | c \sim d \}[/mm]
[/mm]
[mm] a\sim [/mm] d und [mm] d\sim [/mm] c [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \sim [/mm] c, wegen der Transitiviät und der Symmetrie
Da [mm] a\sim [/mm] c ist, ist R[a] [mm] \sim [/mm] R[c] [mm] \Rightarrow [/mm] R[a]=R[c]
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> > Und noch etwas: war das dran mit der Gleichheit der
> > Äquivalenzklassen von a und b, wenn a und b äquivalent
> > sind? Hast Du Dich davon überzeugt?
>
> ich hab es mir nur logisch erschlossen:
Beh: R[a]=R[c] genau dann, wenn [mm]a\sim[/mm] c[/b]
Hallo,
wenn das so ist, und wenn Du den Beweis wirklich so führen möchtest, mußt Du den Beweis dieser Aussage dem Beweis Deiner HÜ voranstellen.
___
> Beh: R[a] und R[c] sind verschieden, dann gilt R[a] [mm]\cap[/mm]
> R[c] = {}
>
> Annahme: R[a] und R[c] sind verschieden [mm][/mm]
> und es gilt R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] [mm]\not=[/mm] {}
Da R[a] und R[c] verschieden, gilt ...
Und da x gleichzeitig in beiden liegt, gilt...
>
> Sei x [mm]\in[/mm] R[a] [mm]\caup[/mm] R[c]
> Dann gilt nach Annahme:
>
> Reflexiviät: x [mm]\sim[/mm] x
Überflüssig.
> Symmetrie [mm]x\sim[/mm] a [mm]\gdw[/mm] a [mm]\sim[/mm] x
> Tran: [mm]x\sim[/mm] a [mm]\wedge x\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow a\sim[/mm] c
>
> Dies ist ein WId zur Annahme, da a und c verschieden sein
> sollen.
???
Wie lautete die Annahme?????
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 09.12.2007 | | Autor: | Kreide |
> > > Und noch etwas: war das dran mit der Gleichheit der
> > > Äquivalenzklassen von a und b, wenn a und b
> äquivalent
> > > sind? Hast Du Dich davon überzeugt?
> >
> > ich hab es mir nur logisch erschlossen:
> Beh: R[a]=R[c] genau dann, wenn [mm]a\sim[/mm] c[/b]
>
> Hallo,
>
> wenn das so ist, und wenn Du den Beweis wirklich so führen
> möchtest, mußt Du den Beweis dieser Aussage dem Beweis
> Deiner HÜ voranstellen.
>
ok, da hast du schon recht ;)
war der Beweis, denn richtig geführt?
Hier ist er nochmla:
---------
Beh: R[a]=R[c] [mm] \gdw a\sim [/mm] c
[mm] R[a]=\{ b\in[M | a \sim b \}[/mm]
[/mm]
[mm] R[c]=\{ d\in[M | c \sim d \}[/mm]
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a [mm] \sim [/mm] d und [mm] d\sim [/mm] c [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \sim [/mm] c, wegen der Transitiviät und der Symmetrie
Da [mm] a\sim [/mm] c ist, ist R[a] [mm] \sim [/mm] R[c] [mm] \Rightarrow [/mm] R[a]=R[c]
qed
-------
> ___
>
> > Beh: R[a] und R[c] sind verschieden, dann gilt R[a] [mm]\cap[/mm]
> > R[c] = {}
> >
> > Annahme: R[a] und R[c] sind verschieden[mm][/mm]
> > und es gilt R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] [mm]\not=[/mm] {}
>
> Da R[a] und R[c] verschieden, gilt ...
>
> Und da x gleichzeitig in beiden liegt, gilt...
> >
> > Sei x [mm]\in[/mm] R[a] [mm]\caup[/mm] R[c]
> > Dann gilt nach Annahme:
> >
> > Reflexiviät: x [mm]\sim[/mm] x
> Überflüssig.
ok, wollte halt nur alle Eigenschaften der Äquivalenzrelation aufschreiben, der Vollständigkeit halber...
> > Symmetrie [mm]x\sim[/mm] a [mm]\gdw[/mm] a [mm]\sim[/mm] x
> > Tran: [mm]x\sim[/mm] a [mm]\wedge x\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow a\sim[/mm] c
> >
> >
> > sollen.
> ???
> Wie lautete die Annahme?????
>
Annahme: R[a] und R[c] sind verschieden ( [mm] \Rightarrow [/mm] a nicht [mm] \sim [/mm] c ) und es gilt R[a] [mm] \cap [/mm] R[c] [mm] \not= [/mm] {}
nun bekomme ich aber [mm] a\sim[/mm] [/mm] c,
in der Annahme wurde aber gesagt, dass R[a] und R[c] verschieden sein sollen, also, dass a nicht [mm] \sim [/mm] c gilt, das ist doch ein Widerspruch, oder?
> Gruß v. Angela
>
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> Beh: R[a]=R[c] [mm]\gdw a\sim[/mm] c
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> [mm]R[a]:=\{ b\in[M | a \sim b \}[/mm][/mm]
> [mm]R[c]:=\{ d\in[M | c \sim d \}[/mm][/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] a [mm]\sim[/mm] d
Hallo,
hier ist plötzlich schon wieder ein d, welches vom Himmel kommt und von dem kein Mensch weiß, was das soll.
Aber mir geht jetzt auch ein Licht auf, ich glaube nämlich, daß Du etwas nicht richtig verstanden hast.
Diese Schreibweise [mm] \{ d\in[M | c \sim d \} [/mm] bedeutet nichts anderes als "sämtliche Elemente aus M, die äquivalent sind zu c". Das hat mit einem Element nämens d nicht die Bohne was zu tun.
Du kannst solche Verwirrungen umgehen, indem Du für feste Elemente und Platzhalter verschiedene Buchstaben verwendest, z.B. [mm] R[c]:=\{ x\in[M | c \sim x \}. [/mm] Vielleicht hilft das ein wenig.
Ein weiterer - allgemeiner- Tip: ich habe den Eindruck, daß Du noch nicht völlig Herr bzw. Frau der Lage bist, und deshalb rate ich Dir, Äquivalenzbeweise getrennt für beide Richtungen durchzuführen und aufzuschreiben. Man verliert dann nicht so leicht den Überblick über Voraussetzung und Behauptung.
(Du hast es zwar nicht deutlich gemacht, aber Du hast bisher ja auch nur die Hin-Richtung gezeigt, und behauptest in Deinem Beweis auch nichts anderes.)
Ich habe oben aber trotz des mysteriösen d durchschaut, was Du mit d meinst. Es soll ein Element aus R[a] sein. Das muß aber irgendwo stehen.
Zuvor ist sicherzustellen, daß R[a] nicht leer ist.
Danach kannst Du Dir ein Element aus dieser Menge nehmen, begründen, warum es auch in der anderen liegt, und dann die Äquivalenz v. a und c folgern.
Danach versuche dann die Rückrichtung zu zeigen.
> Annahme: R[a] und R[c] sind verschieden ( [mm]\Rightarrow[/mm] a
> nicht [mm]\sim[/mm] c ) und es gilt R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] [mm]\not=[/mm] {}
>
> nun bekomme ich aber [mm]a\sim[/mm][/mm] c,
> in der Annahme wurde aber gesagt, dass R[a] und R[c]
> verschieden sein sollen, also, dass a nicht [mm]\sim[/mm] c gilt,
> das ist doch ein Widerspruch, oder?
Ja, und es ist gut, diesen Widerspruch deutlich herauszuarbeiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 09.12.2007 | | Autor: | Kreide |
oh danke Angela.... für deine ausführliche Erklärung... ab es jetzt verstanden, dass d nicht in R[a] drinne ist.... (außer ich schreibe es noch mal extra hin....)
Hab den Beweis jetzt noch mal hingeschrieben:
Vss:
R[a]={y [mm] \in [/mm] M | a [mm] \sim [/mm] y}
R[c]={x [mm] \in [/mm] M | c [mm] \sim [/mm] x}
d [mm] \in [/mm] R[a] [mm] \Rightarrow [/mm] R[a] [mm] \not= [/mm] {}
d [mm] \in [/mm] R[c] [mm] \Rightarrow [/mm] R[c] [mm] \not= [/mm] {}
Beh:
R[a]=R[c] [mm] \gdw [/mm] a [mm] \sim [/mm] c
------
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
a,d [mm] \in [/mm] R[a] c,d [mm] \in [/mm] R[c]
[mm] \Rightarrow a\sim [/mm] d und [mm] c\sim [/mm] d
[mm] \Rightarrow a\sim [/mm] c (Trans)
[mm] \Rightarrow [/mm] R[a] [mm] \sim [/mm] R[c]
[mm] \Rightarrow [/mm] R[a] = R[c]
-----
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
für diese Richtung muss ich mir noch was überlegen...;)
------
(Kann man nicht die ganzen Pfeile durch Äquivalenzpfeile ersätzen? Müsste doch gehen, dann brauch man die andere Richtung ja nicht mehr extra beweisen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> oh danke Angela.... für deine ausführliche Erklärung... ab
> es jetzt verstanden, dass d nicht in R[a] drinne ist....
Hallo,
das ist schonmal gut.
> (außer ich schreibe es noch mal extra hin....)
>
> Hab den Beweis jetzt noch mal hingeschrieben:
>
> Vss:
> R[a]={y [mm]\in[/mm] M | a [mm]\sim[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y}
> R[c]={x [mm]\in[/mm] M | c [mm]\sim[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x}
> d [mm]\in[/mm] R[a] [mm]\Rightarrow[/mm] R[a] [mm]\not=[/mm] {}
Hallo,
diese Aussage ist natürlich völlig klar. WENN d drin ist, ist die Menge nichtleer.
Damit weißt Du aber immer noch nicht, OB in R[a] ein Element drin ist, und darauf wollte ich Dich in einem der vorhergehenden Posts hinweisen.
Aber es ist sonnenklar, daß in R[a] ein Element ist. Warum denn??? Welches ist da unter Garantie drin?
> d [mm]\in[/mm] R[c] [mm]\Rightarrow[/mm] R[c] [mm]\not=[/mm] {}
>
> Beh:
> R[a]=R[c] [mm]\gdw[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
> ------
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
Bevor ich mir den Beweis anschaue, noch ein Tip - spare nie beim Schreiben.
Schreib nicht einfach [mm] "\Leftarrow", [/mm] sondern schreib':
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
Voraussetzung:
Zu zeigen:
Das ist - zumindest für mich - eine riesengroße Hilfe, und man lernt so etwas in der Art ja schon in der Grundschule, wo großer Wert auf die deutliche Formulierung von Frage, Rechnung, Antwort gelegt wird.
Wenn Du [mm] "\Leftarrow" [/mm] zeigen möchtest, willst Du also zeigen
[mm] a\sim [/mm] c ==> R[a]=R[c]
Voraussetzung: [mm] a\sim [/mm] c
zu zeigen: dann ist R[a]=R[c]
An dieser Stelle muß man darüber nachdenken, was eigentlich R[a]=R[c] bedeutet, bzw. was zu zeigen ist, wenn man zeigen möchte, daß die beiden Mengen gleich sind.
Es ist zu zeigen, daß jedes Element, welches in der einen Menge liegt, auch in der anderen liegt, also
i) [mm] R[a]\subseteq [/mm] R[c] und
ii) [mm] R[c]\subseteq [/mm] R[a].
Deutliche Ansätze dazu sehe ich in Deinem Beweis, aber so ganz korrekt ist das nicht ausgeführt, und meiner Meinung nach liegt das daran, daß Du Dir nicht kleinteilig genug überlegt hast, was zu zeigen ist.
Mein Rat: mach ganz langsam, es spart Dir eine Menge Zeit.
Beweise nun schön bedächtig i).
Starte so:
Sei [mm] d\in [/mm] R[a].
Und dann zeigst Du, warum dieses d zwingend auch in R[c] liegt, dazu kannst Du Ideen aus Deinem Beweis verwenden, es ist nicht alles grundverkehrt, was Du stehen hast.
Am Ende sollte "==> [mm] d\in [/mm] R[c]" dastehen.
Danach die ii), welche dasselbe in Grün ist.
> [mm]\Rightarrow[/mm] R[a] [mm]\sim[/mm] R[c]
Was soll das bedeuten? Wie ist das definiert?
Es bedeutet nichts. Es ist nicht definiert.
Denn [mm] \sim [/mm] ist doch keine Äquivalenzrelation zwischen Äquivalenzklassen!
> dann brauch man die andere
> Richtung ja nicht mehr extra beweisen?
Tu's nicht.
Beweis das fein säuberlich.
"==>"
Voraussetzung: R[a]=R[c]
zu zeigen: [mm] a\sim [/mm] c.
Es ist wegen ... [mm] a\in [/mm] R[a].
Da R[a]=R[c], ist [mm] a\in [/mm] ...
==> ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Kreide |
Vielen Dank für dein Antwort, ich habe mal meinen Beweis, an einpaar stellen verändert.
R[a] und R[c] hatte ich ja verschieden definiert und ich dachte, dass es dann ersichtlich sei, dass sie verschieden sind.....
> > Es sei M eine Menge und [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf
> > M.
> > a)Zeige, dass die verschiedenen Äquivalenzklasen
> disjunkt
> > sind.
> > b)Zeige, dass M in die disjunkte Vereinigung der
> > Äquivklassen bzgl. [mm]\sim[/mm] fällt
> > Ich definiere einfach mal 2 allgemeine ÄK:
> > R[a]= { [mm] b\in [/mm] M | a [mm] \sim [/mm] b }[/mm]
> > R[c]= { [mm] d\in [/mm] M | c [mm] \sim [/mm] d}
> >
> > zu a)
> >
> > Behauptung:
R[a] und R[c] sind verschieden , dann folgt
R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] = {}
> >
> > BEWEIS DURCH WIDERSPRUCH:
> > Annahme:
R[a] und R[c] sind verschieden , dann folgt
R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] [mm]\not=[/mm] {}
> >
> > Sei x [mm]\in[/mm] (R[a] [mm]\cap[/mm] x [mm]\in[/mm] R[c])
> >
> > Dann würde nach Annahme gelten:
> > x [mm]\sim[/mm] a
> > x [mm]\sim[/mm] a= a [mm]\sim[/mm] x
> > x [mm]\sim[/mm] a [mm]\wedge[/mm] x [mm]\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
> >
ich habe hier das c aus R[b] gewählt, da ja x [mm] \in [/mm] (R[a] [mm]\cap[/mm] x [mm]\in[/mm] R[c](!!!!!)) ist, bin mir aber nicht sicher, ob man dass dann so anwenden kann...
> > und
> > x [mm]\sim[/mm] d
> > x [mm]\sim[/mm] d= d [mm]\sim[/mm] x
> > x [mm]\sim[/mm] d [mm]\wedge[/mm] x [mm]\sim[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\sim[/mm] c
> >
> > ____________________
> > aus den beiden Blöcken folgt
> > [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] c
> >
> > also gilt ingesamt a [mm]\sim[/mm] b [mm]\sim[/mm] c [mm]\sim[/mm] d
> >
[mm] \Rightarrow [/mm] R[a] und R[b] sind äquivalent zueinander,also gleich
Dies ist aber ein Widrspruch zur Annahme, dass R[a] und R [b] verschieden sein sollen
[mm] \Rightarrow [/mm] die Behauptung stimmt
> Hallo,
>
> es irritiert mich, daß Du nun hier unten plötzlich ein b
> hast, ich dachte, Du redest über R[a] und R[c].
> Daran liegt's aber nicht...
>
> Daß Du keinen rechten Widerspruch erzeugst, liegt daran,
> daß Du beim Aufstellen der Behauptung etwas Wichtiges
> vergessen hast. Du schreibst:
>
> >
> > Behauptung: R[a] [mm]\cap[/mm] R[c] = {}
> >
>
> Diese Behauptung stimmt so aber nicht.
> Schau nochmal nach, was Du beweisen sollst:
>
> > a)Zeige, dass die verschiedenen Äquivalenzklasen disjunkt
> > sind.
>
> Du hast die Voraussetzung, daß R[a] und R verschieden sein
> sollen, schlichtweg unterschlagen, jedenfalls erkenne ich
> es nicht, daß Du das berücksichtigt hast.
ich hab doch R[a] und R[c] verschieden definiert?!?
> Seien R[a] und R[c] verschieden und sei R[a] [mm]\cap[/mm] R[c]
> nichtleer.
>
> Dies führe nun zu einem Widerspruch. Überlege Dir zunächst,
> was es bedeutet, daß die beiden Restklassen verschieden
meinst du wirklich Restklassen? oder etwa Äquivalenzklassen?!?
also wenn 2 Äk verschieden sind, dann dürfen a und c nicht äquivalent zueinander sein, wenn a und c verschiedenen Äquivalenklassen angehören...
> sind, denn das wirst Du benötigen.
>
> In b) sollst Du zeigen, daß jedes Element von M in genau
> einer der Restklassen liegt.
>
> Gruß v. Angela
>
>
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> ich habe hier das c aus R[b] gewählt,
Wir haben doch gar kein R[b] !!!
(Oder übersehe ich was?)
Und wenn wir kein R[b] haben, kannst Du nichts draus wählen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Kreide |
oups ich meinte R[c] und nicht R[b]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Kreide |
> In b) sollst Du zeigen, daß jedes Element von M in genau
> einer der Restklassen liegt.
wie würde man das denn mathematisch aufschreiben?
z.z. x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow x\in M_{i} [/mm] , i [mm] \in [/mm] I
oder
z.z. [mm] x\in \bigcup_{i=1}^{n}M_{i}
[/mm]
das wäre beidesmal ja falsch... x soll ja nur in einer (!) und nicht in allen Äquivalenzklasse liegen oder?
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> > In b) sollst Du zeigen, daß jedes Element von M in genau
> > einer der Restklassen liegt.
>
> wie würde man das denn mathematisch aufschreiben?
Du könntest das in zwei zu zeigende Behauptungen aufteilen.
A. [mm] x\in [/mm] M ==> es gibt ein [mm] a\in [/mm] M mit [mm] x\in [/mm] R[a]
B. Es gibt [mm] a,b\in [/mm] M mit [mm] x\in [/mm] R[a] und [mm] x\in [/mm] R[b] ==> R[a]=R[b]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 So 09.12.2007 | | Autor: | Kreide |
>
> A. [mm]x\in[/mm] M ==> es gibt ein [mm]a\in[/mm] M mit [mm]x\in[/mm] R[a]
>
irgendwie verstehe ich das nicht.... ich habe ein x in der Menge M.... wie kann ich daraus folgern, dass es auch ein Element a in dieser Menge M gibt?!?
müsste man nicht eher sagen
[mm]x\in[/mm] M und es gibt ein [mm]a\in[/mm] M [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x\in[/mm] R[a]?
> B. Es gibt [mm]a,b\in[/mm] M mit [mm]x\in[/mm] R[a] und [mm]x\in[/mm] R ==> R[a]=R
folgende Sachen sind also gegeben: 1) [mm] a,b\in [/mm] M 2) [mm] x\in [/mm] R[a] 3) [mm] x\in [/mm] R[b]
aus 2) folgt, [mm] x\sim [/mm] a
aus 3) folgt [mm] x\sim [/mm] b
aus diesen beiden Sachen folgt wegen der Transitiviät, dass [mm] a\sim [/mm] b gilt
[mm] \Rightarrow [/mm] R[a] [mm] \sim [/mm] R[b]
[mm] \Rightarrow [/mm] R[a] = R[b]
qed
>
> Gruß v. Angela
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> > A. [mm]x\in[/mm] M ==> es gibt ein [mm]a\in[/mm] M mit [mm]x\in[/mm] R[a]
> >
>
> irgendwie verstehe ich das nicht.... ich habe ein x in der
> Menge M.... wie kann ich daraus folgern, dass es auch ein
> Element a in dieser Menge M gibt?!?
Hallo,
tja, herauszufinden, wie das zu folgern ist, ist ja nun Dein Job.
Tip: es ist so einfach, daß man es fast vergißt.
Du hältst Dich zu sehr mit diesen Buchstaben auf, es gibt ein a, bedeutet doch nicht, daß Du ein Element namens a suchen sollst!
Es steht da übersetzt: zu jedem Element aus M findet man eins, in dessen Restklasse es liegt.
Nun such!
Gruß v. Angela
>
> müsste man nicht eher sagen
> [mm]x\in[/mm] M und es gibt ein [mm]a\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x\in[/mm] R[a]?
>
>
> > B. Es gibt [mm]a,b\in[/mm] M mit [mm]x\in[/mm] R[a] und [mm]x\in[/mm] R ==> R[a]=R
> folgende Sachen sind also gegeben: 1) [mm]a,b\in[/mm] M 2) [mm]x\in[/mm]
> R[a] 3) [mm]x\in[/mm] R
>
> aus 2) folgt, [mm]x\sim[/mm] a
> aus 3) folgt [mm]x\sim[/mm] b
>
> aus diesen beiden Sachen folgt wegen der Transitiviät, dass
> [mm]a\sim[/mm] b gilt
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] R[a] [mm]\sim[/mm] R
> [mm]\Rightarrow[/mm] R[a] = R
>
> qed
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> >
> > Gruß v. Angela
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