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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Mo 07.01.2008 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | [mm] f_1,...f_n \in \mathrm [/mm] C([a,b]) die linear unabhaengig sind und [mm] x_1,..x_n \in [/mm] [a,b].
Für gegebene Werte [mm] y_1,...,y_n \in \mathbb [/mm] R betrachten wir das Problem eine Funktion
[mm] f\in F_n:=\left\{\sum_{k=1}^n\lambda_k f_k | \lambda_k \in \mathbb R\right\}
[/mm]
zu finden, mit : [mm] f(x_k)=y_k [/mm] fuer k=1,...,n
Nun soll ich zeigen, dass äquivalent ist.
a) Fuer jede gegebene Menge von Werten [mm] y_k \in \mathbb [/mm] R ist das Problem eindeutig lösbar.
b) Jede [mm] Funktionf\in F_n [/mm] mit [mm] f(x_k)=0 [/mm] für k=1,...,n verschwindet identisch
c) Die Matrix [mm] (f_i (x_j))_{1\leq i,j \leq n} [/mm] ist regulär
Nun erstmal [latex] [mm] a)\Rightarrow [/mm] b)[/latex]
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Hi
Beweisart etc ist mir klar.
Wollte a.) [mm] \rightarrow [/mm] b.) [mm] \rightarrow c.)\righarrow [/mm] a.)
beweisen.
Komme aber gar nicht zurecht.
Auch schon a.) auf b.) ist mir unklar.
Muss ich da mit einer Interpolation argumentieren. Stehe wirklich im Dunkeln ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wenn Du von a) nach b) willst:
Gelte a). Sei $f [mm] \in F_n$ [/mm] mit [mm] $f(x_k)=0$ [/mm] für $k=1,...,n$. Wir betrachten dann [mm] $y_k:=0$ [/mm] für $k=1,...,n$. Offensichtlich ist dann $N(x) [mm] \equiv [/mm] 0$ eine Funktion in [mm] $F_n$ [/mm] (es ist $0 [mm] \equiv 0*f_1(x)+0*f_2(x)+...+0*f_n(x)$), [/mm] d.h. $N [mm] \in F_n$ [/mm] und es gilt zudem [mm] $N(x_k)=0=y_k$ [/mm] für $k=1,...,n$. Nach Voraussetzung ist das Problem insbesondere für diese Wahl der [mm] $y_k$ [/mm] eindeutig lösbar, also muss $f(x) [mm] \equiv [/mm] N(x)$ gelten (andernfalls wäre ja $f$ neben $N$ eine weitere Funktion in [mm] $F_n$, [/mm] die das Problem mit [mm] $y_1=...=y_n=0$ [/mm] löste im Widerspruch zur Voraussetzung a)), d.h. f verschwindet identisch.
Du wirst allerdings sicherlich bei gewissen Beweisschritten die lineare Unabhängigkeit der [mm] $f_1, [/mm] ..., [mm] f_n$ [/mm] benötigen, also wenn Dir irgendwas nicht gelingt, schaue halt nach, ob diese lineare Unabhängigkeit vll. in der Beweisrichtung benötigt wird...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 Mo 07.01.2008 | | Autor: | cutter |
ok den teil verstehe ich.danke
aber wie komme ich von einer funktion auf eine regulaere matrix?
ich glaube mir fehlt ein wenig die vorstellung der menge......
die unabhaengigkeit wird wohl von b.) auf c.) ins spiel kommen...sieht auf jeden fall so aus mit dem f(x)=0...
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:06 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
b) wird nun vorausgesetzt. Du hast dann zu zeigen, dass dann
[mm] $M:=\pmat{ f_1(x_1) & f_1(x_2) & ... & f_1(x_n) \\ ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ... \\ f_n(x_1) & f_n(x_2) & ... & f_n(x_n) }$ [/mm] invertierbar ist. Das kannst Du zeigen, indem Du zeigst, dass
[mm] $M^T=\pmat{ f_1(x_1) & f_1(x_2) & ... & f_1(x_n) \\ ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ... \\ f_n(x_1) & f_n(x_2) & ... & f_n(x_n) }^T=\pmat{ f_1(x_1) & f_2(x_1) & ... & f_n(x_1) \\ ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ... \\ f_1(x_n) & f_2(x_n) & ... & f_n(x_n) }$
[/mm]
invertierbar ist.
Wenn man nun $b) [mm] \Rightarrow [/mm] c)$ zeigt, indem man zeigt: Wenn c) nicht gilt, dann gilt b) nicht, so muss man ja davon ausgehen, dass die letzte Matrix nicht invertierbar sei und b) dann nicht gilt.
Wenn [mm] $M^T$ [/mm] nicht invertierbar ist:
Was heißt das denn für die Lösung der Gleichung
[mm] $M^T *\lambda=(0,...,0)^T$ [/mm] mit [mm] $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_n) \in \IR^n$, [/mm] also den Kern von [mm] $M^T$? [/mm] Wieso folgt dann, dass b) nicht gelten kann?
P.S.:
Ich bin mir auch gerade nicht ganz im klaren darüber, ob Du hier nicht in Wahrheit zeigen sollst, dass [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear unabhängig [mm] $\gdw$ [/mm] a) [mm] $\gdw$ [/mm] b) [mm] $\gdw$ [/mm] c. Denn bisher sehe ich eigentlich nicht, wo die lineare Unabhängigkeit der [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] benötigt wird. Wenn meine letzte Vermutung stimmt, dann ist die Aufgabe allerdings schlecht formuliert.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:17 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:25 Mo 07.01.2008 | | Autor: | cutter |
Ok
wenn die Matrix nicht invertierbar ist, dann ist der Kern nicht nur der 0 Vektor.
Das steht doch gerade im Widerspruch zu b.), da die [mm] f_i [/mm] unabhaengig sind?
Ist das korrekt?
Die Aufgabe ist wirklich so gestellt. In den Voraussetzungen steht die Unabhaengigkeit.
Falls es richtig ist, dann muss ich ja nun von der Matrix auf die Eindeutigkeit kommen.
Also gehe ich von der Matrix aus. Muss ich nicht wieder ein Gleichungssystem betrachten ?
Danke fuer die große Arbeit !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:35 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Ok
> wenn die Matrix nicht invertierbar ist, dann ist der Kern
> nicht nur der 0 Vektor.
> Das steht doch gerade im Widerspruch zu b.), da die [mm]f_i[/mm]
> unabhaengig sind?
>
> Ist das korrekt?
Hallo,
ja, ich habe mich da eben vertan.
Der Beweis
Nicht c) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht b)
benötigt doch in der Tat die lineare Unabhängigkeit der [mm] $f_1, [/mm] ... [mm] ,f_n$, [/mm] sonst erhält man keinen Widerspruch zu b).
Wenn die letzte Matrix nicht invertierbar ist, gibt es [mm] $\lambda_1, [/mm] ..., [mm] \lambda_n$ [/mm] nicht alle 0 mit
[mm] $\sum_{k=1}^n \lambda_k f_k(x_j)=0$ [/mm] für $j=1,...,n$.
Wegen der linearen Unabhängigkeit der [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] müssten aber doch alle [mm] $\lambda_k=0$ [/mm] sein.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:38 Mo 07.01.2008 | | Autor: | cutter |
Genau, das hab ich nun auch so verstanden.
Und wenn ich nun von der Matrix auf die Eindeutigkeit kommen moechte, dann betrachte ich das lineare Gleichungssystem und argumentiere da durch, ist das der richtige Weg?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:47 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Genau, das hab ich nun auch so verstanden.
>
> Und wenn ich nun von der Matrix auf die Eindeutigkeit
> kommen moechte, dann betrachte ich das lineare
> Gleichungssystem und argumentiere da durch, ist das der
> richtige Weg?
> Grüße
Hi,
ja, Gleichungssystem und Invertierbarkeit von [mm] $M^T$ [/mm] ist der richtige Weg. Mittlerweile habe ich das auch schon gepostet, leider ist es zweimal erschienen, weil zwischendurch die Meldung "interner Programmfehler" erschienen ist und mir nicht klar war, dass der Beitrag dennoch angekommen war.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:45 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
dort setzt Du nun c) voraus. Wenn nun [mm] $y_1, [/mm] ..., [mm] y_k$ [/mm] aus [mm] $\IR$ [/mm] vorgegeben sind, so hast Du doch nur zu zeigen:
Es gibt genau ein [mm] $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_n)^T \in \IR^n$ [/mm] so, dass $f(x) [mm] \equiv \sum_{k=1}^n \lambda_k f_k(x)$ [/mm] die einzige Lösung in [mm] $F_n$ [/mm] mit [mm] $f(x_k)=y_k$ [/mm] ($k=1,...,n$) ist.
Um das zu zeigen, brauchst Du Dir nur klarzumachen:
a) ist genau dann erfüllt, wenn mit der Matrix [mm] $M^T$ [/mm] aus obigem Post gilt, dass die Gleichung [mm] $M^T *\lambda=y$ [/mm] mit [mm] $y:=(y_1,...,y_n)^T$ [/mm] genau eine Lösung in [mm] $\lambda \in \IR^n$ [/mm] hat. Um das zu zeigen, benutzt Du, dass nun nach Voraussetzung $M$ und damit auch [mm] $M^T$ [/mm] invertierbar ist...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:45 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
dort setzt Du nun c) voraus. Wenn nun [mm] $y_1, [/mm] ..., [mm] y_k$ [/mm] aus [mm] $\IR$ [/mm] vorgegeben sind, so hast Du doch nur zu zeigen:
Es gibt genau ein [mm] $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_n)^T \in \IR^n$ [/mm] so, dass $f(x) [mm] \equiv \sum_{k=1}^n \lambda_k f_k(x)$ [/mm] die einzige Lösung in [mm] $F_n$ [/mm] mit [mm] $f(x_k)=y_k$ [/mm] ($k=1,...,n$) ist.
Um das zu zeigen, brauchst Du Dir nur klarzumachen:
a) ist genau dann erfüllt, wenn mit der Matrix [mm] $M^T$ [/mm] aus obigem Post gilt, dass die Gleichung [mm] $M^T *\lambda=y$ [/mm] mit [mm] $y:=(y_1,...,y_n)^T$ [/mm] genau eine Lösung in [mm] $\lambda \in \IR^n$ [/mm] hat. Um das zu zeigen, benutzt Du, dass nun nach Voraussetzung $M$ und damit auch [mm] $M^T$ [/mm] invertierbar ist...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:49 Mo 07.01.2008 | | Autor: | cutter |
Genau, und wenn die Matrix invertierbar ist, dann ist die Determinante ungleich 0 und somit ist das Gleichungssystem eideutig lösbar.
Richtig ? Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:55 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Genau, und wenn die Matrix invertierbar ist, dann ist die
> Determinante ungleich 0 und somit ist das Gleichungssystem
> eideutig lösbar.
>
> Richtig ? Grüße
Hallo,
ja, so kann man auch argumentieren. Ich würde es so machen ($M$ bzw. [mm] $M^T$ [/mm] wie in dem vorangegangenen Post):
Weil [mm] $(M^T)^{-1}$ [/mm] nach Voraussetzung existiert, ist [mm] $M^T *\lambda=y$ [/mm] in der Variablen [mm] $\lambda \in \IR^n$ [/mm] eindeutig lösbar, und die einzige Lösung ist gegeben durch
[mm] $\lambda:=(M^T)^{-1} [/mm] *y$
Und damit ist, wenn [mm] $\lambda_k$ [/mm] die $k-te$ Komponente von [mm] $\lambda$ [/mm] ist, daher dann mit
[mm] $f(x)=\sum_{k=1}^n \lambda_k f_k(x)$ [/mm] die Funktion $f$ die einzige Lösung aus [mm] $F_n$ [/mm] für das Problem [mm] $f(x_k)=y_k$ [/mm] ($k=1,...,n$).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:25 Mo 07.01.2008 | | Autor: | cutter |
Ich bedanke mich fuer die Hilfe . :)
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