äquivalenzrelation beweisen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:07 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Der_Marder |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Erstmal zu a:
Ich habe noch nicht wirklich eine Vorstellung davon, wie man so etwas in der Geometrie beweist. In der Algebra hatten wir ja die Äquivalenzrelation mit Symmetre ( a ~ a), Reflexivität (a ~ b -> b ~ a) und Transitivität gezeigt (a~b und b~c => a~c).
Wie kann ich das hier anwenden? (Ich denke mal nicht, dass ich das so einfach hinschreiben könnte wie "a liegt nicht derselben Seite wie b, b liegt nicht auf derselben Seite wie c, also liegen a und c auf derselben Seite".)
Vielen Dank schon mal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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So ich hab noch ein bisschen rumprobiert und frag nochmal, ob man zumindest so anfangen kann.
Die beiden Punkt P und Q liegen ja auf derselben Seite von g, wenn die Gerade [mm] \overline{PQ} [/mm] nicht g schneidet. Also wäre der Schnitt die leere Menge.
Damit könnte man ja etwas arbeiten, denk ich. Bei der Reflexivität würde man ja nun beispielsweise die Gerade [mm] \overline{AA} [/mm] betrachten. Diese schneidet nicht die Gerade und somit liegt A auf derselben Seite wie A.
Also gilt A ~ A, da [mm] \overline{AA} \cap [/mm] g = [mm] \emptyset. [/mm]
Wäre damit die Reflexivität bewiesen? Weil dann wäre die Symmetrie ja auch nicht weiter schlimm. Wenn [mm] \overline{AB} \cap [/mm] g = [mm] \emptyset [/mm] gelten würde (Womit A ~ B wäre), so würde auch [mm] \overline{BA} \cap [/mm] g = [mm] \emptyset [/mm] gelten, womit B ~ A wäre.
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> So ich hab noch ein bisschen rumprobiert und frag nochmal,
> ob man zumindest so anfangen kann.
> Die beiden Punkt P und Q liegen ja auf derselben Seite von
> g, wenn die Gerade [mm]\overline{PQ}[/mm] nicht g schneidet.
Hallo,
aha. damit ist meine eine Frage ja schon (fast) beantwortet.
Ich wüßte doch gern, wie Ihr das genau formuliert habt.
> Also
> wäre der Schnitt die leere Menge.
> Damit könnte man ja etwas arbeiten, denk ich.
Ja, so muß man das wohl machen.
> Bei der
> Reflexivität würde man ja nun beispielsweise die Gerade
> [mm]\overline{AA}[/mm] betrachten.
Die Gerade?
Hier hätte ich ein Problem.: es gibt entsetzlich viele Geraden, die durch A gehen, und die weitaus meisten davon schneiden g.
Gruß v. Angela
> Diese schneidet nicht die Gerade
> und somit liegt A auf derselben Seite wie A.
> Also gilt A ~ A, da [mm]\overline{AA} \cap[/mm] g = [mm]\emptyset.[/mm]
> Wäre damit die Reflexivität bewiesen? Weil dann wäre die
> Symmetrie ja auch nicht weiter schlimm. Wenn [mm]\overline{AB} \cap[/mm]
> g = [mm]\emptyset[/mm] gelten würde (Womit A ~ B wäre), so würde
> auch [mm]\overline{BA} \cap[/mm] g = [mm]\emptyset[/mm] gelten, womit B ~ A
> wäre.
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> > So ich hab noch ein bisschen rumprobiert und frag nochmal,
> > ob man zumindest so anfangen kann.
> > Die beiden Punkt P und Q liegen ja auf derselben Seite
> von
> > g, wenn die Gerade [mm]\overline{PQ}[/mm] nicht g schneidet.
>
> Hallo,
>
> aha. damit ist meine eine Frage ja schon (fast)
> beantwortet.
>
> Ich wüßte doch gern, wie Ihr das genau formuliert habt.
Also die angesprochen Axiome sind die Folgenden:
Axiom 1: Zieht man durch zwei Punkte A [mm] \not= [/mm] B der Ebene eine gerade Linie, so sprechen wir von einer Geraden.
Axiom 5a: A < A gilt für kein A [mm] \in [/mm] g.
Axiom 5c: Aus A,B [mm] \in [/mm] g mit A [mm] \not= [/mm] B folgt entweder A <B oder B < A.
Axiom 6: Sei g [mm] \subset [/mm] Ebene eine Gerade und A,B,C [mm] \in [/mm] Ebene \ g. Schneidet g eine der drei Strecken, so noch eine weitere.
Zur Definition der Lage von 2 Punkten haben wir Folgendes:
Sei g [mm] \subset [/mm] Ebene eine Gerade und A,B [mm] \in [/mm] Ebene [mm] \g [/mm] mit A [mm] \not= [/mm] B, dann sagen wir, dass A und B auf derselben Seite von g liegen, wenn [mm] \overline{AB} \cap [/mm] g = [mm] \emptyset.
[/mm]
Das "Ebene" steht immer für das große Gamma. Hatte nicht gewusst, was ich dafür nehmen sollte.
>
> > Also
> > wäre der Schnitt die leere Menge.
> > Damit könnte man ja etwas arbeiten, denk ich.
>
> Ja, so muß man das wohl machen.
>
>
> > Bei der
> > Reflexivität würde man ja nun beispielsweise die Gerade
> > [mm]\overline{AA}[/mm] betrachten.
>
> Die Gerade?
> Hier hätte ich ein Problem.: es gibt entsetzlich viele
> Geraden, die durch A gehen, und die weitaus meisten davon
> schneiden g.
>
> Gruß v. Angela
Ja, das stimmt. Nach der Definition muss man ja immer zwei verschiedene Punkte verbinden zu einer Geraden. Was ist, wenn ich eine Strecke [AA] nehme und keine Gerade? Weil ich muss ja irgendwie die Reflexivität zeigen und dafür kann ich ja nur denselben Punkt nehmen.
>
>
> > Diese schneidet nicht die Gerade
> > und somit liegt A auf derselben Seite wie A.
> > Also gilt A ~ A, da [mm]\overline{AA} \cap[/mm] g = [mm]\emptyset.[/mm]
> > Wäre damit die Reflexivität bewiesen? Weil dann wäre die
> > Symmetrie ja auch nicht weiter schlimm. Wenn [mm]\overline{AB} \cap[/mm]
> > g = [mm]\emptyset[/mm] gelten würde (Womit A ~ B wäre), so würde
> > auch [mm]\overline{BA} \cap[/mm] g = [mm]\emptyset[/mm] gelten, womit B ~ A
> > wäre.
>
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Hallo,
Dieses [mm] \oberline{AB} [/mm] bedeutet bei Deiner Def. von "auf derselben Seite" sicher die Strecke zwischen A und B, nicht die Gerade durch diese Punkte.
Das mußt Du auch beim Nachweis der beiden anderen Eigenschaften berücksichtigen.
Die Symmetrie ist sicher einfach. (Wie ist eigentlich "Strecke" definiert? ich bekomme nämlich irgendwie das dumpfe Gefühl, daß man das < aus den Axiomen verwenden muß. Oder ist klar, daß [mm] \oberline{AB}=\oberline{BA} [/mm] ist?)
Für die Transitivität wirst Du das 6. Axiom bemühen müssen.
wenn wir jetzt mal meinen Hausfrauenverstand einsetze, dann stelle ich fest:
das Grübeln darüber, ob A und A auf derselben Seite von g liegen, ist doch wirklich irgendwie bekloppt! Wie soll ein und derselbe Punkt auf zwei verschiedenen Seiten liegen...
Natürlich liegt A auf derselben Seite wie A!
Aber Ihr habt "auf derselben Seite wie" nur für zwei verschiedene Punkte definiert, und das macht mich gerade mathematisch etwas unfroh.
Ich lasse das hier mal auf lieber halbbeantwortet, ich weiß nämlich im Moment nicht, ob ich's mir gerade zu leicht oder zu schwer machen will.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> Dieses [mm]\oberline{AB}[/mm] bedeutet bei Deiner Def. von "auf
> derselben Seite" sicher die Strecke zwischen A und B, nicht
> die Gerade durch diese Punkte.
> Das mußt Du auch beim Nachweis der beiden anderen
> Eigenschaften berücksichtigen.
Ja, es ist die Strecke gemeint. Das habe ich falsch geschrieben.
>
> Die Symmetrie ist sicher einfach. (Wie ist eigentlich
> "Strecke" definiert? ich bekomme nämlich irgendwie das
> dumpfe Gefühl, daß man das < aus den Axiomen verwenden muß.
> Oder ist klar, daß [mm]\oberline{AB}=\oberline{BA}[/mm] ist?)
Die Strecke ist folgendermaßen bei uns definiert: (Ich benutz jetzt mal die eckigen Klammern für die Strecken)
Sei [mm] \overline{AB} \subset [/mm] Ebene eine Gerade mit A < B (B < A). Dann bezeichnet
[AB]:= {X [mm] \in \overline{AB} [/mm] | (X = A) [mm] \vee [/mm] (X=B) [mm] \vee [/mm] (A < X < B)}
(
[AB]:= {X [mm] \in \overline{AB} [/mm] | (X = A) [mm] \vee [/mm] (X=B) [mm] \vee [/mm] (B < X < A)})
die Strecke mit dem Anfangspunkt A(B) und Endpunkt B(A).
Ich weiß nicht, ob klar ist, dass [mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \overline{BA} [/mm] ist.
> Für die Transitivität wirst Du das 6. Axiom bemühen
> müssen.
>
Das dachte ich mir auch schon, aber ich sollte wohl erstmal die beiden anderen klären, sonst komm ich noch völlig durcheinander.
>
> wenn wir jetzt mal meinen Hausfrauenverstand einsetze, dann
> stelle ich fest:
> das Grübeln darüber, ob A und A auf derselben Seite von g
> liegen, ist doch wirklich irgendwie bekloppt! Wie soll ein
> und derselbe Punkt auf zwei verschiedenen Seiten liegen...
> Natürlich liegt A auf derselben Seite wie A!
> Aber Ihr habt "auf derselben Seite wie" nur für zwei
> verschiedene Punkte definiert, und das macht mich gerade
> mathematisch etwas unfroh.
>
Das macht mich auch unfroh, weil so weiß ich nicht, wie ich die Reflexivität zeigen soll.
> Ich lasse das hier mal auf lieber halbbeantwortet, ich weiß
> nämlich im Moment nicht, ob ich's mir gerade zu leicht oder
> zu schwer machen will.
>
> Gruß v. Angela
>
Trotzdem vielen Dank. Sollte eigentlich nur eine Mitteilung werden, aber ich hab mich verklickt.
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> > Die Symmetrie ist sicher einfach. (Wie ist eigentlich
> > "Strecke" definiert? ich bekomme nämlich irgendwie das
> > dumpfe Gefühl, daß man das < aus den Axiomen verwenden muß.
> > Oder ist klar, daß [mm]\oberline{AB}=\oberline{BA}[/mm] ist?)
> Die Strecke ist folgendermaßen bei uns definiert: (Ich
> benutz jetzt mal die eckigen Klammern für die Strecken)
>
> Sei [mm]\overline{AB} \subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ebene eine Gerade mit A < B (B <
> A). Dann bezeichnet
>
> [AB]:= {X [mm]\in \overline{AB}[/mm] | (X = A) [mm]\vee[/mm] (X=B) [mm]\vee[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(A <
> X < B)}
> (
> [AB]:= {X [mm]\in \overline{AB}[/mm] | (X = A) [mm]\vee[/mm] (X=B) [mm]\vee[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(B <
> X < A)})
> die Strecke mit dem Anfangspunkt A(B) und Endpunkt B(A).
>
> Ich weiß nicht, ob klar ist, dass [mm]\overline{AB}[/mm] =
> [mm]\overline{BA}[/mm] ist.
Hallo,
doch, das ist dann klar. Falls Ihr es noch nicht ausdrücklich erwähnt habt und Du [AB]=[BA] verwenden willst, kannst Du einfach schreiben, daß das nach Def. der Strecken gilt.
> > wenn wir jetzt mal meinen Hausfrauenverstand einsetze, dann
> > stelle ich fest:
> > das Grübeln darüber, ob A und A auf derselben Seite von
> g
> > liegen, ist doch wirklich irgendwie bekloppt! Wie soll ein
> > und derselbe Punkt auf zwei verschiedenen Seiten liegen...
> > Natürlich liegt A auf derselben Seite wie A!
> > Aber Ihr habt "auf derselben Seite wie" nur für zwei
> > verschiedene Punkte definiert, und das macht mich gerade
> > mathematisch etwas unfroh.
> >
> Das macht mich auch unfroh, weil so weiß ich nicht, wie ich
> die Reflexivität zeigen soll.
Wenn sich jetzt keiner mehr meldet, der was Schlaues dazu zu sagen hat, dann schreib einfach "Natürlich liegt A auf derselben Seite wie A".
Gruß v. Angela
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Hm, gut, schreibt wohl keiner mehr was dazu. Dann schreibe ich mal alles so auf, wie ich es bisher hätte und vielleicht kann mir ja einer sagen, ob man das so schreiben kann.
A,B,C sind Punkte und g ist die Gerade.
Reflexivität:
A ~ A
A liegt auf derselben Seite wie A, da ein und derselbe Punkt nicht auf zwei Seiten der Gerade liegen kann. Und weil eine Strecke von A nach A nicht die Gerade g kreuzt und A kein Element von g ist. (Wobei hier ein Problem mit der Definition vorliegen würde, da A ja nicht verschieden von sich selbst ist)
Symmetrie
A ~ B => B ~ A
Nach der Definition der Strecke ist es egal, ob A < X < B oder B < X A benutzt wird. Der Anfangspunkt kann A wie auch B sein, die Gerade bleibt dieselbe und wenn sie in die eine Richtung nicht g schneidet, so auch in die andere Richtung nicht.
Transitivität
A ~ B und B ~ C => A ~ C
Nach Axiom 6 schneidet g immer eine zweite Strecke, sobald sie eine der drei Strecken schneidet. Liegt nun A auf derselben Seite wie B und B auf derselben Seite wie C, so liegt ja nun praktisch ein ganzes Dreieck auf der einen Seite. Und wenn C auf der anderen Seite liegen sollte, dann müssten beide Strecken, AC wie auch BC, die Gerade g schneiden. Es ist also egal welche der beiden Strecken man kontrolliert und daher kann man aus den beiden Äquivalenzen auch die dritte schlussfolgern.
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Hallo,
was Du schreibst zeigt, daß Du den Sachverhalt von der Anschauung her verstanden hast - was ja letzendlich auch keine große Kunst ist.
Ich glaube nicht, daß Du so, wie Du es im Moment dastehen hast, einen Blumentopf gewinnst: es wird ja in der Aufgbenstellung daraufhingewiesen, welche Axiome Du verwenden mußt, was darauf hindeutet, daß Du streng axiomatisch arbeiten sollst.
(Das kommt doch aus einer Mathevorlesung für Mathematiker? Leider hast Du nichts im Profil stehen.)
Ich denke, Du mußt das, was Du in Worten beschreibst, noch ein wenig "übersetzen".
Ich lasse bei der Reflexivität jetzt einfach mal mal das Problem außen vor, daß Ihr "liegen auf derselben Seite" nur für zwei verschiedene Punkte definiert habt. Bei mir können die Punkte auch gleich sein.
Obgleich mir schon die nächste Frage kommt: dürfen die betrachteten Punkte lt. Eurer def. eigentlich auf g liegen? Lt. Deiner Def. ja schon...
Es würde dann aber A nicht in jedem Fall auf derselben Seite wie A liegen, denn [AA] und g hätten einen gemeinsamen Punkt. Damit wär' das dann nicht reflexiv...
Die Reflexivität würde ich nun in etwa so ansetzen:
("In etwa", weil ich nicht genau weiß, was dran war und wie die Dinge formuliert wurden.
Es geht mir auch weniger darum, daß Du das 1:1 übernehmen kannst, als um den Stil, der meiner Meinung nach erwartet wird. )
Sei [mm] A\in \Gamma [/mm] \ g.
Angenommen, A läge nicht auf derselben Seite wie A.
Dann wäre [mm] [AA]\cap g\not=\emptyset.
[/mm]
Also gäbe es ein [mm] P\in [/mm] g mit [mm] P\in [/mm] [AB].
Nach Def. von [AA] folgt: P=A oder P=B oder A<P<A.
Aus P=A folgt [mm] A\in [/mm] g. Widerspruch
P=B genauso
A<P<A ==> A<A . Widerspruch zu Axiom 5a (Hier habe ich noch verwendet, daß < transitiv ist. Ob Ihr das gezeigt habt, weißt nur Du.)
Die Annahme, daß A nicht auf derselben Seite wie A liegt, führt zum Widerspruch. Also liegt A auf derselben Seite wie A.
Damit ist die Relation reflexiv.
> A,B,C sind Punkte
Wo kommen die her?
> und g ist die Gerade.
>
> Reflexivität:
> A ~ A
> A liegt auf derselben Seite wie A, da ein und derselbe
> Punkt nicht auf zwei Seiten der Gerade liegen kann. Und
> weil eine Strecke von A nach A nicht die Gerade g kreuzt
Genau das habe ich oben ausgeführt.
> und A kein Element von g ist.
Ach? Wieso denn nicht?
Gruß v. Angela
> (Wobei hier ein Problem mit
> der Definition vorliegen würde, da A ja nicht verschieden
> von sich selbst ist)
>
> Symmetrie
> A ~ B => B ~ A
> Nach der Definition der Strecke ist es egal, ob A < X < B
> oder B < X A benutzt wird. Der Anfangspunkt kann A wie auch
> B sein, die Gerade bleibt dieselbe und wenn sie in die eine
> Richtung nicht g schneidet, so auch in die andere Richtung
> nicht.
> Transitivität
> A ~ B und B ~ C => A ~ C
> Nach Axiom 6 schneidet g immer eine zweite Strecke, sobald
> sie eine der drei Strecken schneidet. Liegt nun A auf
> derselben Seite wie B und B auf derselben Seite wie C, so
> liegt ja nun praktisch ein ganzes Dreieck auf der einen
> Seite. Und wenn C auf der anderen Seite liegen sollte, dann
> müssten beide Strecken, AC wie auch BC, die Gerade g
> schneiden. Es ist also egal welche der beiden Strecken man
> kontrolliert und daher kann man aus den beiden Äquivalenzen
> auch die dritte schlussfolgern.
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> Hallo,
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> was Du schreibst zeigt, daß Du den Sachverhalt von der
> Anschauung her verstanden hast - was ja letzendlich auch
> keine große Kunst ist.
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> Ich glaube nicht, daß Du so, wie Du es im Moment dastehen
> hast, einen Blumentopf gewinnst: es wird ja in der
> Aufgbenstellung daraufhingewiesen, welche Axiome Du
> verwenden mußt, was darauf hindeutet, daß Du streng
> axiomatisch arbeiten sollst.
> (Das kommt doch aus einer Mathevorlesung für Mathematiker?
> Leider hast Du nichts im Profil stehen.)
> Ich denke, Du mußt das, was Du in Worten beschreibst, noch
> ein wenig "übersetzen".
Ja, das weiß ich ja auch. Deswegen hab ich am Anfang ja auch gesagt, dass man das sicherlich nicht so aufschreiben kann. Aber in Geometrie hab ich eben noch nie was bewiesen, das kommt mir noch etwas komisch vor. Und ja, das ist eine Mathe Vorlesung, zwar für Lehrämtler, aber das ist ja nicht weiter wichtig.
>
> Ich lasse bei der Reflexivität jetzt einfach mal mal das
> Problem außen vor, daß Ihr "liegen auf derselben Seite" nur
> für zwei verschiedene Punkte definiert habt. Bei mir können
> die Punkte auch gleich sein.
> Obgleich mir schon die nächste Frage kommt: dürfen die
> betrachteten Punkte lt. Eurer def. eigentlich auf g liegen?
> Lt. Deiner Def. ja schon...
Ich hab nochmal nachgeschaut, sie dürfen nicht auf g liegen. Deswegen hatte ich das auch bei der Reflexivität dazu geschrieben.
> Es würde dann aber A nicht in jedem Fall auf derselben
> Seite wie A liegen, denn [AA] und g hätten einen
> gemeinsamen Punkt. Damit wär' das dann nicht reflexiv...
>
> Die Reflexivität würde ich nun in etwa so ansetzen:
> ("In etwa", weil ich nicht genau weiß, was dran war und
> wie die Dinge formuliert wurden.
> Es geht mir auch weniger darum, daß Du das 1:1 übernehmen
> kannst, als um den Stil, der meiner Meinung nach erwartet
> wird. )
>
> Sei [mm]A\in \Gamma[/mm] \ g.
>
> Angenommen, A läge nicht auf derselben Seite wie A.
>
> Dann wäre [mm][AA]\cap g\not=\emptyset.[/mm]
>
> Also gäbe es ein [mm]P\in[/mm] g mit [mm]P\in[/mm] [AB].
>
> Nach Def. von [AA] folgt: P=A oder P=B oder A<P<A.
>
> Aus P=A folgt [mm]A\in[/mm] g. Widerspruch
> P=B genauso
> A<P<A ==> A<A . Widerspruch zu Axiom 5a (Hier habe ich
> noch verwendet, daß < transitiv ist. Ob Ihr das gezeigt
> habt, weißt nur Du.)
>
> Die Annahme, daß A nicht auf derselben Seite wie A liegt,
> führt zum Widerspruch. Also liegt A auf derselben Seite wie
> A.
>
> Damit ist die Relation reflexiv.
>
>
>
>
> > A,B,C sind Punkte
>
> Wo kommen die her?
Elemente der Ebene.
>
> > und g ist die Gerade.
> >
> > Reflexivität:
> > A ~ A
> > A liegt auf derselben Seite wie A, da ein und derselbe
> > Punkt nicht auf zwei Seiten der Gerade liegen kann. Und
> > weil eine Strecke von A nach A nicht die Gerade g kreuzt
>
> Genau das habe ich oben ausgeführt.
>
> > und A kein Element von g ist.
>
> Ach? Wieso denn nicht?
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
Danke, erstmal, das hat mich viel weiter gebracht. Bevor ich sowas bei Transitivität versuche, wollte ich noch fragen: Muss ich die Symmetrie überhaupt zeigen, wenn das bei der Strecke in der Definition schon festgelegt ist, dass A und B ausgetauscht werden kann?
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> > > A,B,C sind Punkte
> >
> > Wo kommen die her?
Hallo,
das schon. Aber sie liegen nicht auf g. also kommen sie aus [mm] \Gamma [/mm] \ g.
> Danke, erstmal, das hat mich viel weiter gebracht. Bevor
> ich sowas bei Transitivität versuche, wollte ich noch
> fragen: Muss ich die Symmetrie überhaupt zeigen, wenn das
> bei der Strecke in der Definition schon festgelegt ist,
> dass A und B ausgetauscht werden kann?
Wenn schon gezeigt wurde, daß AB=BA ist, kannst Du Dich natürlich darauf berufen.
Wenn nicht, mußt Du es zeigen.
Gruß v. Angela
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Gut, danke.
Dann versuch ich mich mal an der Transitivität.
Wir haben die Gerade g [mm] \in [/mm] Ebene und die Punkte A,B,C [mm] \in [/mm] Ebene\ g. Ich versuche das Ganze mal zum Widerspruch zu führen.
Dafür nehmen wir an, dass A ~ B und B ~ C, aber A liegt nicht auf derselben Seite wie C.
Aus A ~ B können wir schlussfolgern [AB] [mm] \cap [/mm] g = [mm] \emptyset.
[/mm]
Aus B ~ C können wir schlussfolgern [BC] [mm] \cap [/mm] g = [mm] \emptyset.
[/mm]
So, das heißt also, dass von den 3 Strecken 2 schon mal nicht die Gerade schneiden. Nehmen wir nun an, dass A aber nicht auf derselben Seite wie C liegt, dann müsste gelten [AC] [mm] \cap [/mm] g [mm] \not= \emptyset [/mm] und das wäre ja ein Widerspruch zum Axiom 6. Denn es könnte keine zweite Seite geben, die auch g schneidet.
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> Gut, danke.
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> Dann versuch ich mich mal an der Transitivität.
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> Wir haben die Gerade g [mm]\in[/mm] Ebene und die Punkte A,B,C [mm]\in[/mm]
> Ebene\ g. Ich versuche das Ganze mal zum Widerspruch zu
> führen.
> Dafür nehmen wir an, dass A ~ B und B ~ C, aber A liegt
> nicht auf derselben Seite wie C.
>
> Aus A ~ B können wir schlussfolgern [AB] [mm]\cap[/mm] g =
> [mm]\emptyset.[/mm]
> Aus B ~ C können wir schlussfolgern [BC] [mm]\cap[/mm] g =
> [mm]\emptyset.[/mm]
>
> So, das heißt also, dass von den 3 Strecken 2 schon mal
> nicht die Gerade schneiden. Nehmen wir nun an, dass A aber
> nicht auf derselben Seite wie C liegt, dann müsste gelten
> [AC] [mm]\cap[/mm] g [mm]\not= \emptyset[/mm]
Hallo,
ab hier würde ich eine andere Reihenolge wählen:
nach Axiom 6 schneidet dann g eine der Strecken AB oder BC. Widerspruch.
Gruß v. Angela
und das wäre ja ein Widerspruch
> zum Axiom 6. Denn es könnte keine zweite Seite geben, die
> auch g schneidet.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Erstmal zu a:
> Ich habe noch nicht wirklich eine Vorstellung davon, wie
> man so etwas in der Geometrie beweist. In der Algebra
> hatten wir ja die Äquivalenzrelation mit Symmetre ( a ~ a),
> Reflexivität (a ~ b -> b ~ a) und Transitivität gezeigt
> (a~b und b~c => a~c).
> Wie kann ich das hier anwenden? (Ich denke mal nicht, dass
> ich das so einfach hinschreiben könnte wie "a liegt nicht
> derselben Seite wie b, b liegt nicht auf derselben Seite
> wie c, also liegen a und c auf derselben Seite".)
Hallo,
naja, die Sachen die man zeigen (!) muß, sind schon die, die Du oben nennst.
Ich habe allerdings den Eindruck, daß man zum Helfen die angesprochenen Axiome kennen sollte.
Wie ist "liegt auf der selben Seite" denn definiert? Habt Ihr das zuvor getan?
Gruß v. Angela
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zur b hab ich noch ein paar Fragen. Hier soll ich ja zeigen, dass die Parallelität eine Äquivalenzrelation ist.
Hier erstmal Definition und Axiom:
Axiom 13b:
b) Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine parallele Gerade.
Definition 1.25
b) Zei Geraden [mm] \overline{AB}, \overline{CD} [/mm] heißen parallel, wenn
[mm] \overline{AB} \cap \overline{CD} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
oder
[mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \overline{CD} [/mm] gilt.
So, nun meine Fragen.
A,B,C,D, E, F [mm] \in [/mm] Ebene.
Reflexivität:
Ist die nicht schon mit dem Teil der Definition [mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \overline{CD} [/mm] bewiesen? Weil [mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \overline{AB} [/mm] brauch ich ja nicht noch extra zu beweisen, oder?
Symmetrie:
Nehmen wir an es würde gelten [mm] \overline{AB} \parallel \overline{CD}, [/mm] aber nicht [mm] \overline{CD} \parallel \overline{AB}.
[/mm]
Also wäre [mm] \overline{AB} \cap \overline{CD} [/mm] = [mm] \emptyset, [/mm] was aber im Widerspruch zu [mm] \overline{CD} \cap \overline{AB} \not= \emptyset [/mm] stehen würde, da [mm] \cap [/mm] kommutativ ist. Kann man das so machen oder wäre das nicht ausreichend? Oder ist das trivial?
Transitivität:
Nehmen wir an, dass [mm] \overline{AB} \parallel \overline{CD} [/mm] und [mm] \overline{CD} \parallel \overline{EF}, [/mm] aber [mm] \overline{AB} [/mm] wäre nicht parallel zu [mm] \overline{EF}. [/mm] Dann würden sich [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{EF} [/mm] im Punkt p schneiden. Und das wäre doch ein Widerspruch zu Axiom 13b, da sich ja dann genau in diesem Punkt zwei Parallelen zu [mm] \overline{CD} [/mm] befinden, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 29.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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