Äquivalenzrelationen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. [(a,b) [mm] \in \IZ \times \IZ [/mm] | a + b ist nicht durch 7 teilbar] [mm] \subseteq \IZ \times \IZ
[/mm]
2. [(a,b) [mm] \in \IZ \times \IZ |a^4 [/mm] - [mm] b^4 [/mm] = 0 [mm] ]\subseteq \IZ \times \IZ
[/mm]
3. Auf einer dreielementigen Menge gibt es genau ...verschiedene symmetrische / reflexive Relationen.
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Also irgendwie komm ich nicht so ganz klar. Bei 1. und 2. bin ich mir nicht sicher, ob es Untermenge ist. Das liegt vielleicht daran, dass mir einfach nicht klar ist, was eine Äquivalenzrelation ist: die drei Kriterien kenne ich: reflexiv, transitiv und symmetrisch. Symmetrisch bedeutet hier: wenn 2+3, also a+b, nicht durch 7 teilbar ist, dann ist es b+a auch nicht, oder? Reflexiv, damit hab ich bei 2 Variablen so meine Probleme. Transitiv verstehe ich gar nicht, da ich mir nicht vorstellen kann, wann etwas auf sich selbst abbildbar ist. Wenn jetzt alle Kriterien z.B. nur für ein Paar a und b gilt. Ist es schon eine Untermenge???
Aufgabe 3 verstehe ich gar nicht. Was ist der Unterschied zwischen Relationen, symmetrische Relationen und reflexive Relationen? Ich kann mir das ohne Zahlenpaare nicht so recht vorstellen.
Es wär super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, bin blutiger Anfänger :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Fr 09.11.2007 | | Autor: | AnneKatrin |
Ich meinte: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt, sorry
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Fr 09.11.2007 | | Autor: | statler |
Hallo AnneKatrin, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1. [(a,b) [mm]\in \IZ \times \IZ[/mm] | a + b ist nicht durch 7
> teilbar] [mm]\subseteq \IZ \times \IZ[/mm]
> 2. [(a,b) [mm]\in \IZ \times \IZ |a^4[/mm]
> - [mm]b^4[/mm] = 0 [mm]]\subseteq \IZ \times \IZ[/mm]
> 3. Auf einer
> dreielementigen Menge gibt es genau ...verschiedene
> symmetrische / reflexive Relationen.
Was bei 1 und 2 die Aufgabe ist, ist nicht so ganz klar.
zu 1:
Mach dir noch mal klar, daß eine Relation eine Untermenge des kartesischen Produkts ist, also ein Haufen von geordneten Paaren.
Äquivalenzrelationen sind (r), (s) und (t). (r) bedeutet, alle Paare (a,a) liegen drin. Liegt (2,2) drin? Ja, denn 2+2 ist nicht durch 7 teilbar. Aber was ist mit (7,7)? 14 ist durch 7 teilbar, also schon mal keine Ä-Relation.
(s) bedeutet, zu jedem Paar liegt auch das gedrehte Paar in der Relation. Das ist hier erfüllt, hast du ja selbst geschrieben, und folgt aus der Kommutativität der Addition.
(t) heißt anschaulich, daß ich die Eigenschaft durchreichen kann. Wenn ich von a zu b komme und von b zu c, dann komme ich auch von a zu c. Oder mathematisch: Wenn (a,b) und (b,c) in der Relation liegen, dann muß auch (a,c) in der Relation liegen. Aber das stimmt hier überhaupt nicht, weil z. B. (7,1) drin liegt und wegen (s) auch (1,7), aber (7,7) eben nicht.
> Also irgendwie komm ich nicht so ganz klar. Bei 1. und 2.
> bin ich mir nicht sicher, ob es Untermenge ist.
Untermenge ist es immer, schlimmstenfalls die leere. Die Frage ist (wahrscheinlich), ob diese Untermenge irgendwelche bestimmten Eigenschaften hat.
> Aufgabe 3 verstehe ich gar nicht. Was ist der Unterschied
> zwischen Relationen, symmetrische Relationen und reflexive
> Relationen? Ich kann mir das ohne Zahlenpaare nicht so
> recht vorstellen.
Noch mal: Eine Relation auf M ist schlichtweg eine beliebige Untermenge des kartesischen Produkts MxM. Wenn die Menge M 3 Elemente hat, hat MxM 9 Elemente. Dann hat die Menge aller Teilmengen, das ist die Potenzmenge, [mm] 2^{9} [/mm] Elemente. So viele Relationen gibt es! Bei den reflexiven Relationen müssen die 3 Paare mit gleichen Koordinaten enthalten sein. Wie viele Teilmengen gibt es, bei denen das der Fall ist?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo, erstmal danke, hast mir sehr geholfen!
Sorry, bei der ersten Aufgabe, die hab ich nicht ganz aufgeschrieben: Es wird gefragt, welche der folgenden Mengen Äquivalenzrelationen auf Z sind?
Also ist es so, dass wenn ich ein paar finde, das durch 7 teilbar ist, die Antort schon nein ist? Für [mm] a^4 +b^4 [/mm] = 0, das stimmt. Denn a = b oder?
Mit den symmetrischen Relationen habe ich noch eine Frage. Bei drei Zahlen: Wie sind die symmetrisch? dass es für (2,2,2) erfüllt ist klar, aber ist es auch für (2,3,2)erfüllt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Fr 09.11.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Hallo, erstmal danke, hast mir sehr geholfen!
> Sorry, bei der ersten Aufgabe, die hab ich nicht ganz
> aufgeschrieben: Es wird gefragt, welche der folgenden
> Mengen Äquivalenzrelationen auf Z sind?
> Also ist es so, dass wenn ich ein paar finde, das durch 7
Wenn ich ein Paar mit gleichen Koordinaten finde, bei dem die Summe durch 7 teilbar ist, dann liegt dieses Paar nicht in der beschriebenen Menge (also Relation) und damit ist sie nicht reflexiv. Ein Gegenbeispiel reicht!
> teilbar ist, die Antort schon nein ist? Für [mm]a^4 +b^4[/mm] = 0,
> das stimmt. Denn a = b oder?
Nein, nicht ganz: a = [mm]\pm[/mm] b
> Mit den symmetrischen Relationen habe ich noch eine Frage.
> Bei drei Zahlen: Wie sind die symmetrisch? dass es für
> (2,2,2) erfüllt ist klar, aber ist es auch für
> (2,3,2)erfüllt?
Wo kommen hier Tripel her? Bei Relationen hantieren wir mit Paaren! Hörst du bei Kiechle?
Gruß
Dieter
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Ok, das ist einzusehen, wie du es beschreibst. dann ist die aufgabe mit [mm] a^4 [/mm] + [mm] b^4 [/mm] aber trotzdem noch eine Äquivalenzrelation von Z, oder? Das würde heißen, dass +2 und -2 reflexiv ist. Oder bin ich da total falsch. Das ist die Bedingung, die ich nie verstehe.
Zu der letzten: Ich steh hier total auf dem Schlauch: eigentlich gibts doch nur 3 paare, wenn es reflexiv sein soll: (a,a), (b,b), (c,c) oder 12, wenn man das eben genannte mit einschließt (z.B. a,-a). Ah nein, das sind 2^12, oder? Aber zu symmetrisch fallen mir genau so viele ein.
Tut mir leid, wenn ich irgendjemanden nerve, aber diese Äquivalenzrelationen machen mich verrückt!
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> Ok, das ist einzusehen, wie du es beschreibst. dann ist die
> aufgabe mit [mm]a^4[/mm] + [mm]b^4[/mm] aber trotzdem noch eine
> Äquivalenzrelation von Z, oder?
Hallo,
Du meinst wahrscheinlich die Aufgabe mit [mm]a^4[/mm] - [mm]b^4[/mm], oder...?
Das ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation.
Denn sie ist:
- reflexiv: alle Paare (a,a) mit a [mm] \in \IZ [/mm] sind enthalten, also z.B. (1,1) => [mm] 1^{4} [/mm] - [mm] 1^{4} [/mm] = 0
- symmetrisch: wenn (a,b) in der Relation ist, dann auch (b,a), also z.B. (2,-2) und (-2,2) sind beide enthalten
- transitiv: wenn (a,b) und (b,c) in der Relation sind, dann auch (a,c), also z.B. (1,-1) und (-1,1) => (1,1) muss auch enthalten sein
=> Hier sind alle Bedingungen erfüllt.
> Das würde heißen, dass +2
> und -2 reflexiv ist. Oder bin ich da total falsch. Das ist
> die Bedingung, die ich nie verstehe.
Eigentlich ist die Reflexivität die einfachste Eigenschaft - man muss nur überprüfen, ob alle Paare (a,a), also mit "zweimal derselben Zahl", in der Relation enthalten sind. Also z.B. (1,1), (2,2) usw. - in diesem Fall eben für alle a [mm] \in \IZ... [/mm] und da dies hier für alle Fälle gilt, ist die Relation reflexiv.
(-2,2) hat demnach nichts mit Reflexivität zu tun, denn hier sind die beiden Zahlen ja nicht gleich...
> Zu der letzten: Ich steh hier total auf dem Schlauch:
> eigentlich gibts doch nur 3 paare, wenn es reflexiv sein
> soll: (a,a), (b,b), (c,c) oder 12, wenn man das eben
> genannte mit einschließt (z.B. a,-a). Ah nein, das sind
> 2^12, oder? Aber zu symmetrisch fallen mir genau so viele
> ein.
(a,-a) hat nichts mit Reflexivität zu tun (s.o.).
Demnach müssen die drei Paare (a,a), (b,b) und (c,c) alle in der Relation enthalten sein, damit Reflexivität vorliegt. Was sonst noch in der Relation enthalten ist, spielt keine Rolle. Also, eine Relation R = [mm] \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(2,1)\} \in \{1,2,3\}\times\{1,2,3\} [/mm] ist reflexiv, da alle Paare (a,a) enthalten sind...
Jetzt ist nur noch die Frage, weiviele solcher Mengen bzw. Relationen sich bilden lassen, in denen diese drei Paare enthalten sind.
Und analog für symmetrische Relationen...
Hoffe, das hilft weiter.
Schönes Wochenende,
CK
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Sa 10.11.2007 | | Autor: | AnneKatrin |
Ja vielen Dank, jetzt hab ich´s (hoffentlich) verstanden. Ich denke es gibt [mm] 2^6 [/mm] verschiedene Möglichkeiten: (1,1)...(3,3) und das nochmal mit negativen Zahlen.
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