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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Do 14.04.2011 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | Begründen Sie,welche der folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind:
für Ringe R,R': R [mm] \sim R':\gdw \exists [/mm] Isomorphismus [mm] \phi [/mm] : R-> R'. |
Hallo ihr,
zuerst einmal noch vorweg:
Ich darf/soll verwenden, dass wenn [mm] \phi [/mm] : R-> R' ein Ringhomomorhsimus ist, auch [mm] \phi^{-1} [/mm] : R'-> R ein Ringhomomorphismus ist!
Nun sind ja drei Sachen nachzuweisen:
1.) Reflexiv:
R [mm] \sim [/mm] R, da [mm] \forall [/mm] Ringe R, R' gilt: [mm] \exists [/mm] Isomorphismus [mm] \phi [/mm] : R-> R (da ein Isomorphismus ja bijektiv ist)
(hier bin ich mir schon nicht sicher, ob das so ok ist!?)
2.) Symmetrisch:
Es gilt R [mm] \sim [/mm] R' und da ein Isomorphismus existiert(und der bijektiv ist), exisiteirt auhc ein Isomorphismus [mm] \phi^{-1}:R'->R, [/mm] also: R' [mm] \sim [/mm] R
3.) Transitiv:
Ich habe hier einfach einen dritten ring dazu genommen: R''
Dann gilt, wenn R [mm] \sim [/mm] R' und R' [mm] \sim [/mm] R'' existiert ein Isomorphismus [mm] \phi: [/mm] R->R' und [mm] \phi_2:R'->R'', [/mm] sodass dann auch der Isomorphismus [mm] \phi_3=\phi_2(\phi(x)) [/mm] : R->R'' existiert und damit: R [mm] \sim [/mm] R''
Das wäre meine Lösung! es wäre wirklich sehr nett, wenn jmd. das durchschauen könnte und auf Fehler(und vielleicht auch Formalien-Hinweise) hin durchgucken könnte!?
Vielen Dank schonmal
Gruß Torste
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Do 14.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Torste!
> Begründen Sie,welche der folgenden Relationen
> Äquivalenzrelationen sind:
> für Ringe R,R': R [mm]\sim R':\gdw \exists[/mm] Isomorphismus [mm]\phi[/mm]
> : R-> R'.
>
>
> Hallo ihr,
>
> zuerst einmal noch vorweg:
> Ich darf/soll verwenden, dass wenn [mm]\phi[/mm] : R-> R' ein
> Ringhomomorhsimus ist, auch [mm]\phi^{-1}[/mm] : R'-> R ein
> Ringhomomorphismus ist!
> Nun sind ja drei Sachen nachzuweisen:
>
> 1.) Reflexiv:
> R [mm]\sim[/mm] R, da [mm]\forall[/mm] Ringe R, R' gilt: [mm]\exists[/mm]
> Isomorphismus [mm]\phi[/mm] : R-> R (da ein Isomorphismus ja
> bijektiv ist)
> (hier bin ich mir schon nicht sicher, ob das so ok ist!?)
Ich verstehe die Argumentation nicht: Was meinst du mit "für alle Ringe R, R' gilt, dass es einen Isomorphismus von R nach R gibt"? Was macht das R' da?
Der Punkt ist, dass du die Existenz eines Isomorphismus des Ringes R auf sich selbst zeigen musst. Welchen Isomorphismus gibt es für jede Menge?
>
> 2.) Symmetrisch:
> Es gilt R [mm]\sim[/mm] R' und da ein Isomorphismus existiert(und
> der bijektiv ist), exisiteirt auhc ein Isomorphismus
> [mm]\phi^{-1}:R'->R,[/mm] also: R' [mm]\sim[/mm] R
OK
> 3.) Transitiv:
> Ich habe hier einfach einen dritten ring dazu genommen:
> R''
> Dann gilt, wenn R [mm]\sim[/mm] R' und R' [mm]\sim[/mm] R'' existiert ein
> Isomorphismus [mm]\phi:[/mm] R->R' und [mm]\phi_2:R'->R'',[/mm] sodass dann
> auch der Isomorphismus [mm]\phi_3=\phi_2(\phi(x))[/mm] : R->R''
> existiert und damit: R [mm]\sim[/mm] R''
OK
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 14.04.2011 | | Autor: | Torste |
Oh - jetzt hat mir jmd. geantwortet :) Dankeschön! Ich habe die Frage gerade auch auf einem anderen Forum gestellt, aber ich habe das da auch vermerkt!
Gut,dass die anderen beiden schonmal gut sind!
Dann meinst du wohl den Automorphismus, oder!? der ist ach ein Isomorphismus und existiert damit!
(Ja, das R' ist da falsch, kann weg!!)
Gruß Torste
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Ich meine, dass rainerS meint:
[mm]id:R\to R[/mm] ist ein Automorphismus (Isomorphismus). Das ist der richtige für Reflexivität. Nichts anderes.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 So 17.04.2011 | | Autor: | Torste |
Vielen Dank euch!
Torste
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