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| Aufgabe | Zeigen Sie,dass für alle [mm] a,b,c\in\IR [/mm] mit a>0 gilt:
[mm] ax^{2}+2bx+c\ge0 [/mm] (bzw. > 0) [mm] \gdw b^{2}\le [/mm] ac (bzw. [mm] b^{2} |
Ich habe Probleme damit diese Äquivalenz zu beweisen,denn ich weiß nich wieso aus [mm] \ge [/mm] ein [mm] \le [/mm] werden kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie,dass für alle [mm]a,b,c\in\IR[/mm] mit a>0 gilt:
> [mm]ax^{2}+2bx+c\ge0[/mm] (bzw. > 0) [mm]\gdw b^{2}\le[/mm] ac (bzw.
> [mm]b^{2}
> Ich habe Probleme damit diese Äquivalenz zu beweisen,denn
> ich weiß nich wieso aus [mm]\ge[/mm] ein [mm]\le[/mm] werden kann.
na, Du hast zwei Richtungen zu zeigen:
Dazu vorneweg:
Die Universallvoraussetzungen sind hier, dass $a,b,c [mm] \in \IR$ [/mm] und $a > 0$ stets gilt.
Die hast nun eine [mm] $\gdw$-Aussage [/mm] zu zeigen. Das macht man (anfangs) besser, indem man die beiden Folgerungen einzeln zeigt:
[mm] '$\Rightarrow$': [/mm] Vorausgesetzt sei hier, dass [mm] $ax^2+2bx+c \ge [/mm] 0$ gelte. Zu zeigen ist: Dann muss [mm] $b^2 \le [/mm] ac$ sein.
[mm] '$\Leftarrow$': [/mm] Vorausgesetzt wird hier nun, dass [mm] $b^2 \le [/mm] ac$ gelte. Zu zeigen ist dann, das dann [mm] $ax^2+bx+c \ge [/mm] 0$ gilt.
Analoges hast Du dann auch mit $ > $ zu tun (oder Du überlegst Dir, dass sich alles genauso ausführen läßt, wenn man [mm] $\ge$ [/mm] durch $>$ ersetzt).
Allerdings stellt sich die Frage: was hat das [mm] $\black{x}$ [/mm] oben für eine Rolle?
Denn:
Wenn [mm] $ax^2+bx+c \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gelten würde, dann würde ich $x=0$ einsetzen und hätte als Konsequenz, dass $c [mm] \ge [/mm] 0$ gelten müsste. Das wäre aber von $b$ unabhängig... Also könnte ich durchaus $b$ so wählen, dass [mm] $b^2 [/mm] > [mm] ac\,.$ [/mm] (Zum Beispiel mit [mm] $b:=\text{max}\{a+1,c+1\}\,.$)
[/mm]
Also irgendwas kann an Deiner Aufgabenstellung nicht stimmen. Aber die Vorgehensweise solltest Du nun prinzipiell verstanden haben:
Wenn Du eine Äquivalenz $A [mm] \gdw [/mm] B$ zeigen sollst, zerlege es in zwei Folgerungen:
1. [mm] '$\Rightarrow$' [/mm] Setze $A$ voraus und zeige, dass dann auch $B$ gilt. (So zeigst Du die Folgerung $A [mm] \Rightarrow B\,.$)
[/mm]
2. [mm] '$\Leftarrow$' [/mm] Setze $B$ voraus und zeige, dass dann auch $A$ gilt.
(So zeigst Du die Folgerung $B [mm] \Rightarrow A\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Die Aufgabenstellung ist richtig. Ich sehe nur,dass ich vergessen habe für alle [mm] x\in\IR [/mm] hinzuschreiben. Das ich die beiden Richtungen zeigen muss,dass weiß ich,aber ich weiß nicht wie ich da anfangen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Aufgabenstellung ist richtig. Ich sehe nur,dass ich
> vergessen habe für alle [mm]x\in\IR[/mm] hinzuschreiben. Das ich die
> beiden Richtungen zeigen muss,dass weiß ich,aber ich weiß
> nicht wie ich da anfangen soll.
okay. Ich dachte es mir fast, dass Du das vergessen hast. Nun gut:
[mm] $$ax^2+2bx+c \ge [/mm] 0$$
[mm] $$\gdw a\left(\left(x+\frac{b}{a}\right)^2-\left(\frac{b^2}{a^2}\right)\right)+c \ge [/mm] 0$$
[mm] $$\gdw (\star)\;\;\;a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2 \ge \frac{b^2}{a}-c$$
[/mm]
sollte Dir helfen.
[mm] '$\Rightarrow$' [/mm] Setze hier in [mm] $(\star)$ $x:=-\frac{b}{a}$ [/mm] ein. (Du kannst es auch mal direkt in [mm] $ax^2+2bx+c \ge [/mm] 0$ einsetzen, wenn Du magst.)
[mm] '$\Leftarrow$': [/mm] Aus [mm] $b^2 \le [/mm] ac$ folgt (wegen $a > 0$) dann [mm] $\frac{b^2}{a}-c \le 0\,.$ [/mm] Zusammen mit [mm] $a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2 \ge [/mm] 0$ (beachte: es ist $a > [mm] \black{0}$ [/mm] und Quadratzahlen einer reellen Zahl sind stets [mm] $\ge [/mm] 0$) folgt dann [mm] $a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2 \ge \frac{b^2}{a}-c\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Und die Gleichung [mm] $ax^2+2bx+c \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] erkennt man, indem man von [mm] $(\star)$ [/mm] ausgehend von unten nach oben bei allen [mm] $\gdw$ [/mm] die zugehörigen Folgerungen [mm] $\Leftarrow$ [/mm] benutzt.
(Schreibe es ruhig mal anders auf, als ich es getan habe.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Do 06.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie,dass für alle [mm]a,b,c\in\IR[/mm] mit a>0 gilt:
> [mm]ax^{2}+2bx+c\ge0[/mm] (bzw. > 0) [mm]\gdw b^{2}\le[/mm] ac (bzw.
> [mm]b^{2}
Ich nehme an , links sollte stehen: $ [mm] ax^{2}+2bx+c\ge0 [/mm] $ für jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
> Ich habe Probleme damit diese Äquivalenz zu beweisen,denn
> ich weiß nich wieso aus [mm]\ge[/mm] ein [mm]\le[/mm] werden kann.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ein "anschaulicher" Beweis:
Nimm mal an, dass $ [mm] ax^{2}+2bx+c\ge0 [/mm] $ für jedes x [mm] \in \IR. [/mm] Dann heißt das: die Parabel mit der Gleichung
y= $ [mm] ax^{2}+2bx+c [/mm] $
hat eine oder keine Nullstelle. Nun bemühe mal die abc-Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen. Dann siehst Du: $ [mm] b^{2}\le [/mm] $ ac
Ist umgekehrt $ [mm] b^{2}\le [/mm] $ ac , so sieht man, wieder mit obiger Formel,:
die Gleichung 0= [mm] ax^{2}+2bx+c [/mm] hat eine oder keine Lösung, also hat obige Parabel eine oder keine Nullstelle. Da a>0, ist diese Parabel nach oben geöffnet, verläuft also oberhalb der x-Achse, somit [mm] ax^{2}+2bx+c \ge [/mm] 0 für jedes x.
FRED
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