Äquivalenzrelationen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Kegorus |
| Aufgabe | Sei A eine Menge, [mm] R_1 \subseteq R_2 [/mm] Äquivalenzrelationen.
Auf der Faktormenge [mm] A/R_1 [/mm] definiert man:
[mm] R_2/R_1:={(x/R_1,y/R_1): x,y \in A, x R_2 y}
[/mm]
zz:
[mm] \forall [/mm] x,y aus A: [mm] (x/R_1,y/R_1) [/mm] aus [mm] R_2/R_1 [/mm] <=> x [mm] R_2 [/mm] y |
Es hat den Anschein, dass die Aussage direkt aus der Definition von [mm] R_2/R_1 [/mm] folgt, aber anscheinend ist dies nicht so.
Im zweiten Teil des Beispiels soll man eine Menge A, eine Äquivalenzrelation [mm] R_1 [/mm] und eine Relation [mm] R_2(wenn [/mm] möglich auch Äquivalenzrelation) finden, sodass die obige Äquivalenz nicht für alle x,y aus A gilt [mm] (R_1 [/mm] muss in diesem Bsp nicht notwendigerweise Teilmenge von [mm] R_2 [/mm] sein).
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:51 Di 25.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Kegorus!
> Sei A eine Menge, [mm]R_1 \subseteq R_2[/mm]
> Äquivalenzrelationen.
> Auf der Faktormenge [mm]A/R_1[/mm] definiert man:
> [mm]R_2/R_1:={(x/R_1,y/R_1): x,y \in A, x R_2 y}[/mm]
>
> zz:
>
> [mm]\forall[/mm] x,y aus A: [mm](x/R_1,y/R_1)[/mm] aus [mm]R_2/R_1[/mm] <=> x [mm]R_2[/mm] y
> Es hat den Anschein, dass die Aussage direkt aus der
> Definition von [mm]R_2/R_1[/mm] folgt, aber anscheinend ist dies
> nicht so.
In der Tat folgt die Richtung <= direkt aus der Definition, die Richtung => jedoch nicht:
"[mm](x/R_1,y/R_1)[/mm] aus [mm]R_2/R_1[/mm]" bedeutet nur, dass es [mm] $x',y'\in [/mm] A$ gibt mit $x'R_2y'$ und [mm] $(x'/R_1,y'/R_1)=(x/R_1,y/R_1)$.
[/mm]
Zu zeigen ist nun $xR_2y$.
> Im zweiten Teil des Beispiels soll man eine Menge A, eine
> Äquivalenzrelation [mm]R_1[/mm] und eine Relation [mm]R_2(wenn[/mm] möglich
> auch Äquivalenzrelation) finden, sodass die obige
> Äquivalenz nicht für alle x,y aus A gilt [mm](R_1[/mm] muss in
> diesem Bsp nicht notwendigerweise Teilmenge von [mm]R_2[/mm] sein)
Jedes Beispiel einer Menge $A$ mit zwei Äquivalenzrelationen [mm] $R_1,R_2$ [/mm] darauf, die nicht [mm] $R_1\subseteq R_2$ [/mm] erfüllen, leistet das Gewünschte.
Gib also ein solches Beispiel an und zeige, dass es das Gewünschte leistet.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Di 25.03.2014 | | Autor: | Kegorus |
Vielen Dank für deine Antwort! Ich finde diese Definition ziemlich verwirrend, aber anscheinend bedeutet es, dass es nur irgendwelche Elemente aus der [mm] R_1 [/mm] Äquivalenzklasse gibt, die zueinander in [mm] R_2 [/mm] stehen..
Wenn also [mm] (x'/R_1,y'/R_1) [/mm] = [mm] (x/R_1,y/R_1) \in R_2/R_1
[/mm]
gibt es x'' und y'' aus A mit x''R_2y''
Das kann man so oft wiederholen, bis man die "richtigen", also x und y gefunden hat. Kann das so funktionieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Di 25.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ich finde diese Definition
> ziemlich verwirrend, aber anscheinend bedeutet es, dass es
> nur irgendwelche Elemente aus der [mm]R_1[/mm] Äquivalenzklasse
> gibt, die zueinander in [mm]R_2[/mm] stehen.
Ja, wann immer zwei Äquivalenzklasse K und L bezüglich [mm] $R_1$ [/mm] auch nur jeweils einen Repräsentanten [mm] $k\in [/mm] K$ bzw. [mm] $l\in [/mm] L$ haben, so dass $kR_2l$ gilt, sollen $K$ und $L$ zueinander in Relation stehen. Tatsächlich gilt $kR_2l$ dann aber schon für alle [mm] $k\in [/mm] K$ und [mm] $l\in [/mm] L$, wie du zeigen sollst.
> Wenn also [mm](x'/R_1,y'/R_1)[/mm] = [mm](x/R_1,y/R_1) \in R_2/R_1[/mm]
(Ich hatte [mm] $x',y'\in [/mm] A$ so gewählt, dass zusätzlich $x'R_2y'$ gilt.)
> gibt
> es x'' und y'' aus A mit x''R_2y''
IRGENDWELCHE [mm] $x'',y''\in [/mm] A$ mit $x''R_2y''$ zu betrachten, dürfte nicht weiterhelfen.
> Das kann man so oft wiederholen, bis man die "richtigen",
> also x und y gefunden hat. Kann das so funktionieren?
Nein, das sehe ich nicht.
Was bedeutet [mm] $(x'/R_1,y'/R_1)=(x/R_1,y/R_1)$?
[/mm]
Es bedeutet [mm] $x'/R_1=x/R_1$ [/mm] und [mm] $y'/R_1=y/R_1$.
[/mm]
Von welchen Elementen weißt du also, dass sie bezüglich [mm] $R_1$ [/mm] in Relation stehen?
Benutze danach (!) [mm] $R_1\subseteq R_2$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Kegorus |
Vielen Dank nochmal, ich hab's geschafft!
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