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| Aufgabe | Aufgabe 1.2. Wir betrachten die Menge M = R2 \ {(0, 0)} aller von (0, 0) verschiedenen
Paare reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass durch
(x1, y1) [mm] \sim [/mm] (x2, y2) () es existiert ein [mm] \lambda \in [/mm] 2 R mit x1 = [mm] \lambda [/mm] · x2 und y1 = [mm] \lambda [/mm] · y2
eine ¨Aquivalenzrelation auf M definiert wird.Geben Sie ein vollst¨andiges Repr¨asentantensystem
an und skizzieren Sie die ¨Aquivalenzklasse des Punktes (2, 1) in M. |
So nun mein ansatz:
1) Relexivität:
sei (x1 ; y1) [mm] \in [/mm] M
[mm] \Rightarrow [/mm] x1 = [mm] \lambda [/mm] * x1 und y1= [mm] \lambda [/mm] * y1
[mm] \gdw \lambda [/mm] = 1 und 1 [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] reflexiv
Stimmt das so?
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2) Symmetrie:
Vor.: (x1 ; y1) [mm] \sim [/mm] (x2 ; y2)
[mm] \Rightarrow [/mm] x1 = [mm] \lambda [/mm] *x2 und y1 = [mm] \lambda [/mm] y2
[mm] \gdw [/mm] x2 = [mm] \bruch{1}{ \lambda } [/mm] * x1 und y2 = [mm] \bruch{1}{ \lambda } [/mm] * y1
[mm] \Rightarrow [/mm] x2= [mm] \lambda [/mm] ' * x1 und y2 = [mm] \lambda [/mm] ' *y1 mit [mm] \lambda \in \IR \Rightarrow \lambda [/mm] ' [mm] \in \IR
[/mm]
Also folgt daraus die Relation ist symmetrisch.
Stimmt das?
3) Transivität:
Vor.: (x1 ; y1) [mm] \sim [/mm] (x2 ; y2) und (x2 ; y2) [mm] \sim [/mm] (x3 ; y3)
[mm] \Rightarrow [/mm] x1= [mm] \lambda [/mm] x2 y1= [mm] \lambda [/mm] y2
x2= [mm] \lambda [/mm] ' x3 y2= [mm] \lambda [/mm] ' y3
[mm] \Rightarrow [/mm] x1 = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda [/mm] ' *x3= [mm] \lambda [/mm] " x3
y1 = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda [/mm] ' *y3= [mm] \lambda [/mm] " y3
mit [mm] \lambda [/mm] "= [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda '\in \IR
[/mm]
also folgt daraus, die Relation ist transitiv.
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Hallo nochmal,
> 2) Symmetrie:
>
> Vor.: (x1 ; y1) [mm]\sim[/mm] (x2 ; y2)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x1 = [mm]\lambda[/mm] *x2 und y1 = [mm]\lambda[/mm] y2
Und [mm] $\lambda\neq [/mm] 0$ !! (warum?)
> [mm]\gdw[/mm] x2 = [mm]\bruch{1}{ \lambda }[/mm] * x1 und y2 = [mm]\bruch{1}{ \lambda }[/mm] * y1
> [mm]\Rightarrow[/mm] x2= [mm]\lambda[/mm] ' * x1 und y2 = [mm]\lambda[/mm] ' *y1
> mit [mm]\lambda \in \IR \Rightarrow \lambda[/mm] ' [mm]\in \IR[/mm]
>
> Also folgt daraus die Relation ist symmetrisch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Stimmt das?
>
>
> 3) Transivität:
>
> Vor.: (x1 ; y1) [mm]\sim[/mm] (x2 ; y2) und (x2 ; y2) [mm]\sim[/mm] (x3 ;
> y3)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x1= [mm]\lambda[/mm] x2 y1= [mm]\lambda[/mm] y2
> x2= [mm]\lambda[/mm] ' x3 y2= [mm]\lambda[/mm] ' y3
Und [mm] $\lambda,\lambda'\neq [/mm] 0$
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x1 = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\lambda[/mm] ' *x3= [mm]\lambda[/mm] " x3
> y1 = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\lambda[/mm] ' *y3= [mm]\lambda[/mm]
> " y3
>
> mit [mm]\lambda[/mm] "= [mm]\lambda[/mm] * [mm]\lambda '\in \IR[/mm]
>
> also folgt daraus, die Relation ist transitiv.
Jo
Gruß
schachuzipus
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Um auf [mm] \lambda \not= [/mm] 0 zurück zu kommen:
nach Vor. gilt (x1 ; y1) [mm] \sim [/mm] (x2 ; y2) und beide Tuple sind nach Aufgabenstellung [mm] \in [/mm] M und da gehört das Tuple (0;0) nicht zu, also muss [mm] \lambda \not= [/mm] 0 sein.
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Big_Head,
> Um auf [mm]\lambda \not=[/mm] 0 zurück zu kommen:
>
> nach Vor. gilt (x1 ; y1) [mm]\sim[/mm] (x2 ; y2) und beide Tuple
> sind nach Aufgabenstellung [mm]\in[/mm] M und da gehört das Tuple
> (0;0) nicht zu, also muss [mm]\lambda \not=[/mm] 0 sein.
>
> Richtig?
Ja. (Wäre [mm] $\lambda=0$, [/mm] so wäre [mm] $(x_1,y_1)=(0,0)$.)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Big_Head78,
> Aufgabe 1.2. Wir betrachten die Menge M = R2 \ {(0, 0)}
> aller von (0, 0) verschiedenen
> Paare reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass durch
> (x1, y1) [mm]\sim[/mm] (x2, y2) () es existiert ein [mm]\lambda \in[/mm] 2 R
> mit x1 = [mm]\lambda[/mm] · x2 und y1 = [mm]\lambda[/mm] · y2
> eine ¨Aquivalenzrelation auf M definiert wird.Geben Sie
> ein vollst¨andiges Repr¨asentantensystem
> an und skizzieren Sie die ¨Aquivalenzklasse des Punktes
> (2, 1) in M.
> So nun mein ansatz:
>
> 1) Relexivität:
>
> sei (x1 ; y1) [mm]\in[/mm] M
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x1 = [mm]\lambda[/mm] * x1 und y1= [mm]\lambda[/mm] * y1
Wieso und woraus folgt das?
Du sollst doch erst zeigen, dass es ein entsprechendes [mm]\lambda\in\IR[/mm] gibt, so dass [mm]x_1=\lambda x_1[/mm] und [mm]y_1=\lambda y_1[/mm], dass also [mm] $(x_1,y_1)\sim (x_1,y_1)$
[/mm]
> [mm]\gdw \lambda[/mm] = 1 und 1 [mm]\in \IR \Rightarrow[/mm] reflexiv
>
> Stimmt das so?
Du meinst das richtig, es ist aber kolossal schlecht aufgeschrieben ...
Ich schreib's mal sauber auf:
zz.: [mm]\sim[/mm] ist reflexiv, dh. für alle [mm](x_1,y_1)\in M[/mm] gilt: [mm](x_1,y_1)\sim (x_1,y_1)[/mm]
Dazu ist zu zeigen: Es ex. ein [mm]\lambda\in\IR[/mm] mit [mm]x_1=\lambda x_1[/mm] und [mm]y_1=\lambda y_1[/mm]
Wähle [mm]\lambda=1\in\IR[/mm]
Dann gilt [mm]x_1=\lambda x_1[/mm] und [mm]y_1=\lambda y_1[/mm], also [mm](x_1,y_1)\sim (x_1,y_1)[/mm]
Also [mm]\sim[/mm] reflexiv
Gruß
schachuzipus
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Ok so weit...
Das Bild der ÄK von (2;1) ist doch wenn ich es einsetze und nach y auflöse eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung m=0,5, oder?
Alle Pkts dieser Geraden erfüllen ja die Relation bzgl. (2;1), oder?
Aber das mit dem Repräsentantensystem verstehe ich nicht, ich begreife die Def an der Stelle wohl nicht. Wonach suche ich denn jetzt ganz konkret? Vom Von dem was ich verstanden habe, könnte ich mir gut vorstellen, das es sich hierbei um einen Halbkreis handeln könnte...aber nur ne blasse Idee.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Das Bild der ÄK von (2;1) ist doch wenn ich es einsetze
> und nach y auflöse eine Gerade durch den Ursprung mit der
> Steigung m=0,5, oder?
Fast! Diese Gerade ohne den Punkt (0,0).
> Aber das mit dem Repräsentantensystem verstehe ich nicht,
> ich begreife die Def an der Stelle wohl nicht. Wonach suche
> ich denn jetzt ganz konkret?
Von jeder Äquivalenzklasse genau einen Repräsentanten.
> Vom Von dem was ich verstanden
> habe, könnte ich mir gut vorstellen, das es sich hierbei
> um einen Halbkreis handeln könnte...aber nur ne blasse
> Idee.
Gute Idee! Du meinst sicherlich einen Halbkreis mit Mittelpunkt (0,0), wobei wir genau einen der beiden "Endpunkte" dazuzählen. Das ist eine Möglichkeit, ein Repräsentantensystem zu erhalten.
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Ja das dachte ich mir schon mit dem Pkt (0;0).
> Von jeder Äquivalenzklasse genau einen Repräsentanten
Genau und das sind doch unendlich viele Geraden um den Ursprung, der nicht dazu gehört, quasi wie der Uhrzeiger?!
Und den Halbkreis würde ich beschreiben mit:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1 mit 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und -1 < y [mm] \le [/mm] 1
Was könnte denn eine weitere Möglichkeit sein, um ein Repräsentantensyst. anzugeben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Von jeder Äquivalenzklasse genau einen Repräsentanten
> Genau und das sind doch unendlich viele Geraden um den
> Ursprung, der nicht dazu gehört, quasi wie der
> Uhrzeiger?!
Ja. Die unendlich verlängerten Uhrzeiger (ohne den Nullpunkt) bilden gerade die Äquivalenzklassen.
> Und den Halbkreis würde ich beschreiben mit:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 1 mit 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und -1 < y [mm]\le[/mm] 1
> Was könnte denn eine weitere Möglichkeit sein, um ein
> Repräsentantensyst. anzugeben?
Z.B.: [mm] (\{1\}\times\IR)\cup\{(0,1)\}
[/mm]
(senkrechte Gerade beschrieben durch $x=1$ und der Punkt $(0,1)$)
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