Äquivalenz von Normen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Di 28.04.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass in einem endlichdimensionalen normierten Vektorraum [mm] (V, \parallel \parallel) [/mm] alle Normen zu einander äquivalent sind. Benutzen Sie folgende Beziehung: [mm] \parallel \summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k} \parallel \ge c \summe_{k=1}^{n} |\alpha_{k}| [/mm] |
Also ich habe bis jetzt folgendes:
zu zeigen: [mm] \exists \alpha ,\beta > 0 \forall \vec{u} \in V : \alpha \parallel \vec_{u} \parallel_{I} \le \parallel \vec_{u} \parallel \le \beta \parallel \vec_{u} \parallel_{I} [/mm]
als Tipp wurde mir noch folgendes gegeben:
[mm] span[u_{1},...,u_{n}]=\{\summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k}, \alpha_{k} \in \IK\} [/mm]
Aber so richtig weiß ich jetzt nicht wie ich anfangen soll.
Hat vllt jemand eine Idee?
Vielen Dank
riju
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Di 28.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass in einem endlichdimensionalen normierten
> Vektorraum [mm](V, \parallel \parallel)[/mm] alle Normen zu
> einander äquivalent sind. Benutzen Sie folgende Beziehung:
> [mm]\parallel \summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k} \parallel \ge c \summe_{k=1}^{n} |\alpha_{k}|[/mm]
Du darst also diese Beziehung benutzen (mit einem nur von [mm] \vec{u}_{1},...,\vec{u}_{n} [/mm] abhängigen c>0).
>
> Also ich habe bis jetzt folgendes:
> zu zeigen: [mm]\exists \alpha ,\beta > 0 \forall \vec{u} \in V : \alpha \parallel \vec_{u} \parallel_{I} \le \parallel \vec_{u} \parallel \le \beta \parallel \vec_{u} \parallel_{I}[/mm]
>
> als Tipp wurde mir noch folgendes gegeben:
> [mm]span[u_{1},...,u_{n}]=\{\summe_{k=1}^{n} \alpha_{k} \vec{u}_{k}, \alpha_{k} \in \IK\}[/mm]
>
> Aber so richtig weiß ich jetzt nicht wie ich anfangen
> soll.
> Hat vllt jemand eine Idee?
Ich lasse die bekloppten Pfeile weg !
Sei [mm] \{u_1,...,u_n\} [/mm] eine Basis von V. Ist x [mm] \in [/mm] V, so ex. eindeutig bestimmte [mm] a_1,...,a_n \in \IK [/mm] mit [mm] x=a_1u_1+...+a_nu_n.
[/mm]
Setze [mm] ||x||_0:=|a_1|+...+|a_n|.
[/mm]
Zeige: [mm] ||*||_0 [/mm] ist eine Norm auf V.
Aus obiger Beziehung folgt dann:
(1) [mm] c||x||_0 \le [/mm] ||x|| für alle x [mm] \in [/mm] V
Weiter ist
[mm] ||x||=||a_1u_1+...+a_nu_n|| \le ||a_1|*||u_1||+...+|a_n|*||u_n|| \le C||x||_0,
[/mm]
wobei C:=max [mm] \{ ||u_k||: k=1,...,n\}. [/mm] Somit
(2) ||x|| [mm] \le C||x||_0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] V.
(1) und (2) zeigen: ||*|| und [mm] ||*||_0 [/mm] sind äquivalent.
Ist nun [mm] ||*||_1 [/mm] eine weitere Norm auf V, so zeige:
||*|| und [mm] ||*||_1 [/mm] sind äquivalent.
FRED
>
> Vielen Dank
> riju
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