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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 10.11.2008 | | Autor: | dawn1987 |
| Aufgabe | Seinen X, Y Mengen und [mm] \delta: [/mm] X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind!
(i) f ist injektiv
(ii) [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \mathcal{P}(X): [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)=f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
(iii) [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{P}(X):f*-1(f(A))=A
[/mm]
(iv) [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{P}(X):f(X\A)=f(X)\f(A) [/mm] |
Also ich weiß, wie ich jeden einzelnen Punkt beweisen kann. Mein Problem ist jedoch wie ich die Äquivalenz zeige, also von (i) zu (ii), von (ii) zu (iii), von (iii) zu (iv) und schließlich von (iv) wieder zu (i).
Vielleicht kann mir irgendjemand weiterhelfen und mir wenigstens zeigen, wie ich (i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) beweisen kann, dann kann ich ja selbst weitermachen.
Danke schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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> Seinen X, Y Mengen und [mm]\delta:[/mm] X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung.
> Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind!
> (i) f ist injektiv
> (ii) [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\in \mathcal{P}(X):[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)=f(A) [mm]\cap[/mm]
> f(B)
> (iii) [mm]\forall[/mm] A [mm]\in \mathcal{P}(X):f*-1(f(A))=A[/mm]
> (iv)
> [mm]\forall[/mm] A [mm]\in \mathcal{P}(X):f(X\A)=f(X)\f(A)[/mm]
> Also ich
> weiß, wie ich jeden einzelnen Punkt beweisen kann. Mein
> Problem ist jedoch wie ich die Äquivalenz zeige, also von
> (i) zu (ii), von (ii) zu (iii), von (iii) zu (iv) und
> schließlich von (iv) wieder zu (i).
>
> Vielleicht kann mir irgendjemand weiterhelfen und mir
> wenigstens zeigen, wie ich (i) [mm]\Rightarrow[/mm] (ii) beweisen
> kann, dann kann ich ja selbst weitermachen.
Hallo,
wichtig ist, daß Du Dir genau die Voraussetzung aufschreibst und das, was gezeigt werden muß.
Schauen wir uns (i) ==> (ii) an.
Voraussetzung: f ist injektiv
zu zeigen: dann ist f(A [mm]\cap[/mm] B)=f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
Also ist eine Mengengleichheit zu zeigen. das beinhaltet zweierlei
1. f(A [mm]\cap[/mm] [mm] B)\subseteq [/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
2. f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
Teilmengenbeziehungen zeigt man, indem man zeigt, daß jedes Element der einen menge auch in der anderen liegt. Also
1. [mm] y\in [/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B) ==> [mm] y\in [/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
2. [mm] y\in [/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)==> [mm] y\in [/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
Beweis zu 1.
Sei y [mm] \in [/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
==> es gibt ein [mm] x\in A\cap [/mm] B mit y=f(x)
==> ... und nun kommt man undaramatisch zum Ende.
Beweis zu 2:
Sei [mm] y\in [/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
==> [mm] y\in [/mm] f(A) und [mm] y\in [/mm] f(B)
==> es gibt ein [mm] a\in [/mm] A und ein [mm] b\in [/mm] B mit y=f(a) und y=f(b).
==> jetzt die Injektivität und dann weiter .
Versuch's mal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 10.11.2008 | | Autor: | dawn1987 |
| Aufgabe | Seinen X, Y Mengen und [mm] \delta: [/mm] X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind!
(i) f ist injektiv
(ii) [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \mathcal{P}(X): [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)=f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
(iii) [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{P}(X):f*-1(f(A))=A
[/mm]
(iv) [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{P}(X):f(X\A)=f(X)\f(A) [/mm] |
Nochmal eine Frage!
Muss man nicht in irgendeinem Schritt die Potenzmenge von X mit einbeziehen?
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> Seinen X, Y Mengen und [mm]\delta:[/mm] X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung.
> Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind!
> (i) f ist injektiv
> (ii) [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\in \mathcal{P}(X):[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)=f(A) [mm]\cap[/mm]
> f(B)
> (iii) [mm]\forall[/mm] A [mm]\in \mathcal{P}(X):f*-1(f(A))=A[/mm]
> (iv)
> [mm]\forall[/mm] A [mm]\in \mathcal{P}(X):f(X\A)=f(X)\f(A)[/mm]
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> Nochmal eine Frage!
> Muss man nicht in irgendeinem Schritt die Potenzmenge von
> X mit einbeziehen?
Hallo,
hinter der Potenzmenge steckt nix Wildes:
[mm] A\subseteq [/mm] P(X) sagt bloß, daß A eine Teilmenge von X ist. Sonst wäre die ganze Aufgabe sinnlos. A muß ja eine Teilmenge der Definitionsmenge sein, damit man f drauf anwenden kann.
Gruß v. Angela
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