Äquivalenzrelation < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ist R eine Äquivalenzrelation auf der Menge X?
X= [mm] \IQ [/mm] ; xRy genau dann, wenn y-x eine ganze Zahl ist. |
Also, ich prüfe ja wieder reflexiv, symmetrisch, transitiv.
Das Problem ist ja, dass meine Menge X aus rationalen Zahlen besteht.
Da ist doch eigentlich schon die reflexive Äquivalenz nicht erfüllt.
Es ist zu rpfüen, ob für x [mm] \in [/mm] X auch xRx gibt.
Da kann ich doch sagen, dass die Bedingung nicht erfüllt werden kann, wenn man Beispielsweise einen Bruch hat.
Damit habe ich doch bewiesen, dass meine x keine ganze Zahl ist.
Ist meine Überlegung richtig, oder Schwachsinn?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Naja du musst ja für die Reflexivität gucken, wenn du ein beliebiges x [mm] \in \IQ [/mm] ( weil dein [mm] $X=\IQ$) [/mm] auswählst ob dann $x-x [mm] \in \IZ [/mm] $ ist, denn dann ist ja $xRx$. $x-x=0 [mm] \in \IZ$, [/mm] denn null ist ja ne ganze zahl. Somit hast du die Reflexivität, also $xRx$, nachgeprüft. Nun must du noch die beiden anderen Axiome für Äquivalenzrelationen nachprüfen.
Viele Grüße (oh mein deutsch lässt nach^^)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:08 Do 06.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Achso, stimmt ja, wenn ich x-x habe, ist es ja völlig unerheblich, ob ich einen bruch habe oder sonst was.
Stimmt, stimmt, stimmt, danke für den Hinweis.
Dann muss ich nur schauen, wie ich das mit der Symmetrie und der Transitivität mache. Vielleicht fällt mir ja was ein.
Ich muss ja irgendwie die rationalen Zahlen da mit reinbringen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Do 06.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Hallo, also weiter gehts...
Symmetrie:
Wenn ich dieser obigen Bedingung folge, dann soll ja y-x eine Ganze Zahl sein.
Da ich ja relative Zahlen da mit drin habe in der Menge,
ist 1 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] eine ganze Zahl, und auch [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - 1 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ist eine ganze Zahl.
Wie drücke ich das dann logisch aus? Oder reicht meine Behauptung?
Dann zur Transitivität:
Bedingung:
xRy = yRz = xRz
1 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - (- 2 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] )
= 1 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - (-2 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] )
Die drei Bedingungen sind erfüllt, und damit ist die ganze Sache äquivalent.
Stimmts?
|
|
|
| |
|
Hat keiner eine Idee?
Ich habe es mal mit der Symmetrie folgenderweise versucht.
Wenn xRy dann auch yRx.
Wenn x,y [mm] \in \IQ, [/mm] so sind, dass y-x= ganze Zahl, gilt dann auch x-y= ganze Zahl?
x-y=y-x
x=y
Damit habe ich die Symmetrie bewiesen.
Stimmt das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hat keiner eine Idee?
>
> Ich habe es mal mit der Symmetrie folgenderweise versucht.
> Wenn xRy dann auch yRx.
> Wenn x,y [mm]\in \IQ,[/mm] so sind, dass y-x= ganze Zahl, gilt dann
> auch x-y= ganze Zahl?
> x-y=y-x
>
> x=y
>
> Damit habe ich die Symmetrie bewiesen.
> Stimmt das so?
nein, das ist Unsinn, was Du da schreibst. Seien $x,y [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $xRy\,.$ [/mm] Dann gilt: $y-x$ ist eine ganze Zahl. Also existiert ein [mm] $z_0 \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $y-x=z_0\,.$ [/mm] Weil [mm] $z_0 \in \IZ\,,$ [/mm] ist auch [mm] $-z_0 \in \IZ\,.$ [/mm] Es ist aber [mm] $-z_0=-(y-x)=x-y\,,$ [/mm] also ist auch $x-y$ eine ganze Zahl. Also gilt auch [mm] $yRx\,.$
[/mm]
Bei der Transitivität hattest Du geschrieben:
> xRy = yRz = xRz
Das macht überhaupt keinen Sinn, vor allen Dingen frage ich mich, was denn bitteschön schon $xRy=yRx$ heißen soll? Hier ist nun folgendes gefragt:
Wenn $xRy$ und $yRz$, gilt dann auch $xRz$?
Das heißt in Worten:
Wenn $x,y,z [mm] \in \IQ$ [/mm] so sind, dass $y-x$ eine ganze Zahl ist und dass auch $z-y$ eine ganze Zahl ist. Gilt dann auch, dass $z-x$ eine ganze Zahl ist?
Nach Voraussetzung existieren hier [mm] $z_1,z_2 \in \IZ$ [/mm] so, dass [mm] $y-x=z_1$ [/mm] und [mm] $z-y=z_2\,.$
[/mm]
Schreibe jetzt mal $z-x=(z-y)+(y-x)$ und finde nun ein Argument, warum dann $(z-x) [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
(P.S.: Die Zahlen mit Index sind nun stets ganze Zahlen. Ich wollte nicht einmal $z [mm] \in \IZ$ [/mm] haben und nachher $z [mm] \in \IQ\,.$ [/mm] Ich hoffe, so ist es nun weniger verwirrend.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:52 Fr 07.11.2008 | | Autor: | sethonator |
Ah, ich weiß jetzt , was Du meinst.
Ich habe noch arge Schwierigkeiten mich richtig auszudrücken.
Ich bitte das zu entschuldigen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:30 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Ah, ich weiß jetzt , was Du meinst.
>
> Ich habe noch arge Schwierigkeiten mich richtig
> auszudrücken.
>
> Ich bitte das zu entschuldigen.
das brauchst Du nicht entschuldigen. Wichtiger ist eher, dass Du Dir jetzt klar machst, was Du da gesagt hast (und mich würde es wundern, wenn Du dann selbst noch weißt, wie Du zu dieser Formulierung gekommen bist) und was Du eigentlich sagen wolltest. Ich meine, es geht ja nicht darum, dass ich Dir hier Deine Aufgaben löse, sondern Du sollst ja vor allem verstehen, wie ich sie löse (wenn Du selbst dran scheiterst). Das heißt, Du musst daheim nun, nachdem Du die Lösung gesehen hast, sie weglegen und das ganze nochmal selbst aufschreiben. Und mir scheint es hier sehr wichtig, dass Du Dir klar machst, was eigentlich immer gegeben ist und was Du zu zeigen hast. Und bei so Folgerungen wie: $y-x=$ ganze Zahl und $x-y$=ganze Zahl musst Du aufpassen. Denn das "ganze Zahl" ist hier mehr eine sprachliche Sache, wo Du durcheinander kommst. Es gilt gar nicht "ganze Zahl=ganze Zahl" (zumindest nicht in dem Sinne, wie Du es verwendest), denn $3$ ist eine ganze Zahl und $5$ ist auch eine ganze Zahl, aber $3 [mm] \not=5\,.$ [/mm] Man sagt halt genau zu (einem jeden Element) $x [mm] \in \IZ$, [/mm] dass das eine ganze Zahl sei, und nicht nur zu einem einzigen. Du folgerst so wie:
Das Haus ist rot [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Haus=rot, das Auto ist rot [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Auto=rot, also gilt Haus=Auto. Pass' bei solchen Dingen etwas besser auf, das ist entscheidend, gerade anfangs, um nicht den Überblick zu verlieren 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
