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Forum "Relationen" - Äquivalenzrelation, Folgen
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Äquivalenzrelation, Folgen: Cauchyfolgen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Di 06.05.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Für rationale Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] sei [mm] $E_2$ [/mm] definiert als:

[mm] $((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}})\in E_2\Leftrightarrow [/mm]

[mm] (y_n)_{n\in\mathbb{N}}-(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{Nullfolge}$ [/mm]

Ich schreibe im folgenden mal für [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] nur [mm] $x_n$ [/mm] bzw. [mm] $y_n$. [/mm]

Ich muss ja wieder drei Dinge zeigen:

1) Reflexivität
2) Symmetrie
3) Transitivität

zu 1)

[mm] $(x_n,x_n)\in E_2\Leftrightarrow x_n-x_n$ [/mm] Nullfolge.

Das ist offensichtlich erfüllt.

zu 2)

Sei [mm] $(x_n,y_n)\in E_2$ [/mm]

Zu zeigen: [mm] $(y_n,x_n)\in E_2$ [/mm]

[mm] $(x_n,y_n)\in E_2\Leftrightarrow y_n-x_n\text{Nullfolge}$ [/mm]

Das dann auch [mm] $x_n-y_n$ [/mm] eine Nullfolge ist, ist mir klar. Sie würde sich halt nur "umgekehrt" an die Null annähern.
Wie könnte ich dies jedoch formal aufschreiben?

[mm] $y_n-x_n=0\Leftrightarrow -(y_n-x_n)=0 [/mm]

[mm] x_n-y_n=0\Leftrightarrow (y_n,x_n)\in E_2$ [/mm]

Ich bin mir nicht sicher, weil wir in dieser Vorlesung noch nicht die Limesschreibweise benutzt haben und diese "Gleichheit" ja eigentlich nicht gilt, sondern nur für n gegen unendlich...

zu 3)

Sei [mm] $(x_n, y_n)\in E_2 [/mm] und [mm] (y_n, z_n)\in E_2$ [/mm]

Zu zeigen: [mm] $(x_n,z_n)\in E_2$ [/mm]

[mm] $(x_n, y_n)\in E_2 [/mm] und [mm] (y_n, z_n)\in E_2\Leftrightarrow$ [/mm]

[mm] $y_n-x_n$ [/mm] Nullfolge

[mm] $z_n-y_n$ [/mm] Nullfolge

Wenn ich beides addiere (auch hier bin ich unsicher ob ich das eigentlich darf. Die Grenzwertsätze sind natürlich bekannt, aber nicht in dieser Vorlesung)

[mm] $y_n-x_n+z_n-y_n$ [/mm] Nullfolge

[mm] $z_n-x_n Nullfolge\Leftrightarrow (x_n,z_n)\in E_2$ [/mm]

Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Äquivalenzrelation, Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Di 06.05.2014
Autor: fred97


> Für rationale Folgen
> [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] sei [mm]E_2[/mm]
> definiert als:
>  
> [mm]$((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}})\in E_2\Leftrightarrow[/mm]
>
> [mm](y_n)_{n\in\mathbb{N}}-(x_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{Nullfolge}$[/mm]
>  
> Ich schreibe im folgenden mal für
> [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] nur [mm]x_n[/mm] bzw.
> [mm]y_n[/mm].
>  
> Ich muss ja wieder drei Dinge zeigen:
>  
> 1) Reflexivität
>  2) Symmetrie
>  3) Transitivität
>  
> zu 1)
>  
> [mm](x_n,x_n)\in E_2\Leftrightarrow x_n-x_n[/mm] Nullfolge.
>
> Das ist offensichtlich erfüllt.
>  
> zu 2)
>  
> Sei [mm](x_n,y_n)\in E_2[/mm]
>  
> Zu zeigen: [mm](y_n,x_n)\in E_2[/mm]
>  
> [mm](x_n,y_n)\in E_2\Leftrightarrow y_n-x_n\text{Nullfolge}[/mm]
>  
> Das dann auch [mm]x_n-y_n[/mm] eine Nullfolge ist, ist mir klar. Sie
> würde sich halt nur "umgekehrt" an die Null annähern.
>  Wie könnte ich dies jedoch formal aufschreiben?
>  
> [mm]$y_n-x_n=0\Leftrightarrow -(y_n-x_n)=0[/mm]
>  
> [mm]x_n-y_n=0\Leftrightarrow (y_n,x_n)\in E_2$[/mm]
>  
> Ich bin mir nicht sicher, weil wir in dieser Vorlesung noch
> nicht die Limesschreibweise benutzt haben und diese
> "Gleichheit" ja eigentlich nicht gilt, sondern nur für n
> gegen unendlich...

So ist es.

[mm] (x_n-y_n) [/mm]  ist eine Nullfolge [mm] \gdw (|x_n-y_n|) [/mm]  ist eine Nullfolge.

Nun benutze [mm] |x_n-y_n|=|y_n-x_n| [/mm]

>  
> zu 3)
>  
> Sei [mm](x_n, y_n)\in E_2 und (y_n, z_n)\in E_2[/mm]
>  
> Zu zeigen: [mm](x_n,z_n)\in E_2[/mm]
>  
> [mm](x_n, y_n)\in E_2 und (y_n, z_n)\in E_2\Leftrightarrow[/mm]
>  
> [mm]y_n-x_n[/mm] Nullfolge
>  
> [mm]z_n-y_n[/mm] Nullfolge
>  
> Wenn ich beides addiere (auch hier bin ich unsicher ob ich
> das eigentlich darf. Die Grenzwertsätze sind natürlich
> bekannt, aber nicht in dieser Vorlesung)

Dass die Summe zweier Nullfolgen wieder eine Nullfolge ist brauchst Du.


>  
> [mm]y_n-x_n+z_n-y_n[/mm] Nullfolge
>  
> [mm]z_n-x_n Nullfolge\Leftrightarrow (x_n,z_n)\in E_2[/mm]

O.K.

FRED

>  
> Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation, Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 Di 06.05.2014
Autor: YuSul

Stimmt, ich kann ja einfach den Betrag nehmen.

Vielen Dank für die Kontrolle.

Bezug
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