Äquivalenzklasse der Funktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei C aus (IR) die Menge aller differenzierbaren Funktionen [mm] f:\IR\to\IR [/mm] . Wir nennen zwei Funktionen f,g aus [mm] C(\IR) [/mm] äquivalent und schreiben f~g, falls f' = g'.
c) Zeigen Sie: jede Äquivalenzklasse von ~ enthält genau einen Repräsentanten f mit f(0)=0. |
Soweit ich weiß, kann ein Repräsentant ja ein beliebiges Element aus der Äquivalenzklasse sein...
Wieso gibt es dann hier nur genau einen der diese Eigenschaft erfüllt???
kann ich das durch einen widerspruchsbeweis zeigen???
weil sonst hätte ich das problem dass ich zb sage ich nehme x² und x²+c sind ja in der selben äquivalenzklasse, aber nur das x² hat f(0)=0 denn alles was eine Konstante hat da gilt das ja nicht aber zb cos(x) und cos(x)+c ist ja anders aber wieder gibt es nur 1 mit f(0)=0
da cos(0)=1 wäre die einzige funktion cos(x)-1 wo die bedingung gelten würde?
soweit richtig gedacht???
hätte einer eine idee für den Ansatz des Widerspruchbeweises???
liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Sei C aus (IR) die Menge aller differenzierbaren Funktionen
> f: IR-> IR. Wir nennen zwei Funktionen f,g aus C (IR)
> äquivalent und schreiben f~g, falls f' = g'.
>
> c) Zeigen Sie: jede Äquivalenzklasse von ~ enthält genau
> einen Repräsentanten f mit f(0)=0.
> Soweit ich weiß, kann ein Repräsentant ja ein beliebiges
> Element aus der Äquivalenzklasse sein...
>
> Wieso gibt es dann hier nur genau einen der diese
> Eigenschaft erfüllt???
Hallo,
zunächst einmal mußt Du ja zeigen, daß es in jeder der Äquivalenzklassen solch ein f gibt mit f(0)=0.
Sei also [mm] [h]=\{f| f\sim h}.
[/mm]
Nun zeig ein Element vor, welches darin liegt und an der Stelle 0 den Funktionswert 0 hat.
>
> kann ich das durch einen widerspruchsbeweis zeigen???
Daß es keine zwei solche Elemente gibt, kannst Du dann durch Widerspruch zeigen.
Nimm an, in [h] gäbe es zwei verschiedene Funktionen g und f mit g(0)=0=f(0) und ziehe daraus Deine Schlüsse.
> da cos(0)=1 wäre die einzige funktion cos(x)-1 wo die
> bedingung gelten würde?
Gute Überlegung! Für den Beweis muß das dann allgemein formuliert werden, s.o., aber mit so Beispielen kann man sich gut auf die Sprünge helfen.
Gruß v. Angela
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Danke schon einmal,
wie zeige ich denn, dass es in jeder Äquivalenzklasse einen Funktion gibt für die f(0)=0 gilt
Also praktisch gesehen lässt sich ja immer so eine Funktion konstruieren theoretisch für mich schon schwieriger weil ich dachte zuerst für alle funktionen ohne Konstante aber wie gesagt dafür bilded cos(x) ja schon wieder eine ausnahme wo man die konstante dann braucht, jetzt habe ich eine art idee wie man zeigt dass es nur eine funktion mit f(0)=0 gibt aber nicht wie man zeigt dass es überhaupt eine gibt....
wie fange ich das bloß an zu zeigen????
liebe grüße von richard
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> wie zeige ich denn, dass es in jeder Äquivalenzklasse einen
> Funktion gibt für die f(0)=0 gilt
Du gibst die Funktion einfach an.
Du hast's doch bei Deinem cosx auch gemacht!
Schauen wir die Äquivalenzklasse von h an, [h]. Da drin sind alle Funktionen, die dieselbe Ableitung wie h haben.
Wie ist ist also jede Funktion f gemacht, die in [h] liegt?
Irgendwo hattest Du das schonmal gesagt: f=h+c , [mm] c\in \IR.
[/mm]
Nun überleg Dir, für welches c f(0)=0 gilt.
>
> Also praktisch gesehen lässt sich ja immer so eine Funktion
> konstruieren theoretisch für mich schon schwieriger weil
> ich dachte zuerst für alle funktionen ohne Konstante aber
> wie gesagt dafür bilded cos(x) ja schon wieder eine
> ausnahme wo man die konstante dann braucht, jetzt habe ich
> eine art idee wie man zeigt dass es nur eine funktion mit
> f(0)=0 gibt aber nicht wie man zeigt dass es überhaupt eine
> gibt....
Ich verstehe ja, daß diese Hausübungen Streß machen, und ich weiß, daß man manchmal hektisch wird von so etwas.
Trotzdem wäre es nett, wenn Du wenigstens beim Schreiben ein paar Atempausen machen und Satzzeichen spendieren würdest.
Es ist echt bequemer zu lesen, wenn man sich die Sätze und Zusammenhänge zwischen diesen nicht selbst erarbeiten muß.
Gruß v. Angela
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dies wäre dann für mich für ein c=-h(0)
damit habe ich dann gezeigt dass es eins gibt?
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> dies wäre dann für mich für ein c=-h(0)
Für mich auch.
>
> damit habe ich dann gezeigt dass es eins gibt?
Naja, das muß natürlich noch überzeugend präsentiert werden:
Es ist [mm] f:\IR \to \IR [/mm]
mit f(x):= h(x)-h(0) für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
ein Element der Äquivalenzklasse [h], denn es ist f'(x)=h'(x)+0=h'(x) für alle [mm] x\in \IR, [/mm] also ist f'=h', und somit [mm] f\sim [/mm] h,
d.h. [mm] f\in [/mm] [h].
Das Prinzip: Du überlegst Dir heimlich, wie dieses Element aussieht, holst es aus dem Hut und zeigst, daß es genau das tut, was es tun soll.
Gruß v. Angela
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danke für dein hilfe!
meinen widerspruch würde ich so anfangen:
Ich nehme an, dass es zwei Repräsentanten gibt f, g mit der Eigenschaft f(0)=0 und g(0)=0
Damit sie in der selben Äquivalenzklasse sind muss gelten f'=g'
Damit zwei Funktionen die selbe Ableitung haben darf sich also die Stammfunktion nur durch eine Konstante unterscheiden....
so und jetzt wirds glaub ich nicht mehr ganz richtig bei mir..... oder???
Weil ich davon ausgehe, dass F Stammfunktion und G Stammfunktion sind und dann gilt F+c1=F+c2=0 => c1=c2 =0 wegen f(0)=0
also sind dann die Konstanten gleich und daher auch die Stammfunktionen bzw. die Funktionen f und g
Dieses steht im Widerspruch zur Voraussetzung dass f und g zwei funktionen sind und nicht eine.
Daraus folgt, dass es nur genau einen Repräsentanten gibt bei dem gilt, f(0)=0
Wo liegt mein Fehler???
liebe Grüße, Richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Sir R
Du hast doch schon in b) gezeigt, dass alle fkt , die in eine Äquiv. Klasse liegen, sich nur durch eine Konstante unterscheidden.
Deine Einführung von F irritiert, es sind doch Stammfkt von f' also sollten sie f heissen.
aber du hast ja schon aus b)
[mm] h,g\in[f] [/mm] folgt h=g+c [mm] c\in\IR
[/mm]
jetzt deine Annahme h(0)=g(0)=0 aber h [mm] \ne [/mm] g
dann folgt h(0)=g(0)+c=0 0=0+c=0 c=0 h=g Widerspruch
dazu brauchts aber keinen indirekten Beweis!
denn aus h=g+c und h(0)=g(0)=0 folgt direkt c=0
Gruss leduart
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das kann aber nicht sein weil es nicht immer c=0 ist
nimm zum beispiel cos(x) als funktion dann ist cos(0)=1 und c muss dann demenstprechend 1 sein und nicht null
daher ist es in deiner argumentation nicht für alle repräsentanten gezeigt und der beweis nicht gültig...oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die fkt f(x)=cos(x)-1 ist die Funktion mit f(0)=0 alle anderen Funktionen mit f'=-sinx kann ich dann schreiben als Dieses f(x)+c also ist cosx=cosx-1+c mit c=1
cosx-1 ist der rRepräsentant mit f(0)=0 cosx ist der Repräsentant mit f(0)=1 (davon gibts auch nur einen.
cosx+17 ist der Repr. mit f(0)=18 und er ist gleichzeitig cosx-1 +18
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Di 23.10.2007 | | Autor: | cloui |
ich habe jetzt meine gleichung aus der 1. aufgabe
h(x) = f(x) + r mit r [mm] \in \IR
[/mm]
nun meine annahme:
h(0) = f(0) + r = 0 , da f(0) = 0
h(0) = 0 + r = 0
0 = 0 + r = 0
r = 0
bis hierhin ist ja alles super, aber folgere ich daraus das es nur ein repräsentanten gibt? indem ich sagen kann h(x) = f(x) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, du sagst in 1 habe ich bewiesen, alle Repräsentanten haben die Form f+r
für eine Rep. mit g(0)=0 gilt also g(0)=f(0)+r1=0 für für einen anderen R. h mit h(0)=0 gilt h(0)=f(0)+r2 =0 also f(0)+r1=f(0)+r2 daraus r1=r2 also sind h und g derselbe Repräsentant.
zuerst brauchst du natürlich einen Rep. mit g(0)=0 nimm g=f+r g(0)=0 daraus folgt [mm] r=-f(0)\IN \IR [/mm] also gibt es immer einen Repr.g mit g(0)=0
(da f stetig ist gibt es immer eine Zahl r mit f(0)=-r
Gruss leduart.
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