Äquivalenzrelation, Filter < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Relation [mm] $\approx_{\mathcal{F}}$ [/mm] definiert auf [mm] $\prod_{i\in I} A_i$ [/mm] durch
[mm] $g\approx_{\mathcal{F}}h\Leftrightarrow\{i\in I|g(i)=h(i)\}\in\mathcal{F} [/mm] eine Aquivalenzrelation ist. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Zur erst einmal noch die Definition von [mm] $\prod_{i\in I} A_i$:
[/mm]
Angenommen [mm] \mathcal{F} [/mm] ist ein Filter auf einer nicht leeren Menge $I$ und [mm] $(A_i|i\in [/mm] I)$ ist eine Folge nicht leerer Mengen.
Wir bezeichnen die Menge aller Funktionen [mm] $f_i: I\to\bigcup_{i\in I} A_i$ [/mm] mit [mm] $f(i)\in A_i$ [/mm] mit [mm] $\prod_{i\in I} A_i$.
[/mm]
_
Nun zur Aufgabe.
Ich soll zeigen, dass [mm] $\approx_{\mathcal{F}}$ [/mm] eine Äquivalenzrelation ist. Dafür muss ich die Reflexivität, Transitivität und Symmetrie zeigen.
Zur Reflexivität:
[mm] $g\approx_{\mathcal{F}} g\Leftrightarrow \{i\in I|g(i)=g(i)\}\in \mathcal{F}$
[/mm]
Ich muss also zeigen, dass die Menge [mm] $\{i\in I|g(i)=g(i)\}$ [/mm] ein Element eines Filters ist.
Was mir nun leider unklar ist, ist wie zeige ich, dass die Menge
[mm] $\{i\in I|g(i)=g(i)\}$ [/mm] ein Element eines Filters ist?
Ich muss ja nicht zeigen, dass es ein Filter ist, also die Definition überprüfen.
Wie kann ich also zeigen, dass es sich hierbei jeweils um Elemente eines Filters handelt.
Edit:
Die Symmetrie und Transitivität zu zeigen sollte dann jedoch wieder trivial sein?
Die Symmetrie folgt direkt:
Sei [mm] $g\approx_{\mathcal{F}} [/mm] h$. Zeige [mm] $h\approx_{\mathcal{F}} [/mm] h$
Hier weiß ich ja, dass
[mm] $\{i\in I|g(i)=h(i)\}\in\mathcal{F}$ [/mm] ist. Dann ist aber natürlich auch die Menge
[mm] $\{i\in I|h(i)=g(i)\}\in\mathcal{F}\Leftrightarrow h\approx_{\mathcal{F}} [/mm] g$
Die Transitivität folgt auch direkt, wenn ich mich hoffentlich nicht vertue...
Die Reflexivität ist dann scheinbar das einzige Problem hier (auch wenn wohl nur ich dieses Problem habe...).
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Mo 27.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht teilst Du mal mit , wie der Filter $ [mm] \mathcal{F} [/mm] $ definiert ist !
Ich meine nicht die Def. des Begriffs "Filter", sondern: wie ist $ [mm] \mathcal{F} [/mm] $ definiert ?
FRED
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Entschuldigung, aber für [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist keine gesonderte Definition angegeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Mo 27.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo impliziteFunktion!
Ich gehe davon aus, dass [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ein beliebig vorgegebener Filter auf der Menge I ist.
Eine nähere Kenntnis, wie [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] genau aussieht, ist nicht erforderlich.
> Zeigen Sie, dass die Relation [mm]\approx_{\mathcal{F}}[/mm]
> definiert auf [mm]\prod_{i\in I} A_i[/mm] durch
>
> [mm]$g\approx_{\mathcal{F}}h\Leftrightarrow\{i\in I|g(i)=h(i)\}\in\mathcal{F}[/mm]
> eine Aquivalenzrelation ist.
> Ich soll zeigen, dass [mm]\approx_{\mathcal{F}}[/mm] eine
> Äquivalenzrelation ist. Dafür muss ich die Reflexivität,
> Transitivität und Symmetrie zeigen.
Ja.
> Zur Reflexivität:
>
Sei [mm] $g\in\prod_{i\in I}A_i$ [/mm] beliebig vorgegeben.
Dann gilt die Äquivalenz
> [mm]g\approx_{\mathcal{F}} g\Leftrightarrow \{i\in I|g(i)=g(i)\}\in \mathcal{F}[/mm]
>
> Ich muss also zeigen, dass die Menge [mm]\{i\in I|g(i)=g(i)\}[/mm]
> ein Element eines Filters ist.
Ja, zu zeigen ist [mm] $\{i\in I\;|\;g(i)=g(i)\}\in\mathcal{F}$.
[/mm]
Die Menge [mm] $\{i\in I\;|\;g(i)=g(i)\}$ [/mm] lässt sich stark vereinfacht darstellen...
Für welche [mm] $i\in [/mm] I$ gilt denn $g(i)=g(i)$?
> Die Symmetrie und Transitivität zu zeigen sollte dann
> jedoch wieder trivial sein?
Die Transitivität halte ich für am schwierigsten.
> Die Symmetrie folgt direkt:
>
> Sei [mm]g\approx_{\mathcal{F}} h[/mm]. Zeige [mm]h\approx_{\mathcal{F}} h[/mm]
(Tippfehler: Am Ende muss es natürlich [mm] $h\approx_{\mathcal{F}}g$ [/mm] heißen.)
> Hier weiß ich ja, dass
>
> [mm]\{i\in I|g(i)=h(i)\}\in\mathcal{F}[/mm] ist. Dann ist aber
> natürlich auch die Menge
>
> [mm]\{i\in I|h(i)=g(i)\}\in\mathcal{F}\Leftrightarrow h\approx_{\mathcal{F}} g[/mm]
Ja, denn es gilt [mm] $\{i\in I\;|\;h(i)=g(i)\}=\{i\in I\;|\;g(i)=h(i)\}$.
[/mm]
> Die Transitivität folgt auch direkt, wenn ich mich
> hoffentlich nicht vertue...
Nein, hier braucht man zwei Eigenschaften, die [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] als Filter besitzt.
Was kannst du für den Nachweis der Transitivität als gegeben annehmen und was musst du zeigen?
Viele Grüße
Tobias
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Hi tobit,
> Die Menge $ [mm] \{i\in I\;|\;g(i)=g(i)\} [/mm] $ lässt sich stark vereinfacht darstellen...
> Für welche $ [mm] i\in [/mm] I $ gilt denn $ g(i)=g(i) $?
Dies gilt für alle [mm] $i\in [/mm] I$
Also [mm] $\{i\in I\;|\;g(i)=g(i)\}=I$ [/mm] und [mm] $I\in\mathcal{F}$ [/mm] nach Definition des Filters.
Zur Transitivität:
Ich muss zeigen, dass wenn
[mm] $f\approx_{\mathcal{F}} [/mm] g$ und [mm] $g\approx_{\mathcal{F}} [/mm] j$, dann folgt
[mm] $f\approx_{\mathcal{F}} [/mm] j$
Ich weiß also, dass
[mm] $\{i\in I\;|\;f(i)=g(i)\}\in\mathcal{F}$ [/mm] und [mm] $\{i\in I\;|\;g(i)=j(i)\}\in\mathcal{F}$
[/mm]
Zeigen muss ich [mm] $\{i\in I\;|\;f(i)=j(i)\}\in\mathcal{F}$
[/mm]
Ausnutzen muss ich dann wahrscheinlich die Eigenschaft des Filters, dass wenn $X, [mm] Y\in\mathcal{F}$ [/mm] auch [mm] $X\cap Y\in\mathcal{F}$
[/mm]
Für eine Trivialität habe ich diese Aussage gehalten, weil ich dachte ich könnte einfach hier nun g(i) durch f(i) ersetzen, da diese ja für alle [mm] $i\in [/mm] I$ gleich sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Mo 27.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi tobit,
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> > Die Menge [mm]\{i\in I\;|\;g(i)=g(i)\}[/mm] lässt sich stark
> vereinfacht darstellen...
> > Für welche [mm]i\in I[/mm] gilt denn [mm]g(i)=g(i) [/mm]?
>
> Dies gilt für alle [mm]i\in I[/mm]
>
> Also [mm]\{i\in I\;|\;g(i)=g(i)\}=I[/mm] und [mm]I\in\mathcal{F}[/mm] nach
> Definition des Filters.
>
> Zur Transitivität:
>
> Ich muss zeigen, dass wenn
>
> [mm]f\approx_{\mathcal{F}} g[/mm] und [mm]g\approx_{\mathcal{F}} j[/mm], dann
> folgt
>
> [mm]f\approx_{\mathcal{F}} j[/mm]
>
> Ich weiß also, dass
>
> [mm]\{i\in I\;|\;f(i)=g(i)\}\in\mathcal{F}[/mm] und [mm]\{i\in I\;|\;g(i)=j(i)\}\in\mathcal{F}[/mm]
>
> Zeigen muss ich [mm]\{i\in I\;|\;f(i)=j(i)\}\in\mathcal{F}[/mm]
>
> Ausnutzen muss ich dann wahrscheinlich die Eigenschaft des
> Filters, dass wenn [mm]X, Y\in\mathcal{F}[/mm] auch [mm]X\cap Y\in\mathcal{F}[/mm]
Ja
FRED
>
> Für eine Trivialität habe ich diese Aussage gehalten,
> weil ich dachte ich könnte einfach hier nun g(i) durch
> f(i) ersetzen, da diese ja für alle [mm]i\in I[/mm] gleich sind.
>
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Zur Transitivität:
Ich betrachte die Menge [mm] $Z:=\{i\in I|g(i)=h(i)\}\cap\{i\in I|h(i)=j(i)\}\in\mathcal{F}$ [/mm] nach Definition des Filters.
Was ich mich nun erstmal gefragt habe ist, ob diese Menge auch immer nicht-leer ist. Die Frage war aber dumm, weil die Menge ja nach Definition ein Element des Filters ist und die leere Menge, ebenfalls nach Definition, kein Element eines Filters ist, also kann $Z$ nicht die leere Menge sein.
Für Elemente [mm] $x\in [/mm] Z$ gilt dann, es existieren [mm] $i\in [/mm] I$ so, dass $g(i)=h(i)$ und $h(i)=j(i)$.
Daher [mm] $Z=\{i\in I|g(i)=j(i)\}\in\mathcal{F}\Leftrightarrow g\approx_{\mathcal{F}} [/mm] j$
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Di 28.04.2015 | | Autor: | hippias |
> Zur Transitivität:
>
> Ich betrachte die Menge [mm]Z:=\{i\in I|g(i)=h(i)\}\cap\{i\in I|h(i)=j(i)\}\in\mathcal{F}[/mm]
> nach Definition des Filters.
>
> Was ich mich nun erstmal gefragt habe ist, ob diese Menge
> auch immer nicht-leer ist. Die Frage war aber dumm, weil
> die Menge ja nach Definition ein Element des Filters ist
> und die leere Menge, ebenfalls nach Definition, kein
> Element eines Filters ist, also kann [mm]Z[/mm] nicht die leere
> Menge sein.
Richtig.
>
> Für Elemente [mm]x\in Z[/mm] gilt dann, es existieren [mm]i\in I[/mm] so,
Obacht: Du meinst vermutlich nicht [mm] $x\in [/mm] Z$, sondern [mm] $i\in [/mm] Z$.
> dass [mm]g(i)=h(i)[/mm] und [mm]h(i)=j(i)[/mm].
> Daher [mm]Z=\{i\in I|g(i)=j(i)\}\in\mathcal{F}\Leftrightarrow g\approx_{\mathcal{F}} j[/mm]
Nein, ich wuesste nicht, weshalb $Z= [mm] \{i\in I|g(i)=j(i)\}$ [/mm] sein sollte: wenn $g(i)= j(i)$ ist, wieso sollte dann auch $h(i)= g(i)$ und $h(i)= j(i)$ gelten? $g$, $j$ und $h$ haben per se nichts miteinander zu tun.
Nennen wir mal [mm] $\{i\in I|g(i)=j(i)\}=: [/mm] Z'$. Ueberlege Dir, welche Beziehung zwischen $Z$ und $Z'$ gilt (es ist i.a. keine Gleichheit) und mit welcher Filtereigenschaft man daraus schlussfolgern kann, dass [mm] $Z'\in \mathcal{F}$ [/mm] gilt.
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Ein Filter hat noch die weitere Eigenschaft, dass wenn [mm] $X\in\mathcal{F}$ [/mm] und [mm] $Y\subseteq [/mm] I$ mit [mm] $X\subseteq [/mm] Y$, dann [mm] $Y\in\mathcal{F}$.
[/mm]
Ich weiß, dass [mm] $Z\in\mathcal{F}$ [/mm] ist.
Um die Eigenschaft ausnutzen zu können müsste ich also zeigen, dass [mm] $Z\subseteq [/mm] Z'$ ist, denn dann ist [mm] $Z'\in\mathcal{F}$, [/mm] was ich ja zeigen möchte.
Ich hätte aber gedacht, dass [mm] $Z'\subseteq [/mm] Z$ gilt, also genau umgekehrt.
Jetzt habe ich nochmal darüber nachgedacht, aber mein erster Eindruck wahr wohl (zum Glück) falsch.
Sei also [mm] $i\in [/mm] Z$, dann gilt $g(i)=h(i)$ und $h(i)=j(i)$. Für alle [mm] $i\in [/mm] A$ ist somit $g(i)=j(i)$, also ist [mm] $i\in [/mm] Z'$ und [mm] $Z\subseteq [/mm] Z'$.
Und Obermengen von Elementen eines Filters, sind ebenfalls in dem Filter enthalten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 28.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ein Filter hat noch die weitere Eigenschaft, dass wenn
> [mm]X\in\mathcal{F}[/mm] und [mm]Y\subseteq I[/mm] mit [mm]X\subseteq Y[/mm], dann
> [mm]Y\in\mathcal{F}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich weiß, dass [mm]Z\in\mathcal{F}[/mm] ist.
> Um die Eigenschaft ausnutzen zu können müsste ich also
> zeigen, dass [mm]Z\subseteq Z'[/mm] ist, denn dann ist
> [mm]Z'\in\mathcal{F}[/mm], was ich ja zeigen möchte.
> Ich hätte aber gedacht, dass [mm]Z'\subseteq Z[/mm] gilt, also
> genau umgekehrt.
>
> Jetzt habe ich nochmal darüber nachgedacht, aber mein
> erster Eindruck wahr wohl (zum Glück) falsch.
> Sei also [mm]i\in Z[/mm], dann gilt [mm]g(i)=h(i)[/mm] und [mm]h(i)=j(i)[/mm].
Es folgt $g(i)=j(i)$ (für dieses i).
> Für
> alle [mm]i\in A[/mm] ist somit [mm]g(i)=j(i)[/mm],
$i$ bezeichnet schon unser (beliebig vorgegebenes) Element von $Z$; daher ist es ungünstig, mit der Variable i zu quantifizieren.
Mit $A$ hast du dich wohl irgendwie verschrieben; jedenfalls weiß ich nicht, was $A$ bezeichnet.
> also ist [mm]i\in Z'[/mm] und
damit
> [mm]Z\subseteq Z'[/mm].
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Oh, du hast recht. Das A soll natürlich Z sein...
Das liegt daran, das ich bei mir auf dem Zettel die Mengen mit A und A' bezeichnet habe und nicht mit Z und Z'...
Ja, ich hatte mir schon gedacht, dass ich das $i$ irgendwie spezifizieren muss, etwa [mm] $i_k$. [/mm] Und ich weiß ja, dass mindestens ein [mm] $i_k$ [/mm] existieren muss für das [mm] $g(i_k)=j(i_k)$ [/mm] gilt, weil der Schnitt ja nicht leer ist.
Die Rückrichtung wäre also bis auf kleinere Ungenauigkeiten korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 28.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ja, ich hatte mir schon gedacht, dass ich das [mm]i[/mm] irgendwie
> spezifizieren muss, etwa [mm]i_k[/mm].
Nein, die Bezeichnung i war schon völlig in Ordnung!
> Und ich weiß ja, dass
> mindestens ein [mm]i_k[/mm] existieren muss für das [mm]g(i_k)=j(i_k)[/mm]
> gilt, weil der Schnitt ja nicht leer ist.
Ja, aber dies brauchen wir für die Aufgabe gar nicht.
> Die Rückrichtung wäre also bis auf kleinere
> Ungenauigkeiten korrekt?
(Rückrichtung? Du meinst die Transitivität, oder?)
Ja!
(Sicherheitshalber noch mal mein Vorschlag eines Beweises von [mm] $Z\subseteq [/mm] Z'$:
Sei [mm] $i\in [/mm] Z$. Dann gilt $g(i)=h(i)$ und $h(i)=j(i)$ und somit auch $g(i)=j(i)$. Es folgt [mm] $i\in [/mm] Z'$.)
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Ja, natürlich meinte ich die Transitivität... falscher Thread. :)
Vielen Dank für die Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Mo 27.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo impliziteFunktion!
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> Ich gehe davon aus, dass [mm]\mathcal{F}[/mm] ein beliebig
> vorgegebener Filter auf der Menge I ist.
>
> Eine nähere Kenntnis, wie [mm]\mathcal{F}[/mm] genau aussieht, ist
> nicht erforderlich.
Hallo tobit,
Du hast natürlich recht. Da hätte ich auch von alleine draufkommen müssen .....
Gruß FRED
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