Äquivalenz von Metriken < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 So 15.04.2012 | | Autor: | Levit |
| Aufgabe | Seien [mm] $d_1$ [/mm] und [mm] $d_2$ [/mm] definiert durch [mm] §d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\begin{cases}
\left| x_1-x_2 \right|, & y_1=y_2\\
\left| x_1-x_2 \right|+1, & \text{sonst}\end{cases}§
[/mm]
und [mm] $d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)=$\left|| (x_1-x_2),(y_1-y_2))\right||_2
[/mm]
Ist die Metrik [mm] d_1 [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] äquivalent zu [mm] d_2? [/mm] |
Hallo an alle.
Also ich weiß dass zwei Metriken äquivalent sind, wenn eine Folge im ersten Raum genau dann konvergiert, wenn sie auch im zweiten Raum konvergiert. Und dass eine Folge im metrischen Raum konvergiert, wenn [mm] \limes_{x \to \infty}d(x_k,x)=0 [/mm] gilt.
Nun weiß ich aber nicht genau, wie ich dass hier nachweisen soll. Zumal ich ja ein Tupel in den Metriken habe.
Vielleicht kann mir jemand einen Ansatz liefern.
Danke schon mal
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Hallo,
> Seien [mm]d_1[/mm] und [mm]d_2[/mm] definiert durch
> [mm]§d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\begin{cases} \left| x_1-x_2 \right|, & y_1=y_2\\
\left| x_1-x_2 \right|+1, & \text{sonst}\end{cases}§[/mm]
>
> und [mm]d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)=[/mm][mm] \left|| (x_1-x_2),(y_1-y_2))\right||_2[/mm]
>
> Ist die Metrik [mm]d_1[/mm] auf [mm]\IR^2[/mm] äquivalent zu [mm]d_2?[/mm]
> Hallo an alle.
>
> Also ich weiß dass zwei Metriken äquivalent sind, wenn
> eine Folge im ersten Raum genau dann konvergiert, wenn sie
> auch im zweiten Raum konvergiert. Und dass eine Folge im
> metrischen Raum konvergiert, wenn [mm]\limes_{x \to \infty}d(x_k,x)=0[/mm]
> gilt.
>
> Nun weiß ich aber nicht genau, wie ich dass hier
> nachweisen soll. Zumal ich ja ein Tupel in den Metriken
> habe.
Vielleicht stimmt es ja gar nicht.
Hast du dir schonmal ein Beispiel angeguckt?
Führe doch mal mit beiden Metriken eine Konvergenzbetrachtung der Folge
[mm] $\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$
[/mm]
gegen den Grenzwert
$(0,0)$
durch.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 15.04.2012 | | Autor: | Levit |
Erst mal danke für die Antwort, gerne probiere ich es für das Beispiel aus.
Nur leider weiß ich nicht genau wie ich das jetzt machen kann.
Meine Folge [mm] $x_k$ [/mm] ist doch sicher nicht das Tupel [mm] $(x_1,y_1)$? [/mm] Aber moment, ich weiß ja dass eine Folge [mm] $(x_k,y_k)$ [/mm] in $X,Y$ genau dann gegen $(x',y')$ konvergiert, wenn [mm] $x_k$ [/mm] in $X$ gegen $x'$ und [mm] $y_k$ [/mm] in $Y$ gegen $y'$ konvergiert. Also kann ich die Tupel $(x,y)$ getrennt betrachten, richtig?
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Hallo,
> Meine Folge [mm]x_k[/mm] ist doch sicher nicht das Tupel [mm](x_1,y_1)[/mm]?
Also wir haben jetzt [mm] $x_n [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$ [/mm] und $x = (0,0)$.
> Aber moment, ich weiß ja dass eine Folge [mm](x_k,y_k)[/mm] in
> [mm]X,Y[/mm] genau dann gegen [mm](x',y')[/mm] konvergiert, wenn [mm]x_k[/mm] in [mm]X[/mm]
> gegen [mm]x'[/mm] und [mm]y_k[/mm] in [mm]Y[/mm] gegen [mm]y'[/mm] konvergiert. Also kann ich
> die Tupel [mm](x,y)[/mm] getrennt betrachten, richtig?
Nein! Du hast hier doch gar nicht ein Kreuzprodukt von zwei metrischen Räumen. Außerdem lässt sich die Metrik [mm] $d_2$ [/mm] doch gar nicht im eindimensionalen betrachten.
Du musst alles im [mm] $\IR^2$ [/mm] durchführen.
Fangen wir mal mit [mm] $d_1$ [/mm] an:
[mm] $d_1(x_n, [/mm] x) = [mm] ||(\frac{1}{n} [/mm] - 0, [mm] \frac{1}{n} [/mm] - [mm] 0)||_2 [/mm] = ...$
wogegen konvergiert das?
[mm] $d_2(x_n,x) [/mm] = ...$
(Ja, es ist hier [mm] $(x_1,y_1) [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$ [/mm] und [mm] $(x_2, y_2) [/mm] = (0,0)$, wenn du das in die Metrik einsetzt).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 So 15.04.2012 | | Autor: | Levit |
Alles klar, danke.
Ginge es alternativ auch zu zeigen, dass [mm] $(\IR^2,d_1)$ [/mm] kein vollständiger metrischer Raum ist? Denn dann konvergiert die Metrik ja auch für Folgen, in diesem Fall Cauchy-Folgen, nicht.
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Hallo,
> Ginge es alternativ auch zu zeigen, dass [mm](\IR^2,d_1)[/mm] kein
> vollständiger metrischer Raum ist?
Das wird dir nicht gelingen, denn es ist einer.
> Denn dann konvergiert
> die Metrik ja auch für Folgen, in diesem Fall
> Cauchy-Folgen, nicht.
Wenn ihr einen Satz hattet der Form:
2 Metriken äquivalent --> Vollständigkeit der zugehörigen 2 Räume äquivalent
dann geht das. Du müsstest dann also zeigen, dass der Raum mit der Metrik [mm] d_2 [/mm] nicht vollständig ist.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 15.04.2012 | | Autor: | Levit |
Aber grade [mm] $(\IR^2,d_2)$ [/mm] ist doch ein metrischer Raum, da im [mm] $\IR^2$ [/mm] doch jede Norm einen vollständigen Raum bildet. Oder habe ich das falsch in Erinnerung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 15.04.2012 | | Autor: | SEcki |
> Aber grade [mm](\IR^2,d_2)[/mm] ist doch ein metrischer Raum, da im
> [mm]\IR^2[/mm] doch jede Norm einen vollständigen Raum bildet. Oder
> habe ich das falsch in Erinnerung?
Alles richtig. Beide sind vollständig.
SEcki
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