Äquivalenz folgender Aussagen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Do 28.10.2010 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | zwei mengen A,B und eine abbildung f:A->B gegeben.
wir definieren im(f):=f(A)={y aus [mm] B:\exists [/mm] x aus A mit f(x)=y}
zeigen sie dass 6 der folgenden aussagen äquivalent sind (eine ist es nicht,welche?):
a) f ist injektiv
b) für alle C [mm] \subset [/mm] A gilt f^-1(f(C))=C
c) für alle C,D [mm] \subset [/mm] A gilt f(C [mm] \cap [/mm] D)= f(C) [mm] \cap [/mm] f(D)
d) für alle C,D [mm] \subset [/mm] A mit C [mm] \cap [/mm] D = leere menge gilt [mm] f(C)\cap [/mm] f(D)= leere menge
e) für alle mengen C,D mit C [mm] \subset [/mm] D [mm] \subset [/mm] A gilt f(D außer C)=f(D) außer f(C)
f) es gibt eine abbildung g: im(f)->A mit f [mm] \circ [/mm] g=Id imf(ist der Index zu Id)
g) es gibt eine abbildung g: im(f)->A mit g [mm] \circ [/mm] f=Id A(wieder der Index |
Kann mir da jemand helfen, ich komm da leider auf keinen grünen Zweig..ist grad mein zweites übungsblatt in mathe und ist alles verdammt lang her oder noch nie gehört :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> zwei mengen A,B und eine abbildung f:A->B gegeben.
> wir definieren im(f):=f(A)={y aus [mm]B:\exists[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x aus A mit
> f(x)=y}
> zeigen sie dass 6 der folgenden aussagen äquivalent sind
> (eine ist es nicht,welche?):
> a) f ist injektiv
> b) für alle C [mm]\subset[/mm] A gilt f^-1(f(C))=C
> c) für alle C,D [mm]\subset[/mm] A gilt f(C [mm]\cap[/mm] D)= f(C) [mm]\cap[/mm]
> f(D)
> d) für alle C,D [mm]\subset[/mm] A mit C [mm]\cap[/mm] D = leere menge gilt
> [mm]f(C)\cap[/mm] f(D)= leere menge
> e) für alle mengen C,D mit C [mm]\subset[/mm] D [mm]\subset[/mm] A gilt f(D
> außer C)=f(D) außer f(C)
> f) es gibt eine abbildung g: im(f)->A mit f [mm]\circ[/mm] g=Id
> imf(ist der Index zu Id)
> g) es gibt eine abbildung g: im(f)->A mit g [mm]\circ[/mm] f=Id
> A(wieder der Index
> Kann mir da jemand helfen, ich komm da leider auf keinen
> grünen Zweig..
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> ist grad mein zweites übungsblatt in mathe
> und ist alles verdammt lang her
Ja, wenn man als Senior zu studieren beginnt, hat man bestimmt vieles vergessen.
> oder noch nie gehört :(
Eine Vorlesung besuchtst Du?
Ein wenig Mengenlehre war dort bestimmt dran, und ich kann mir nicht vorstellen, daß "injektiv" und das Urbild nicht definiert wurde.
Beachte bitte, daß wir uns lt. Forenregeln von Dir Lösungsansätze bzw. konkrete Fragen wünschen.
Wir beginnen mal damit, die Aussagen
> a) f ist injektiv
> b) für alle C [mm] $\subset$ [/mm] A gilt f^-1(f(C))=C
zu betrachten, deren Äquivalenz Du zeigen oder widerlegen sollst.
Da Du offenbar große Schwierigkeiten hast, beginnen wir mal damit, daß Du Dir eine injektive Funktion, welche von [mm] \{1,2\}\to \{a,b,c\} [/mm] abbildet, ausdenkst.
Also
f(1):=
f(2):=
Nun prüfe mal für alle Teilmengen von [mm] \{1,2\} [/mm] ob die Aussage b) hier gilt.
Beweiskraft hat dies nicht, es dient "bloß" dazu, die Aufgabe besser zu verstehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Do 28.10.2010 | | Autor: | tmili |
hey...
ja ich besuche die vorlesung : lineare algebra 1
und auch wenn man sich das nicht vorstellen kann (deshalb bin ich auch etwas verstört) haben wir das thema funktionen einfach mal außen vorgelassen und uns wurde gesagt das ist doch ganz einfach.
hatten auch erst 3 vorlesungen bei denen es lediglich um das gaußsche eliminationsverfahren und allgemein um lgs ging^^
was injektiv ist hab ich auch mittlerweile rausgefunden, zum beispiel eine funktion : [mm] f(x)=x^2 [/mm] von R+ -> R
das ist auch vollkommen logisch, und wenn die voraussetzung, die ja wäre dass f auch surjektiv ist, gilt dann wäre f bijektiv und somit gäbe es eine umkehrfunktion.
soweit ist bei den ersten beiden alles klar.
auch klar ist dass sich die verkettung der umkehrfunktion und der funktion auflöst und somit C als ergebnis rauskommt sowohl klar ist dass es diesen beweis aber geben muss weil er mir rein logisch schon klar vorkommt. mir fehlt hier nur die logische schlussfolgerung bzw der konkrete beweis, da ich die überleitung von einem auf das andere nicht finde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Do 28.10.2010 | | Autor: | tmili |
habs mir jetzt grad noch mal ausführlich angeschaut.
kann es sein, dass man von (i) auf (ii),(vi) und (vii) fast ähnlich schlussfolgern kann?
bei den letzen beiden steht g doch auch für die umkehrfunktion oder deute ich das falsch?
kann man sagen :
da f injektiv ist und durch vorraussetzung zudem surjektiv, ist f bijetkiv und somit existiert eine umkehrfunktion f^-1 bzw g
[ [mm] \Rightarrow [/mm] f^-1=g : B -> A , da f: A -> B
[mm] \Rightarrow [/mm] f^-1(f(C)=C , da die verkettung der umkehrfunktion mit der funktion sich auflöst und C [mm] \subset [/mm] A ist beweis für (ii)]
[ [mm] \Rightarrow [/mm] f^-1=g: im(f) -> A
[mm] \Rightarrow [/mm] g: B -> A
[mm] \Rightarrow [/mm] f(g(b))=b
[mm] \Rightarrow f\circ [/mm] g=Id imf(wieder der index) Beweis für (vi)]
[mm] [\Rightarrow [/mm] f^-1=g: im (f) -> A
[mm] \Rightarrow [/mm] g: B->A
[mm] \Rightarrow [/mm] g(f(a))=a
[mm] \Rightarrow g\circ [/mm] f=Id A (index) Beweis für (vii)]
ist da etwas richtig dran?vielen lieben dank shconmal für eure hilfe!!
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> habs mir jetzt grad noch mal ausführlich angeschaut.
> kann es sein, dass man von (i) auf (ii),(vi) und (vii)
> fast ähnlich schlussfolgern kann?
Hallo,
es kommt natürlich immer darauf an, was man als "ähnlich" empfindet - und darauf, was Du mit (i),(ii),(vi) und (vii) meinst...
> bei den letzen beiden steht g doch auch für die
> umkehrfunktion oder deute ich das falsch?
Du deutest das falsch.
Eine Umkehrfunktion von f müßte ja aus der B in die Menge A abilden, und es müßte [mm] g\circ f=id_A [/mm] und [mm] f\circ g=id_B [/mm] gleichzeitig gelten.
Davon ist aber in den beiden Aussagen nicht die Rede, sondern von der Existenz einer Funktion g, welche von im f (anders geschrieben: f(A) ) in die Menge A abbildet.
> kann man sagen :
> da f injektiv ist und durch vorraussetzung zudem
> surjektiv,
Nein, denn diese Voraussetzung ist nirgends gemacht.
Es sind ja nun 7 Aussagen aufgeschrieben, von denen 6 äquivalent sind.
bevor jetzt irgendetwas anderes geschieht, würde ich erstmal schauen,
welche Aussage nicht äquivalent zu den anderen ist.
Es ist die Aussage f).
Ich zeige Dir das an einem (Gegen)Beispiel:
Es sei f: [mm] A:=\{a,b,c\}\to B:=\{1,2\}
[/mm]
mit
f(a):=1
f(b):=2
f(c):=2
Die Abbildung [mm] g:=\{1,2\}\to \{a,b,c\} [/mm] mit
g(1):=a
g(2):=b
ist eine Abbildung, welche die Aussage f) erfüllt, also daß [mm] f\circ [/mm] g= [mm] id_{im \quad f}
[/mm]
Prüfe das!
Jedoch ist f nicht injektiv, und somit sind a) und f) nicht äquivalent.
Damit weißt Du jetzt schonmal, welche Äquivalenzen zu zeigen sind.
Man kann sich die Arbeit erleichtern, indem man versucht, einen Ringschluß zu machen und statt jeder der Aussagen
a)==>b)
b)==>a)
a)==> c)
c)==> a)
usw. zu beweisen,
lieber den "Ring"
a==> b
b==>c
c==>d
d==>e
e==>g
g==>a
zu schließen. (ggf. kann man die Aussagen geschickt umsortieren.)
Wichtig ist, daß Du Dir jedesmal aufschreibst, was die Voraussetzung ist und was Du daraus schließen möchtest.
Ich mache mal einen Anfang und beginne, die Aussage
> a) f ist injektiv
==>
> b) für alle C $ [mm] \subset [/mm] $ A gilt f^-1(f(C))=C
zu zeigen.
Voraussetzung: [mm] f:A\to [/mm] B ist injektiv
zu zeigen:
Dann gilt für alle C $ [mm] \subset [/mm] $ A gilt f^-1(f(C))=C ,dh.
1. für alle C $ [mm] \subset [/mm] $ A gilt [mm] f^-1(f(C))\subseteq [/mm] C
2. für alle C $ [mm] \subset [/mm] $ A gilt [mm] C\subseteq [/mm] f^-1(f(C)).
Beweis: es sei f injektiv und [mm] C\subseteq [/mm] A.
1.
Sei [mm] a\in f^{-1}(f(C))
[/mm]
==> es gibt ein [mm] b\in [/mm] B: [mm] f(a)\in [/mm] f(C)
==> es gibt ein [mm] c\in [/mm] C mit f(a)=f(c)
==> (wegen der Injektivität von f) ???
==> ???
2. Sei [mm] c\in [/mm] C.
==> [mm] f(c)\in [/mm] f(C)
==> [mm] c\in f^{-1}(f(C)) [/mm] (nach Def. des Urbildes ).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Fr 29.10.2010 | | Autor: | tmili |
hey :)
ich kann deine erklärungen gut nachvollziehen-dafür schonmal vielen dank!
auch dass die aussage f) somit als nicht äquivalent erscheint, aber selbst dachte ich eher an die aussage d)
wäre lieb wenn du mir meinen fehler aufzeigen würdest:
ich habe einfach mal frei heraus von e) auf d) schlussfolgern wollen und habe es zu einem widerspruch geführt, den ich selbst sehr logisch fand, aber der ja leider nicht der wahrheit entspricht :(
beweis: C [mm] \subset [/mm] D [mm] \subset [/mm] A -> in (C [mm] \cap [/mm] D) [mm] \exists [/mm] x element C -> [mm] \neg [/mm] [(C [mm] \cap [/mm] D)= leere menge]
somit wäre dies doch ein widerspruch oder?
wir sagen in e) dass C teilmenge von D ist, daraus kann man doch folgern dass es im schnitt von beiden elemente gibt oder?
von c) auf d) habe ich mittlerweile auch einen beweis geschafft, die frage ist natürlich wieder ob dieser richtig ist^^
behauptung: für alle C,D [mm] \subset [/mm] A gilt :
f( C [mm] \cap [/mm] D)=f(C) [mm] \cap [/mm] f(D) ->C [mm] \cap [/mm] D= leere menge [mm] \wedge [/mm] f(C) [mm] \cap [/mm] f(D)= leere menge
beweis: C [mm] \cap [/mm] D=leere menge ->f(C) [mm] \cap [/mm] f(D)=leere menge -> f(C [mm] \cap [/mm] D)= leere menge -> f(leere menge)=leere menge
den beweis habe ich durch einsetzen gemeistert..die dritte aussage wurde sozusagen in die vierte eingesetzt und am schluss bekommt man f von der leeren menge ist die leere menge, was ja eigentlich auch ersichtlich ist oder? wenn man nichts einsetzt spuckt die funktion auch keinen zugehörigen wert aus..?
liebe grüße
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> auch dass die aussage f) somit als nicht äquivalent
> erscheint, aber selbst dachte ich eher an die aussage d)
> wäre lieb wenn du mir meinen fehler aufzeigen würdest:
> ich habe einfach mal frei heraus von e) auf d)
> schlussfolgern wollen
> > > d) für alle C,D [mm] \subset [/mm] A mit C [mm] \cap [/mm] D = [mm] \emptyset [/mm] gilt [mm] f(C)\cap [/mm] f(D)= [mm] \emptyset
[/mm]
> > > e) für alle mengen C,D mit C [mm] \subset [/mm] D [mm] \subset [/mm] A gilt [mm] f(D\backslash C)=f(D)\backslash [/mm] f(C)
> und habe es zu einem widerspruch
> geführt, den ich selbst sehr logisch fand, aber der ja
> leider nicht der wahrheit entspricht :(
> beweis: C [mm]\subset[/mm] D [mm]\subset[/mm] A -> in (C [mm]\cap[/mm] D) [mm]\exists[/mm] [mm] x\inC [/mm] -> [mm]\neg[/mm] [(C [mm]\cap[/mm] D)= [mm] \emptyset]
[/mm]
>
> somit wäre dies doch ein widerspruch oder?
Nein.
Du sagst.
was tust Du?
Du nimmst zwei Mengen C und D mit [mm] C\subset [/mm] D.
Diese Mengen haben überhaupt nicht unbedingt ein gemeinsames Element. Es könnte ja C leer sein...
Aber selbst wenn: die Mengen aus Aussage e) müssen ja nicht dieselben sein wie in d). Selbst wenn man e) Mengen [mm] C\subseteq [/mm] D hat, deren Schnitt nichtleer ist, kann man doch in d) Aussagen treffen über irgendzwei Mengen, dern Schnitt leer ist.
Wenn Du meinst, daß die Folgerung [mm] e)\Rightarrow [/mm] d) nicht stimmt, dann liefere ein konkretes Gegenbeispiel,also eine Funktion [mm] f:A\to [/mm] B, für welche für alle Mengen C,D mit C $ [mm] \subset [/mm] $ D $ [mm] \subset [/mm] $ A gilt, daß [mm] f(D\backslash C)=f(D)\backslash [/mm] f(C),
und dann zeig uns hier zwei [mm] TeilmengenA_1, A_2 [/mm] von A mit leerem Schnitt, bei denen [mm] f(A_1)\cap f(A_2) [/mm] nichtleer ist.
> von c) auf d) habe ich mittlerweile auch einen beweis
> geschafft, die frage ist natürlich wieder ob dieser
> richtig ist^^
> > > c) für alle C,D $ [mm] \subset [/mm] $ A gilt f(C $ [mm] \cap [/mm] $ D)= f(C) $ [mm] \cap [/mm] $ f(D)
> > > d) für alle C,D $ [mm] \subset [/mm] $ A mit C $ [mm] \cap [/mm] $ D = leere menge gilt $ [mm] f(C)\cap [/mm] $ f(D)= leere menge
> behauptung: für alle C,D [mm]\subset[/mm] A gilt :
> f( C [mm]\cap[/mm] D)=f(C) [mm]\cap[/mm] f(D) ->C [mm]\cap[/mm] D= leere menge [mm]\wedge[/mm] f(C) [mm]\cap[/mm] f(D)= leere menge
Nein. Bestandteil der Behauptung ist nicht, daß aus Aussage c) folgt, daß die Menge [mm] C\cap [/mm] D leer ist. Selbst wenn Du das nicht so meinst: so hast Du es dastehen.
Voraussetzung:es gilt
> > > c) für alle C,D $ [mm] \subset [/mm] $ A gilt f(C $ [mm] \cap [/mm] $ D)= f(C) $ [mm] \cap [/mm] $ f(D)
Behauptung: Dann gilt auch
> > > d) für alle C,D $ [mm] \subset [/mm] $ A mit C $ [mm] \cap [/mm] $ D = leere menge gilt $ [mm] f(C)\cap [/mm] $ f(D)= leere menge
Beweis: es gelte c) und es seien C,D $ [mm] \subset [/mm] $ A mit
> C [mm]\cap[/mm] [mm] D=\emptyset [/mm] ->f(C) [mm]\cap[/mm] f(D)=leere menge
??? Daß das folgt, willst Du doch erst zeigen!
Also: Es sei C [mm] $\cap$ D=\emptyset.
[/mm]
Gezeigt werden soll nun, daß dann
> f(C) [mm] $\cap$ f(D)=\emptyset.
[/mm]
> -> f(C [mm]\cap[/mm] D)= leere menge -> f(leere menge)=leere menge
Du meinst dies:
[mm] f(C\cap D)=f(\emptyset)=\emptyset.
[/mm]
> den beweis habe ich durch einsetzen gemeistert..
Er ist noch nicht fertig! jetzt muß man doch noch sagen, warum f(C) [mm] $\cap$ f(D)=\emptyset:
[/mm]
Wir hatten [mm] f(C\cap D)=f(\emptyset)=\emptyset.
[/mm]
Nach Voraussetzung ist f( C [mm] $\cap$ [/mm] D)=f(C) [mm] $\cap$ [/mm] f(D),
also ist [mm] \emptyset=f( [/mm] C [mm] $\cap$ [/mm] D)=f(C) [mm] $\cap$ [/mm] f(D), was zu zeigen war.
> die dritte
> aussage wurde sozusagen in die vierte eingesetzt und am
> schluss bekommt man f von der leeren menge ist die leere
> menge, was ja eigentlich auch ersichtlich ist oder? wenn
> man nichts einsetzt spuckt die funktion auch keinen
> zugehörigen wert aus..?
Vielleicht hast Du sogar das richtige gemeint.
Aber daran, daß Du mir wortreich erklärst, was Du getan hast, kannst Du schon sehen, daß Du von Deiner Darstellung und ihrer Überzeugungskraft nicht so überzeugt bist.
Spendiere lieber ein paar erklärende Worte in Deinem Beweis,
"weil", "denn es war vorausgesetzt", "Ich möchte nun zeigen, daß".
In blumiges Gelaber zu verfallen, wäre natürlich falsch.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:49 So 31.10.2010 | | Autor: | tmili |
Aber selbst wenn: die Mengen aus Aussage e) müssen ja nicht dieselben sein wie in d). Selbst wenn man e) Mengen $ [mm] C\subseteq [/mm] $ D hat, deren Schnitt nichtleer ist, kann man doch in d) Aussagen treffen über irgendzwei Mengen, dern Schnitt leer ist.
Wenn Du meinst, daß die Folgerung $ [mm] e)\Rightarrow [/mm] $ d) nicht stimmt, dann liefere ein konkretes Gegenbeispiel,also eine Funktion $ [mm] f:A\to [/mm] $ B, für welche für alle Mengen C,D mit C $ [mm] \subset [/mm] $ D $ [mm] \subset [/mm] $ A gilt, daß $ [mm] f(D\backslash C)=f(D)\backslash [/mm] f(C),
und dann zeig uns hier zwei $ [mm] TeilmengenA_1, A_2 [/mm] $ von A mit leerem Schnitt, bei denen $ [mm] f(A_1)\cap f(A_2) [/mm] $ nichtleer ist.
---> ich habe mir grad dazu ein beispiel ausgedacht: und zwar eine normal-parabel [mm] x^2 [/mm] von [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR+
[/mm]
C=0 bis 1
D=0 bis 4
A=0 bis zb 10
hier ist dann erfüllt, dass [mm] f(D\backslash C)=f(D)\backslash [/mm] f(C)
jetzt kann ich aber auch ein A1 und ein A2 zb von -2 bis -1 und von 1 bis 2 finden, die keinen schnitt haben also leere menge, aber dessen schnitt der y-werte haben einen schnitt...
das bsp beweist doch aber nur wieder dass e) und d) nicht äquivalent sind oder?? :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 04.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 16:27 So 31.10.2010 | | Autor: | tmili |
hab grad gemerkt, dass das mit der "kette" nicht so funktioniert, aber ein weiterer beweis kam mir grade wieder:
von d) nach a)
voraussetzung: für alle C,D [mm] \subset [/mm] A mit [mm] C\cap [/mm] D= leere menge gilt f(C) [mm] \cap [/mm] f(D)=leere menge
behauptung: f sei injektiv, dh für alle x1,x2 element A: f(x1)=f(x2) -> x1=x2
beweis: seien x1,x2 beliebig
x1 element C,x2 element D
->x1 ungleich x2 da [mm] C\cap [/mm] D =leere menge
->f(x1) ungleich f(x2) da f(C) [mm] \cap [/mm] f(D)
->somit gilt für alle x1,x2 element A: f(x1)=f(x2)->x1=x2
ich bin sehr dankbar für deine verbesserungen und hilfen!!
vielen lieben dank!!
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 04.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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