www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Relationen" - Äquivalenzrelation beweisen
Äquivalenzrelation beweisen < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Relationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Äquivalenzrelation beweisen: Zirkulär ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 So 06.04.2014
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Wir nennen eine Relation R [mm] \subseteq [/mm] A x A zirkulär, falls gilt:
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] A : aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => cRa

Beweisen Sie: R ist reflexiv und zirkulär genau dann, wenn R Äquivalenzrelation ist.

Hallo,

bei der Reflexivität habe ich folgendes Problem: Ich habe 3 Variablen [mm] \in [/mm] A , wie soll ich da die Reflexivität beweisen. Wenn es nur zwei wären, wäre es kein Problem. Ist auch die Frage, ob ich unbedingt alle 3 Variablen (a,b,c) brauche.
Stehe hier also auf dem Schlauch. Wäre für jeden Ansatz dankbar.



Weitere Frage: Wie kann ich mir dieses "zirkulär" vorstellen anhand der vorgegebenen Relation ? Ist das so ähnlich wie die Transitivität ? Denn mal bildlich vorgestellt: " von a gehe ich nach b , von b nach c und von c nach a " sozusagen sowas wie ein "abgeschlossenes System" ?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 So 06.04.2014
Autor: tobit09

Hallo pc_doctor!


> Wir nennen eine Relation R [mm]\subseteq[/mm] A x A zirkulär, falls
> gilt:
>  [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in[/mm] A : aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => cRa

>  
> Beweisen Sie: R ist reflexiv und zirkulär genau dann, wenn
> R Äquivalenzrelation ist.


> bei der Reflexivität habe ich folgendes Problem: Ich habe
> 3 Variablen [mm]\in[/mm] A , wie soll ich da die Reflexivität
> beweisen.

Bei welcher der beiden Richtungen bist du gerade?
Die Reflexivität ist bei beiden Richtungen doch schon vorausgesetzt.


>  Stehe hier also auf dem Schlauch. Wäre für jeden Ansatz
> dankbar.

Fangen wir mal mit der Rück-Richtung an.

Sei also $R$ eine Äquivalenzrelation.
Zu zeigen ist, dass $R$ reflexiv und zirkulär ist.

Reflexiv ist $R$ natürlich nach Definition einer Äquivalenzrelation.

Zu zeigen ist also noch, dass $R$ zirkulär ist.

Seien also [mm] $a,b,c\in [/mm] A$ mit $aRb$ und $bRc$.
Zu zeigen ist $cRa$.

Was kannst du aus $aRb$ und $bRc$ mittels der Eigenschaften, die $R$ als Äquivalenzrelation besitzt, schlussfolgern?


> Weitere Frage: Wie kann ich mir dieses "zirkulär"
> vorstellen anhand der vorgegebenen Relation ? Ist das so
> ähnlich wie die Transitivität ?

Ja, nur dass die Konklusion $cRa$ anstelle von $aRc$ lautet.

> Denn mal bildlich
> vorgestellt: " von a gehe ich nach b , von b nach c und von
> c nach a " sozusagen sowas wie ein "abgeschlossenes System"
> ?

Wenn man sich $aRb$ als

      "man kann von $a$ nach $b$ gelangen"

vorstellt, so sagt die Zirkularität:

     "Wann immer man von einem Punkt [mm] $a\in [/mm] A$ über einen Punkt [mm] $b\in [/mm] A$ zu einem Punkt [mm] $c\in [/mm] A$ gelangen kann, kann man von $c$ zurück zu $a$ gelangen."

Mit

     "man kann von $a$ über $b$ zu $c$ gelangen"

meine ich dabei

     "man kann von $a$ zu $b$ gelangen und man kann von $b$ zu $c$ gelangen".

Ob diese Vorstellung weiterhilft, sei dahingestellt...


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 So 06.04.2014
Autor: pc_doctor


>  Fangen wir mal mit der Rück-Richtung an.
>  
> Sei also [mm]R[/mm] eine Äquivalenzrelation.
>  Zu zeigen ist, dass [mm]R[/mm] reflexiv und zirkulär ist.
>  
> Reflexiv ist [mm]R[/mm] natürlich nach Definition einer
> Äquivalenzrelation.
>
> Zu zeigen ist also noch, dass [mm]R[/mm] zirkulär ist.
>  
> Seien also [mm]a,b,c\in A[/mm] mit [mm]aRb[/mm] und [mm]bRc[/mm].
>  Zu zeigen ist [mm]cRa[/mm].
>  
> Was kannst du aus [mm]aRb[/mm] und [mm]bRc[/mm] mittels der Eigenschaften,
> die [mm]R[/mm] als Äquivalenzrelation besitzt, schlussfolgern?

Ich kann schlussfolgern : die Symmetrieeigenschaft und die Transitivität.

aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => bRa [mm] \wedge [/mm] cRb

aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => aRc (transitiv)

Habe ich das richtig verstanden, dass man einfach nur bewesen muss, dass es eine Äq.rel. ist , also die drei bzw. zwei Eigenschaften beweisen muss ?


Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 So 06.04.2014
Autor: tobit09


> >  Fangen wir mal mit der Rück-Richtung an.

>  >  
> > Sei also [mm]R[/mm] eine Äquivalenzrelation.
>  >  Zu zeigen ist, dass [mm]R[/mm] reflexiv und zirkulär ist.
>  >  
> > Reflexiv ist [mm]R[/mm] natürlich nach Definition einer
> > Äquivalenzrelation.
> >
> > Zu zeigen ist also noch, dass [mm]R[/mm] zirkulär ist.
>  >  
> > Seien also [mm]a,b,c\in A[/mm] mit [mm]aRb[/mm] und [mm]bRc[/mm].
>  >  Zu zeigen ist [mm]cRa[/mm].
>  >  
> > Was kannst du aus [mm]aRb[/mm] und [mm]bRc[/mm] mittels der Eigenschaften,
> > die [mm]R[/mm] als Äquivalenzrelation besitzt, schlussfolgern?
>  
> Ich kann schlussfolgern : die Symmetrieeigenschaft und die
> Transitivität.
>  
> aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => bRa [mm]\wedge[/mm] cRb
>
> aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => aRc (transitiv)

Das sind korrekte Schlussfolgerungen.

Zeigen wollen wir ja $cRa$.
Du hast in deiner letzten Zeile schon $aRc$ gefolgert.
Mit welcher Eigenschaft, die $R$ als Äquivalenzrelation besitzt, folgt nun $cRa$?


> Habe ich das richtig verstanden, dass man einfach nur
> bewesen muss, dass es eine Äq.rel. ist , also die drei
> bzw. zwei Eigenschaften beweisen muss ?

Nein. Zu zeigen sind zwei Richtungen
1. Hin-Richtung
2. Rück-Richtung.

Wir haben auf meinen Vorschlag hin mit 2. angefangen.

2. besagt:

     WENN $R$ eine Äquivalenzrelation ist, ist $R$ reflexiv und zirkulär.

1. besagt:

     WENN $R$ reflexiv und zirkulär ist, ist $R$ eine Äquivalenzrelation.


Zum Nachweis von 1.:

Sei also $R$ als reflexiv und zirkulär vorausgesetzt.
Zeigen musst du:
( i) $R$ ist reflexiv )
ii) $R$ ist symmetrisch
iii) $R$ ist transitiv.

Bezug
                                
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 So 06.04.2014
Autor: pc_doctor


>  Das sind korrekte Schlussfolgerungen.
>  
> Zeigen wollen wir ja [mm]cRa[/mm].
>  Du hast in deiner letzten Zeile schon [mm]aRc[/mm] gefolgert.
>  Mit welcher Eigenschaft, die [mm]R[/mm] als Äquivalenzrelation
> besitzt, folgt nun [mm]cRa[/mm]?

Mit der Symmetrieeigenschaft der Äquivalenzrelation.



>
> Zum Nachweis von 1.:
>  
> Sei also [mm]R[/mm] als reflexiv und zirkulär vorausgesetzt.
>  Zeigen musst du:
>  ( i) [mm]R[/mm] ist reflexiv )
>  ii) [mm]R[/mm] ist symmetrisch
>  iii) [mm]R[/mm] ist transitiv.

Also muss ich zeigen

i )   aRa  , durch die Reflexivität von R ist das doch schon bewiesen , wenn wir diese voraussetzen ?

ii) aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => bRa [mm] \edge [/mm] cRb

iii) aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => aRc



Bezug
                                        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 So 06.04.2014
Autor: tobit09


> >  Das sind korrekte Schlussfolgerungen.

>  >  
> > Zeigen wollen wir ja [mm]cRa[/mm].
>  >  Du hast in deiner letzten Zeile schon [mm]aRc[/mm] gefolgert.
>  >  Mit welcher Eigenschaft, die [mm]R[/mm] als Äquivalenzrelation
> > besitzt, folgt nun [mm]cRa[/mm]?
>  Mit der Symmetrieeigenschaft der Äquivalenzrelation.

[ok]


> > Zum Nachweis von 1.:
>  >  
> > Sei also [mm]R[/mm] als reflexiv und zirkulär vorausgesetzt.
>  >  Zeigen musst du:
>  >  ( i) [mm]R[/mm] ist reflexiv )
>  >  ii) [mm]R[/mm] ist symmetrisch
>  >  iii) [mm]R[/mm] ist transitiv.
>
> Also muss ich zeigen
>  
> i )   aRa ,

für alle [mm] $a\in [/mm] A$

> durch die Reflexivität von R ist das doch
> schon bewiesen , wenn wir diese voraussetzen ?

[ok]


> ii) aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => bRa [mm]\wedge[/mm] cRb

Habt ihr Symmetrie so komisch definiert?

Üblicherweise definiert man:

Eine Relation $R$ auf $A$ heißt symmetrisch, wenn für alle [mm] $a,b\in [/mm] A$ gilt:

      [mm] $aRb\Rightarrow [/mm] bRa$.


> iii) aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => aRc

Ja, das ist für alle [mm] $a,b,c\in [/mm] A$ zu zeigen.


Zeige zunächst ii). Zeige dann iii) mittels Zirkularität und ii).


Zum Nachweis von ii):

Seien [mm] $a,b\in [/mm] A$ mit $aRb$.
Zu zeigen ist $bRa$.

Gemäß Reflexivität gilt $bRb$.
Wende nun die Zirkularität auf $a$, $b$ und $b$ an.

Bezug
                                                
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 So 06.04.2014
Autor: pc_doctor

Alles klar, vielen vielen Dank für deine aufgebrachte Mühe. Habs endlich kapiert, dankeschön.

Bezug
                                                
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 So 06.04.2014
Autor: pc_doctor

Hallo nochmal , habe noch eineFrage, die mir eingefallen ist




>

>
> Zeige zunächst ii). Zeige dann iii) mittels Zirkularität
> und ii).

ALso die Symmetrieeigenschaft.
Wieso ist es falsch , wenn ich aRb [mm] \wedge [/mm] bRc habe und dann die Symmetrie so zeige : bRa [mm] \wedge [/mm] cRb , damit habe ich die zweite Eigenschaft doch gezeigt , oder ?


Und bei der Reflexivität hatte ich gesagt aRa , das ist aber nur für a [mm] \in [/mm] A , was ist mit b und c ? Muss ich dann seperat noch mal bRb und cRc schreiben ?




> Gemäß Reflexivität gilt [mm]bRb[/mm].
>  Wende nun die Zirkularität auf [mm]a[/mm], [mm]b[/mm] und [mm]b[/mm] an.

Das verstehe ich leider nicht , wie meinst du das mit auf "a" und dann "b" und "c" , muss ich das 3 mal machen ?


Also speziell bei der Symmetrie würde ich das hier machen:

aRb => bRa
bRc => cRb damit habe ich die Symmetrie doch beiwesen oder ?

Bezug
                                                        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:41 Mo 07.04.2014
Autor: tobit09


> > Zeige zunächst ii). Zeige dann iii) mittels Zirkularität
> > und ii).
>  ALso die Symmetrieeigenschaft.
>  Wieso ist es falsch , wenn ich aRb [mm]\wedge[/mm] bRc habe und
> dann die Symmetrie so zeige : bRa [mm]\wedge[/mm] cRb , damit habe
> ich die zweite Eigenschaft doch gezeigt , oder ?

In der Tat ist die Eigenschaft

(*)     [mm] $\forall a,b,c\in A\colon (aRb\wedge bRc\Rightarrow bRa\wedge [/mm] cRb)$

äquivalent zur Symmetrie, die durch

       [mm] $\forall a,b\in A\colon (aRb\Rightarrow [/mm] bRa)$

definiert ist.

Du kannst die Symmetrie also durch (*) nachweisen, wenn du dir zusätzlich überlegst, dass aus (*) tatsächlich die Symmetrie folgt.

Aber warum so kompliziert? Die Symmetrie ist doch eine deutlich übersichtlichere Eigenschaft als Eigenschaft (*).


> Und bei der Reflexivität hatte ich gesagt aRa , das ist
> aber nur für a [mm]\in[/mm] A , was ist mit b und c ? Muss ich dann
> seperat noch mal bRb und cRc schreiben ?

Die Reflexivität ist definiert durch

      [mm] $\forall a\in A\colon [/mm] aRa$.

Nicht mehr und nicht weniger.

Sie impliziert aber natürlich die Aussagen

     [mm] $\forall b\in A\colon [/mm] bRb$
     [mm] $\forall c\in A\colon [/mm] cRc$
     [mm] $\forall d\in A\colon [/mm] dRd$

usw.


> > Gemäß Reflexivität gilt [mm]bRb[/mm].
>  >  Wende nun die Zirkularität auf [mm]a[/mm], [mm]b[/mm] und [mm]b[/mm] an.
>
> Das verstehe ich leider nicht , wie meinst du das mit auf
> "a" und dann "b" und "c" , muss ich das 3 mal machen ?

Nein. Ich meinte übrigens wirklich $a$, $b$ und $b$, nicht etwa $a$, $b$ und $c$.

Wir wollen die Symmetrie von $R$ aus der Reflexivität und Zirkularität von $R$ folgern.
Dazu habe wir beliebig vorgegebene [mm] $a,b\in [/mm] A$ mit $aRb$ betrachtet.
Zeigen müssen wir $bRa$.
(Ein [mm] $c\in [/mm] A$ haben wir nicht vorgegeben.)

Die Zirkularität besagt (mit anderen Variablen geschrieben, um Namenskollisionen mit unseren $a$ und $b$ zu vermeiden):

     [mm] $\forall x,y,z\in A\colon (xRy\wedge yRz\Rightarrow [/mm] zRx)$.

Wende nun diese Eigenschaft auf $x=a$, $y=b$ und $z=b$ an.


> Also speziell bei der Symmetrie würde ich das hier
> machen:
>  
> aRb => bRa

Warum gilt diese Implikation? Genau sie ist ja gerade zu beweisen.

Dazu benötigst du die Anwendung der Zirkularität auf $a$, $b$ und $b$.

>  bRc => cRb damit habe ich die Symmetrie doch beiwesen oder

> ?

Leider nein.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Relationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de