Äquivalenzrelation < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Herby |
Guten Tag liebe Forenmitglieder und Zukünftigen und Unentschlossenen!
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Ich habe hier ein kleines Verständnisproblem bei folgender Aufgabe:
a) Zu Beweisen ist die Ungleichung für alle beliebigen a,b [mm] \in \IR
[/mm]
(a+b)² [mm] \le [/mm] 2(a²+b²)
b) Es bezeichne S die Menge aller unendlichen Folgen von reellen Zahlen,
also S= { [mm] s|s:\IN \to \IR [/mm] }
....... da tauchen schon die ersten Schwierigkeiten auf: den senkrechten Strich, kenne ich bisher nur als "ist Teiler von". Außer er steht alleine in der Klammer, dann auch als "für das gilt". Jetzt steht aber beides, sprich der ":" auch noch da. Heißt es jetzt zweimal "für das gilt"???
weiter im Text:
zu b) Auf S wird folgende Relation R definiert:
[mm] s_{1}Rs_{2} :\gdw \forall\varepsilon\in\IR>0 \exists n_{0}\in\IN \forall m\ge n_{0} [/mm] : [mm] \summe_{n=n_{0}}^{m} (s_{1}(n)-s_{2}(n))² [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. Dabei ist die Ungleichung aus a) hilfreich.
Nun denn zu a)
Dort bekomme ich heraus:
0 [mm] \le [/mm] (a-b)²
und das stimmt ja für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] , da das Quadrat einer reellen Zahl immer [mm] \ge [/mm] 0 ist.
zu b)
Wie bastel ich jetzt die Ungleichung in die Formel rein? Ich kann das bisher noch nicht erkennen. Und das größte Problem ist: Wie zeige ich bei einer Ungleichung die Reflexivität, ganz zu schweigen von der Symmetrie?
Please help, wenn auch nur ein bisschen!!!
lg
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mi 25.05.2005 | | Autor: | baddi |
hi 
>
Toll was du für Smielies drauf hast.. und endlich kann ich auch mal ne Frage beantworten... meistens sind die hier mir zu schwehr.
> Ich habe hier ein kleines Verständnisproblem bei folgender
> Aufgabe:
>
> a) Zu Beweisen ist die Ungleichung für alle beliebigen a,b
> [mm]\in \IR[/mm]
> (a+b)² [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2(a²+b²)
>
> b) Es bezeichne S die Menge aller unendlichen Folgen von
> reellen Zahlen,
> also S= { [mm]s|s:\IN \to \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Also S ist eine Menge.
Und s ist ein Element der Menge.
Der Strich bedeutet "für die gilt"
Also s für die gilt... Eigenschaft.
Die Eigenschaft ist, dass Sie von \IN \to \IR gehen.
Eine Folge macht dass immer.
\IN ist nur der Index, dass kennst du sicher.
z.B. bei 1/2 1/3 1/4 usw.
wird 1 \mapso 1/2 abgebildet usw.
Klar ?
Sonst weist du nur noch aus dem Aufgabentext das die Folgen undenlich sind und die
Werte reele Zahlen sind.
Naja letzteres hättest du ja auch aus
\IN \to \IR ablesen können.
Die Aufgabensteller schreiben schon manchmal dinge doppelt hin oder vergessen was zu erklären.
Das nennt man Betriebsblindheit. Wird dir auch mal passieren.
> der ":" auch noch da. Heißt es jetzt zweimal "für das
> gilt"???
Ja, du kannst das so lange machen wie du lust hast.
für die gilt für die gilt usw. so wird immer weiter eingeschränkt.
> weiter im Text:
> zu b) Auf S wird folgende Relation R definiert:
> [mm]s_{1}Rs_{2} :\gdw \forall\varepsilon\in\IR>0 \exists n_{0}\in\IN \forall m\ge n_{0}[/mm]
> : [mm]\summe_{n=n_{0}}^{m} (s_{1}(n)-s_{2}(n))²[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
Sorry, kann ich nicht viel sagen, erinnert mich irgendwie bisschen an die Couchy- Folge.. vielleicht hilfts.
Konnte sicher nicht gut helfen, vielleicht ein wenig
Gruß baddi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Baddi,
merci schon 'mal für die Informationen.
> ....und endlich kann ich
> auch mal ne Frage beantworten... meistens sind die hier mir
> zu schwehr.
kann ich nachvollziehen, aber in zwanzig Jahren kriegen wir das hier auch hin...
> Sorry, kann ich nicht viel sagen, erinnert mich irgendwie
> bisschen an die Couchy- Folge.. vielleicht hilfts.
Hab gerade mal im Kemnitz nachgeschaut unter Augustin Louis Cauchy, (1798-1857), finde aber nix passendes für das Problem.
Daher setze ich den Status nochmal hoch.
>
> Konnte sicher nicht gut helfen, vielleicht ein wenig
>
> Gruß baddi
Wir können nur lernen Fragen "richtig" zu beantworten, wenn wir das üben! Und fehlerfrei ist sowieso niemand. Außerdem kann man Fehler auch nett umschreiben. 
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
>
> a) Zu Beweisen ist die Ungleichung für alle beliebigen a,b
> [mm]\in \IR[/mm]
> (a+b)² [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2(a²+b²)
>
> b) Es bezeichne S die Menge aller unendlichen Folgen von
> reellen Zahlen,
> also S= { [mm]s|s:\IN \to \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
Also wie in der Anderen Antwort schon gesagt: Dieses S ist die Menge aller s für die gilt, das s eine Abbildung von $\IN$ nach $\IR$ ist. Diese Bedingung schreibt man oft als $s: \IN \to \IR$, und man macht den senkrechten Strich deshalb, damit man nicht zweimal den Doppelpunkt verwenden muss.
> weiter im Text:
> zu b) Auf S wird folgende Relation R definiert:
>
> [mm]s_{1}Rs_{2} :\gdw \forall\varepsilon\in\IR>0 \exists n_{0}\in\IN \forall m\ge n_{0}[/mm]
> : [mm]\summe_{n=n_{0}}^{m} (s_{1}(n)-s_{2}(n))²[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. Dabei ist
> die Ungleichung aus a) hilfreich.
>
> Nun denn zu a)
>
> Dort bekomme ich heraus:
>
> 0 [mm]\le[/mm] (a-b)²
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das wäre ein gültiges Argument aber kannst du hierzu deine einzelnen Rechenschritte noch angeben, wenn du wünscht, dass wir das auch überprüfen?
> zu b)
>
> Wie bastel ich jetzt die Ungleichung in die Formel rein?
> Ich kann das bisher noch nicht erkennen. Und das größte
> Problem ist: Wie zeige ich bei einer Ungleichung die
> Reflexivität, ganz zu schweigen von der Symmetrie?
>
Ich muss dich enttäuschen, die Reflexivität und Symmetrie ist hier in diesem Fall ganz einfach, aber die Transitivität wie so oft eben auch hier nicht.
Zur Reflexivität:
Du musst hier zeigen, dass sRs gilt für jedes s aus S.
Also:
[mm]\forall\varepsilon\in\IR>0 \exists n_{0}\in\IN \forall m\ge n_{0} : \summe_{n=n_{0}}^{m} (s(n)-s(n))² < \varepsilon.[/mm]
Naja gut und in der Summe summiert man immer 0 auf und dann suche ich ein [mm] $n_0$, [/mm] ab dem die Summe aller Nullen kleiner ist als ein beliebiges Epsilon und das gilt wohl für alle [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] also auch mindestens für eines.
Zur Symmetrie:
Einfach in die Definition einsetzen:
z.z.: [mm] $s_1 [/mm] R [mm] s_2 \Rightarrow s_2 [/mm] R [mm] s_1$
[/mm]
[mm] s_1 R s_2 \gdw \forall\varepsilon\in\IR>0 \exists n_{0}\in\IN \forall m\ge n_{0} : \summe_{n=n_{0}}^{m} (s_1(n)-s_2(n))² < \varepsilon[/mm]
[mm]\gdw \forall\varepsilon\in\IR>0 \exists n_{0}\in\IN \forall m\ge n_{0} : \summe_{n=n_{0}}^{m} (s_2(n)-s_1(n))² < \varepsilon \gdw s_2 R s_1[/mm]
Schwierig wird die Transitivität, da musst du eine Art Dreiecksungleichung verwenden, die so wie in a) aussieht, denke ich mal. Du hast ja: [mm] $s_1 [/mm] R _2$ und [mm] $s_2 [/mm] R [mm] s_3$.
[/mm]
Du musst zeigen [mm] $s_1 [/mm] R [mm] s_3$, [/mm] also dass gilt:
[mm]\forall\varepsilon\in\IR>0 \exists n_{0}\in\IN \forall m\ge n_{0} : \summe_{n=n_{0}}^{m} (s_1(n)-s_3(n))² < \varepsilon[/mm]
Das weitere vorgehen wäre nun also die einzelnen Summanden noch über die Dreiecksungleichung auf sie Form [mm](s_1(n)-s_2(n))² + (s_2(n)-s_3(n))²[/mm] und von denen weisst du dass sie kleiner sind jeweils als z.B. Epsilon/2.
Na dann viel Spaß!
Gruß Micha
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:51 Do 26.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Micha und alle anderen Leser dieser Frage,
>
> Zur Reflexivität:
> Du musst hier zeigen, dass sRs gilt für jedes s aus S.
>
> Also:
> [mm]\forall\varepsilon\in\IR>0 \exists n_{0}\in\IN \forall m\ge n_{0} : \summe_{n=n_{0}}^{m} (s(n)-s(n))² < \varepsilon.[/mm]
>
> Naja gut und in der Summe summiert man immer 0 auf und dann
> suche ich ein [mm]n_0[/mm], ab dem die Summe aller Nullen kleiner
> ist als ein beliebiges Epsilon und das gilt wohl für alle
> [mm]n_0 \in \IN[/mm], also auch mindestens für eines.
Kann ich das so schreiben:
[mm] s_{1}Rs_{1} [/mm] , da [mm] s_{1}-s_{1}=0 \Rightarrow s_{1}=s_{1}
[/mm]
>
> Zur Symmetrie:
> Einfach in die Definition einsetzen:
> z.z.: [mm]s_1 R s_2 \Rightarrow s_2 R s_1[/mm]
>
> [mm]s_1 R s_2 \gdw \forall\varepsilon\in\IR>0 \exists n_{0}\in\IN \forall m\ge n_{0} : \summe_{n=n_{0}}^{m} (s_1(n)-s_2(n))² < \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\gdw \forall\varepsilon\in\IR>0 \exists n_{0}\in\IN \forall m\ge n_{0} : \summe_{n=n_{0}}^{m} (s_2(n)-s_1(n))² < \varepsilon \gdw s_2 R s_1[/mm]
Das krieg ich mathematisch nicht auf die Reihe. Es geht aber darum, dass sowohl [mm] (s_{1}-s_{2})² [/mm] mit [mm] (s_{2}-s_{1})² [/mm] übereinstimmt und beides kleiner [mm] \varepsilon [/mm] ist. Wären es jetzt zwei Funktionen würde ich sagen, dass damit auch [mm] f_{(a)}=f_{(b)} [/mm] und daher die Symmetrie gegeben ist. Wie geht das mit Folgen / Mengen ???
Vielleicht kann ich es ja so ausdrücken:
Wenn [mm] s_{1}Rs_{2} [/mm] und [mm] \varepsilon>0, [/mm] dann gibt es ein [mm] n_{0}, [/mm] so dass alle [mm] n>n_{0} [/mm] der Ungleichung
[mm] (s_{1}(n)-s_{2}(n))²<\varepsilon
[/mm]
genügen. Da das Quadrat das Vorzeichen der Differenz ignoriert, gilt ebenso
[mm] (s_{2}(n)-s_{1}(n))²<\varepsilon
[/mm]
woraus folgt: [mm] s_{1}Rs_{2}
[/mm]
Transivität:
Es wird [mm] s_{1}Rs_{2} [/mm] und [mm] s_{2}Rs_{3} [/mm] und weiterhin [mm] \varepsilon>0. [/mm] Dann gibt es einerseits eine Zahl [mm] n_{0} [/mm] mit
[mm] (s_{1}(n)-s_{2}(n))²<\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
und andererseits eine Zahl [mm] n_{1} [/mm] mit
[mm] (s_{2}(n)-s_{3}(n))²<\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Jetzt bin ich dabei, die Ungleichungen, wie Micha es sagte, in die Dreiecksungleichung zu packen, hänge allerdings bei den Quadraten. Die Ungleichung aus a) sollte helfen. Wie? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Bis hierhin bin ich erstmal gekommen, vielleicht könnte es 'mal jemand querlesen und wenigsten mit "Nein" beantworten.
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Do 26.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Herby,
> Kann ich das so schreiben:
>
> [mm]s_{1}Rs_{1}[/mm] , da [mm]s_{1}-s_{1}=0 \Rightarrow s_{1}=s_{1}[/mm]
du meinst das richtige, aber schreibst es falsch, es geht so:
für $ [mm] s_1=s_1 [/mm] $ gilt $ [mm] s_{1}-s_{1}=0 [/mm] $ (für alle n), deshalb gibt es zu jedem Epsilon ein [mm] n_o [/mm] (nämlich ein beliebiges), so dass die Summe kleiner als Epsilon ist (denn die summe ist eine summe aus Nullen, also auch wieder Null) => s1Rs1
> Vielleicht kann ich es ja so ausdrücken:
> Wenn [mm]s_{1}Rs_{2}[/mm] und [mm]\varepsilon>0,[/mm] dann gibt es ein
> [mm]n_{0},[/mm] so dass alle [mm]n>n_{0}[/mm] der Ungleichung
>
> [mm](s_{1}(n)-s_{2}(n))²<\varepsilon[/mm]
>
> genügen. Da das Quadrat das Vorzeichen der Differenz
> ignoriert, gilt ebenso
>
> [mm](s_{2}(n)-s_{1}(n))²<\varepsilon[/mm]
>
> woraus folgt: [mm]s_{1}Rs_{2}[/mm]
>
Ganz genau !! (Wenn du die Summen noch dazuschreibst) Das wurde auch so gemeint - du hast es nur etwas länger ausgedrückt
> Transivität:
>
> Es wird [mm]s_{1}Rs_{2}[/mm] und [mm]s_{2}Rs_{3}[/mm] und weiterhin
> [mm]\varepsilon>0.[/mm] Dann gibt es einerseits eine Zahl [mm]n_{0}[/mm] mit
>
> [mm](s_{1}(n)-s_{2}(n))²<\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> und andererseits eine Zahl [mm]n_{1}[/mm] mit
>
> [mm](s_{2}(n)-s_{3}(n))²<\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
>
STOP: Die Summen fehlen hier schon ! Aber wenn du die dazu schreibst, dann wähle das größere der beiden n's aus und fassen die Summe der Summen zu einer Summe zusammen, dann erhälst du solche Terme IN der Summe
$ [mm] (s_1(n)-s_2(n))^2+(s_2(n)-s_3(n))^2 [/mm] $ , dies könntest du nun direkt mit der Dreiecksungleichung nach unten abschätzen durch $ [mm] (s_1(n)-s_3(n))^2 [/mm] $, WENN [mm] s_i(n) [/mm] ist ein Punkt im $ [mm] \IR^2 [/mm] $ wäre (schau bitte nochmal nach)
> Jetzt bin ich dabei, die Ungleichungen, wie Micha es sagte,
> in die Dreiecksungleichung zu packen, hänge allerdings bei
> den Quadraten. Die Ungleichung aus a) sollte helfen. Wie?
>
Das weiß ich bisher auch nicht so recht - ich hoffe mal auf einen Tippfehler von dir^^
> Bis hierhin bin ich erstmal gekommen, vielleicht könnte es
> 'mal jemand querlesen und wenigsten mit "Nein"
> beantworten.
Genau das wollte ich eigentlich nur machen, deshalb "teilweise beantwortet"
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Do 26.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hi DaMenge,
dass ich die Summe vergessen habe war nur Dusselkram, sorry!
>
> STOP: Die Summen fehlen hier schon ! Aber wenn du die dazu
> schreibst, dann wähle das größere der beiden n's aus und
> fassen die Summe der Summen zu einer Summe zusammen, dann
> erhälst du solche Terme IN der Summe
> [mm](s_1(n)-s_2(n))^2+(s_2(n)-s_3(n))^2[/mm] , dies ...
Mein Problem ist, dass ich aber aufgrund der Formen (a-b)² bzw. (b-c)² dann nicht auf (a-c)² komme, besser gesagt nicht weiß wie!
edit: Vielleicht liege ich ja auch völlig verkehrt mit meinen Gedanken und muss das Ganze anders sehen!
> ... könntest du nun
> direkt mit der Dreiecksungleichung nach unten abschätzen
> durch [mm](s_1(n)-s_3(n))^2 [/mm], WENN [mm]s_i(n)[/mm] ist ein Punkt im
> [mm]\IR^2[/mm] wäre (schau bitte nochmal nach)
Die Menge S ist definiert durch [mm] s:\IN \rightarrow \IR [/mm] - reicht dir das??
>
> > Jetzt bin ich dabei, die Ungleichungen, wie Micha es sagte,
> > in die Dreiecksungleichung zu packen, hänge allerdings bei
> > den Quadraten. Die Ungleichung aus a) sollte helfen. Wie?
>
> Das weiß ich bisher auch nicht so recht - ich hoffe mal auf
> einen Tippfehler von dir^^
Was für ein Tippfehler? Wo sollte der sein? Sag mir das bitte, vielleicht hilft mir auch das, den ganzen Ablauf zu verstehen!
Danke DaMenge für's Querlesen
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Do 26.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Herby,
> Mein Problem ist, dass ich aber aufgrund der Formen (a-b)²
> bzw. (b-c)² dann nicht auf (a-c)² komme, besser gesagt
> nicht weiß wie!
> edit: Vielleicht liege ich ja auch völlig verkehrt mit
> meinen Gedanken und muss das Ganze anders sehen!
Nein, nein - du siehst das schon richtig, genau das muss noch gezeigt werden.
> Die Menge S ist definiert durch [mm]s:\IN \rightarrow \IR[/mm] -
> reicht dir das??
schade, genau hier dachte ich an einen Tippfehler, wenn es so definiert wäre : [mm]s:\IN \rightarrow \IR^2[/mm] , dann wären a,b und c oben Punkte in der Ebene, also bilden sie zusammen ein Dreieck, deshalb würde obige Behauptung sofort aus der Dreiecksungleichung folgen !
Aber dem scheint ja nicht so, deshalb weiß ich auch nicht sofort weiter.
Vielleicht setze ich mich mal gleich nach einem Kaffee mit Zettel und Papier hin - solange bleibt deine Frage aber offen...
viele sonnige Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Do 26.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo DaMenge!
Warum soll die Dreiecksungleichung nur für den Betrag (euklidischen Abstand) im [mm] $\IR^2$ [/mm] gelten? Der Betrag ist doch auch eine Metrik in [mm] $\IR$, [/mm] damit gilt auch für den Betrag die Dreiecksungleichung. ~~> Frage beantwortet, oder?
Gruß Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 26.05.2005 | | Autor: | taura |
Hi!
Ich glaube eine Lösung zu haben, die deinen Aufgabenteil a) verwendet:
Also du sollst ja zeigen: [mm]s_1Rs_2 \wedge s_2Rs_3 \ \Rightarrow \ s_1Rs_3[/mm]
Sei nun [mm]\epsilon > 0[/mm] bel. gegeben.
Dann weißt du:
[mm]\exists n_1 \in \IN: \forall m>n_1: \summe_{n=n_1}^{m} (s_1(n)-s_2(n))^2<\br{\epsilon}{4}[/mm] und
[mm]\exists n_2 \in \IN: \forall m>n_2: \summe_{n=n_2}^{m} (s_2(n)-s_3(n))^2<\br{\epsilon}{4}[/mm]
zu zeigen:
[mm]\exists n_0 \in \IN: \forall m>n_0: \summe_{n=n_0}^{m} (s_1(n)-s_3(n))^2<\epsilon[/mm]
Wähle nun [mm]n_0=max\{n_1,n_2\}[/mm], dann gilt für bel. [mm]m>n_0[/mm]:
[mm]\summe_{n=n_0}^{m} (s_1(n)-s_3(n))^2[/mm]
[mm]=\summe_{n=n_0}^{m} (s_1(n)-s_2(n)+s_2(n)-s_3(n))^2[/mm]
[mm]=\summe_{n=n_0}^{m} ((s_1(n)-s_2(n))+(s_2(n)-s_3(n)))^2[/mm]
(hier kommt Aufgabenteil a) zum tragen)
[mm]\le \summe_{n=n_0}^{m} 2((s_1(n)-s_2(n))^2+(s_2(n)-s_3(n))^2)[/mm]
[mm]=2\left(\summe_{n=n_0}^{m} (s_1(n)-s_2(n))^2+\summe_{n=n_0}^{m}(s_2(n)-s_3(n))^2)\right)[/mm]
[mm]<2*\left(\br{\epsilon}{4}+\br{\epsilon}{4}\right)[/mm]
[mm]=\epsilon[/mm]
Womit, so hoffe ich, die Behauptung gezeigt wäre.
Ich hoffe, das hilft dir weiter bzw. es ist richtig. Falls irgendwas unklar sein sollte, frag einfach nach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo ihr vier (ups, einen vergessen),
... so'n Mist. Da war Taura schneller als ich...
eine ausführlichere Antwort kommt noch......
...bis dahin
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Baddi,
Hallo Micha,
Hallo DaMenge,
und natürlich
Hallo Taura,
> Hi!
>
> Ich glaube eine Lösung zu haben, die deinen Aufgabenteil a)
> verwendet:
Da hast du vollkommen recht! Begründung: Ich bin ja auf das gleiche Ergebnis gekommen.
>
> Also du sollst ja zeigen: [mm]s_1Rs_2 \wedge s_2Rs_3 \ \Rightarrow \ s_1Rs_3[/mm]
>
genau
> Sei nun [mm]\epsilon > 0[/mm] bel. gegeben.
> Dann weißt du:
> [mm]\exists n_1 \in \IN: \forall m>n_1: \summe_{n=n_1}^{m} (s_1(n)-s_2(n))^2<\br{\epsilon}{4}[/mm]
> und
> [mm]\exists n_2 \in \IN: \forall m>n_2: \summe_{n=n_2}^{m} (s_2(n)-s_3(n))^2<\br{\epsilon}{4}[/mm]
Hier hatte ich beim ersten Versuch, nachdem ich darauf gekommen war, dass es sich ja um drei Folgen handelt (nachher mehr), [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] angenommen, später aber auch auf [mm] \bruch{\varepsilon}{4} [/mm] korrigiert, siehe Ergebnis.
>
> zu zeigen:
> [mm]\exists n_0 \in \IN: \forall m>n_0: \summe_{n=n_0}^{m} (s_1(n)-s_3(n))^2<\epsilon[/mm]
Genau, ich Honk ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") . Wenn es ein [mm] n_{1} [/mm] gibt für die erste Summe und ein [mm] n_{2} [/mm] gibt für die zweite Summe, dann gibt es ein [mm] n_{0} [/mm] die beide einschließt, es liegt halt weiter draußen.
>
> Wähle nun [mm]n_0=max\{n_1,n_2\}[/mm], dann gilt für bel. [mm]m>n_0[/mm]:
> [mm]\summe_{n=n_0}^{m} (s_1(n)-s_3(n))^2[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=n_0}^{m} (s_1(n)-s_2(n)+s_2(n)-s_3(n))^2[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=n_0}^{m} ((s_1(n)-s_2(n))+(s_2(n)-s_3(n)))^2[/mm]
>
> (hier kommt Aufgabenteil a) zum tragen)
> [mm]\le \summe_{n=n_0}^{m} 2((s_1(n)-s_2(n))^2+(s_2(n)-s_3(n))^2)[/mm]
>
> [mm]=2\left(\summe_{n=n_0}^{m} (s_1(n)-s_2(n))^2+\summe_{n=n_0}^{m}(s_2(n)-s_3(n))^2)\right)[/mm]
>
> [mm]<2*\left(\br{\epsilon}{4}+\br{\epsilon}{4}\right)[/mm]
> [mm]=\epsilon[/mm]
>
> Womit, so hoffe ich, die Behauptung gezeigt wäre.
@ Taura, ich lass das einfach so stehen, weil besser hätte ich es nie hingekriegt.
>
> Ich hoffe, das hilft dir weiter bzw. es ist richtig. Falls
> irgendwas unklar sein sollte, frag einfach nach.
Sämtliche Fragen entschwinden im Nichts,
ich wünsche euch allen ein schönes Wochenende
Liebe Grüße
Herby
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Eins noch:
@ Baddi, ich habe noch mehrmals das mit Cauchy versucht und er steckt da tatsächlich drin ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ; dem Leser sei überlassen dies zu finden!
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![[totlach]](/images/smileys/totlach.gif "[totlach]"){kind=small}
